Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {streng wachsende} {} Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von reellen Zahlen $a_k$.
}{Der \stichwort {natürliche Logarithmus} {} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {stetig differenzierbare} {} Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.}{Die \stichwort {Kettenregel} {} für differenzierbare Funktionen \maabb {f,g} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \{a,b,c,d \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Tabelle
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }
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\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
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\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
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\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
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\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ d }
\renewcommand{\azweixzwei}{ a }
\renewcommand{\azweixdrei}{ b }
\renewcommand{\azweixvier}{ b }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ a }
\renewcommand{\adreixzwei}{ b }
\renewcommand{\adreixdrei}{ c }
\renewcommand{\adreixvier}{ c }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ b }
\renewcommand{\avierxzwei}{ d }
\renewcommand{\avierxdrei}{ d }
\renewcommand{\avierxvier}{ d }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
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\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
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\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
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\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
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\renewcommand{\azehnxelf}{ }
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\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
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\renewcommand{\aelfxelf}{ }
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\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
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\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
gegebene Verknüpfung $\star$.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( a \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige durch Induktion über $k$, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathdisp {\binom { n } { k }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Schreibe die Menge
\mathdisp {]-3,-2[ \, \cup \, \{7\} \, \cup \, { \left( [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] \right) } \, \cup \, [1, { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 6 }{ 5 } } [ \, \cup \, { \left( \, ]-7,-6] \cap \R_+ \right) }} { }
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{7}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $z=a+b { \mathrm i}$ eine komplexe Zahl mit $b <0$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \frac{1}{ \sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Quadratwurzel von $z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Q[X]$.
} {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-5x-9 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils tangential schneidet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+2+3)}
{
Die sogenannten \stichwort {Bernoulli-Polynome} {} $B_n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_0$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$. Das Polynom $B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom $B_n$ über die beiden Bedingungen: $B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von $(n+1)B_n$ und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 B_{n+1} (x) dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $B_1$.
}{Berechne $B_2$.
}{Berechne $B_3$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme \zusatzklammer {ohne Begründung} {} {,} welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im $\R^2$ als Lösungsmenge eines linearen \zusatzklammer {inhomogenen} {} {} Gleichungssystems auftreten können \zusatzklammer {man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {AY 3 8910 obwiednia 1100.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { AY 3 8910 obwiednia 1100.svg } {} {Masur} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Primka.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Primka.png } {} {Vojtech001} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Point and line.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Point and line.png } {} {Περίεργος} {el. Wikipedia} {GnuFDL} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {File Upload Bot (Magnus Manske)} {Commons} {Gemeinfrei} {}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1,v_2,v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines dreidimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ v_1,v_1+v_2,v_2+v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme den Rang der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ x & x^2 & x^3 \\x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}} { }
zu
\mathl{x \in K}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (4+1)}
{
Es seien
\mathl{M,N}{} quadratische Matrizen über einem Körper $K$, die zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} {BMB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer invertierbaren Matrix $B$ stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von $M$ mit den Eigenwerten zu $N$ übereinstimmen, und zwar
\aufzaehlungzwei {direkt,
} {mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
}
}
{} {}