Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {streng wachsende} {} Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von reellen Zahlen $a_k$.
}{Der \stichwort {natürliche Logarithmus} {} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {stetig differenzierbare} {} Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
heißt streng wachsend, wenn
\mathdisp {f(x') > f(x) \text { für alle } x,x' \in I \text{ mit } x' > x \text{ gilt}} { . }
}{Unter der Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} versteht man die Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} der Partialsummen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n a_{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Der natürliche Logarithmus
\maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R
} {x} { \ln x
} {,}
ist als die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der
\definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{}
definiert.
}{Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}{Das Oberintegral ist definiert als das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
von sämtlichen
\definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{}
zu
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{}
von $f$.
}{Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ \defeq} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.}{Die \stichwort {Kettenregel} {} für differenzierbare Funktionen \maabb {f,g} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die
komplexen Zahlen
bilden einen Körper.}{Seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D,E
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Teilmengen und seien
\maabbdisp {f} {D} { \R
} {}
und
\maabbdisp {g} {E} {\R
} {}
Funktionen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(D)
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ in $a$ differenzierbar
und $g$ sei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \defeq }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
\maabbdisp {g \circ f} {D} {\R
} {}
in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( g \circ f)' (a)
}
{ =} { g'(f(a)) \cdot f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum
des $K^n$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?
}
{Flugzeug/Osnabrück/Südhalbkugel/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \{a,b,c,d \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Tabelle
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ d }
\renewcommand{\azweixzwei}{ a }
\renewcommand{\azweixdrei}{ b }
\renewcommand{\azweixvier}{ b }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ a }
\renewcommand{\adreixzwei}{ b }
\renewcommand{\adreixdrei}{ c }
\renewcommand{\adreixvier}{ c }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ b }
\renewcommand{\avierxzwei}{ d }
\renewcommand{\avierxdrei}{ d }
\renewcommand{\avierxvier}{ d }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
gegebene Verknüpfung $\star$.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( a \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b \star ( a \star (d \star a))
}
{ =} { b \star ( a \star b )
}
{ =} { b \star a
}
{ =} { d
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige durch Induktion über $k$, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathdisp {\binom { n } { k }} { }
ist.
}
{
Es sei $n$ fixiert. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { 0 }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
übereinstimmt. Es sei die Aussage also für ein $k$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {n-1} {}
schon bewiesen. Jeder $k$-elementigen Teilmenge $S$ von $M$ und jedem der $n-k$ Elemente $x$ aus
\mathl{M \setminus S}{} kann man die
\mathl{k+1}{-}elementige Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} {S \cup \{x\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnen. Dabei wird jede
\mathl{k+1}{-}elementige Menge $T$ erreicht, und zwar $k+1$-fach, da man ja aus $T$ jedes der $k+1$ Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl $A_k$ der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ und der Anzahl $A_{k+1}$ der $k+1$-elementigen Teilmengen von $M$ besteht also der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_{k+1} \cdot (k+1)
}
{ =} { A_k \cdot (n-k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A_{k+1}
}
{ =} { { \frac{ n-k }{ k+1 } } A_k
}
{ =} { { \frac{ n-k }{ k+1 } } \binom { n } { k }
}
{ =} { { \frac{ n-k }{ k+1 } } \cdot { \frac{ n (n-1) \cdots (n-k+1) }{ k! } }
}
{ =} { { \frac{ n (n-1) \cdots (n-k+1)(n-k) }{ (k+1)! } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \binom { n } { k+1 }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Schreibe die Menge
\mathdisp {]-3,-2[ \, \cup \, \{7\} \, \cup \, { \left( [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] \right) } \, \cup \, [1, { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 6 }{ 5 } } [ \, \cup \, { \left( \, ]-7,-6] \cap \R_+ \right) }} { }
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
}
{
Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ]
}
{ =} {[- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 4 }{ 3 } } ] \, \cup \, ] - 1 , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Gesamtmenge gleich
\mathdisp {]-3, - { \frac{ 4 }{ 3 } } ] \, \cup \, ]- 1 , { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [7,7]} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{7}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2
}
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{7} \right) }^2
}
{ =} { 5+7 + 2 \sqrt{35}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $12$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 +2 \sqrt{30}
}
{ >} { 2 \sqrt{35}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+ 4 \cdot 30 + 4 \cdot \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( 1 + 2 \sqrt{30} \right) }^2
}
{ >} { 4 \cdot 35
}
{ =} { 140
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4 \sqrt{30}
}
{ >} { 19
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Quadrieren liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{480
}
{ =} { 16 \cdot 30
}
{ >} { 19^2
}
{ =} {361
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $z=a+b { \mathrm i}$ eine komplexe Zahl mit $b <0$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \frac{1}{ \sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Quadratwurzel von $z$ ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{v^2
}
{ =} {{ \left( \frac{1}{\sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z } - a } \right) } \right) }^2
}
{ =} {\frac{1}{2} { \left( \betrag { z } + a - { \left( \betrag { z }-a \right) }
- 2 { \mathrm i} \sqrt{ { \left( \betrag { z } +a \right) } { \left( \betrag { z }-a \right) } } \right) }
}
{ =} {\frac{1}{2} { \left( 2a - 2 { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }^2 - a^2 } \right) }
}
{ =} {\frac{1}{2} { \left( 2a - 2 { \mathrm i} \sqrt{ b^2 } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\frac{1}{2} { \left( 2a - 2 { \mathrm i} (-b) \right) }
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Q[X]$.
} {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ (2-3X+X^2) \cdot (-5+4X-3 X^2)
}
{ =} { -10 +8X +15X -6X^2 -5X^2 -12X^2+4X^3 +9X^3 -3X^4
}
{ =} { -10+23X -23X^2+13X^3-3X^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es ist einerseits direkt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2) \cdot (-5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 )
}
{ =} { { \left( 4-3 \sqrt{2} \right) } { \left( -11+4 \sqrt{2} \right) }
}
{ =} { -44 - 12 \cdot 2 + (16+33) \sqrt{2}
}
{ =} { -68 + 49 \sqrt{2}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable $X$ durch $\sqrt{2}$ ersetzen und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ -10+23 \sqrt{2} -23 \sqrt{2}^2+13 \sqrt{2}^3-3 \sqrt{2}^4
}
{ =} {-10+ 23 \sqrt{2} -23 \cdot 2 +13 \cdot 2 \sqrt{2}-3 \cdot 4
}
{ =} { -68 + 49 \sqrt{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-5x-9 } {.}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-5x-9
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 25 }{ 4 } } -9
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 61 }{ 4 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n -a
}
{ \leq} { y_n-a
}
{ \leq} { z_n-a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{y_n-a \geq 0}{} ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \betrag { z_n-a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mathl{y_n-a \leq 0}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { {\max { \left( \betrag { x_n-a } , \betrag { z_n-a } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein vorgegebenes
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen
\mathbed {n_1} {und}
{n_2} {}
{} {} {} {}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq n_1}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq n_2}{} gilt. Für
\mathl{n \geq n_0 = {\max { \left( n_1 , n_2 \right) } }}{} gilt daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet die Konvergenz von $y_n$ gegen $a$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils tangential schneidet.
}
{
Das gesuchte Polynom sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { ax^2+bx+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {2ax+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung, dass der Graph zu $f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schneidet, bedeutet
\mathdisp {a+b+c=1 \text{ und } a-b+c=1} { . }
Die Steigung der Diagonale ist $1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2a+b
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Steigung der Gegendiagonale ist $-1$. Dies bedeutet somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2a+b
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich mit der ersten
\zusatzklammer {oder der zweiten} {} {}
Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
}
{
Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq }{f(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [c - \epsilon, c + \epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c- \epsilon
}
{ \leq }{s_n
}
{ < }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $c$
\zusatzklammer {\anfuehrung{von unten}{}} {} {}
konvergiere. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_n- c
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(s_n) -f(c)
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist der Differenzenquotient
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (s_n )-f (c) }{ s_n -c }
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was sich dann
nach Lemma 7.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Folge
\mathl{{ \left( t_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c + \epsilon
}
{ \geq }{ t_n
}
{ > }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (t_n )-f (c) }{ t_n -c }
}
{ \leq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7 (2+2+3)}
{
Die sogenannten \stichwort {Bernoulli-Polynome} {} $B_n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_0$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$. Das Polynom $B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom $B_n$ über die beiden Bedingungen: $B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von $(n+1)B_n$ und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 B_{n+1} (x) dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $B_1$.
}{Berechne $B_2$.
}{Berechne $B_3$.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die Stammfunktionen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1B_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mathl{x + c}{} mit einer Konstanten $c$. Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \int_0^1 (x+c) dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 +cx \right) | _{ 0 } ^{ 1 }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } +c
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_1
}
{ =} { x- { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Stammfunktionen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2B_1
}
{ = }{ 2x- 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mathl{x^2 -x+a}{} mit einer Konstanten $a$. Die Bedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { \int_0^1 (x^2 -x+a) dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 -{ \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 +ax \right) | _{ 0 } ^{ 1 }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } +a
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 6 } } + a
}
}
{}
{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_2
}
{ =} { x^2-x+ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Stammfunktionen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3B_2
}
{ = }{ 3x^2-3x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mathl{x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2+{ \frac{ 1 }{ 2 } } x+ b}{} mit einer Konstanten $b$. Die Bedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { \int_0^1 (x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x+ b) dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 4 } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } x^3 + { \frac{ 1 }{ 4 } } x^2 +bx \right) | _{ 0 } ^{ 1 }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } +b
}
{ =} {b
}
}
{}
{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_3
}
{ =} { x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 +{ \frac{ 1 }{ 2 } } x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme \zusatzklammer {ohne Begründung} {} {,} welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im $\R^2$ als Lösungsmenge eines linearen \zusatzklammer {inhomogenen} {} {} Gleichungssystems auftreten können \zusatzklammer {man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {AY 3 8910 obwiednia 1100.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { AY 3 8910 obwiednia 1100.svg } {} {Masur} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Primka.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Primka.png } {} {Vojtech001} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Point and line.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Point and line.png } {} {Περίεργος} {el. Wikipedia} {GnuFDL} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {File Upload Bot (Magnus Manske)} {Commons} {Gemeinfrei} {}
}
}
{
2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1,v_2,v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines dreidimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ v_1,v_1+v_2,v_2+v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_2
}
{ =} {w_2-w_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_3
}
{ =} {w_3-w_2+w_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist $w_1,w_2,w_3$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$ und somit eine Basis, da die Dimension $3$ ist.
b) In den Spalten von
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{} müssen die Koordinaten der Vektoren $w_j$ bezüglich der Basis $v_i$ stehen, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Nach a) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } } \begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 12 \\-1\\ -9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 15 \\-12\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme den Rang der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ x & x^2 & x^3 \\x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}} { }
zu
\mathl{x \in K}{.}
}
{
Die zweite Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit $x$, die dritte Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit $x^2$. Somit ist der Rang maximal $1$. Wegen der $1$ links oben ist der Rang genau $1$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 0 & -36 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 0 & -36 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 12 } } & - { \frac{ 1 }{ 36 } } & { \frac{ 1 }{ 72 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 0 & { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 6 } } \\ { \frac{ 1 }{ 12 } } & - { \frac{ 1 }{ 36 } } & { \frac{ 1 }{ 72 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (4+1)}
{
Es seien
\mathl{M,N}{} quadratische Matrizen über einem Körper $K$, die zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} {BMB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer invertierbaren Matrix $B$ stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von $M$ mit den Eigenwerten zu $N$ übereinstimmen, und zwar
\aufzaehlungzwei {direkt,
} {mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei $\lambda$ ein Eigenwert zu $M$. Dann gibt es ein von $0$ verschiedenes
Koordinatentupel
\mathl{\begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x'_{1 } \\ \vdots\\ x'_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} {B \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was ebenfalls nicht $0$ ist. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N\begin{pmatrix} x'_{1 } \\ \vdots\\ x'_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { (BMB^{-1}) \begin{pmatrix} x'_{1 } \\ \vdots\\ x'_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { (BM B^{-1}) B \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { BM \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { B \lambda \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \lambda B \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x'_{1 } \\ \vdots\\ x'_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
d.h. $\lambda$ ist auch ein Eigenwert von $N$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { B^{-1}NB
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von $N$ auch Eigenwerte von $M$.
} {Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.
}
}