Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 6 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 1 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.

}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}

}{Das \stichwort {Treppenintegral} {} zu einer Treppenfunktion \maabbdisp {t} {I} {\R } {} auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}

}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Majorantenkriterium} {} für eine Reihe von reellen Zahlen.}{Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.}{Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus
\mathl{a \cdot b}{} rechteckigen Teilstücken besteht \zusatzklammer {$a$ beziehe sich auf die Länge} {} {.} Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei $c$ und der Abstand der Querrillen sei $d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $M$ eine endliche Menge und \maabb {\varphi} {M} {M } {} eine Abbildung. Es sei $\varphi^n$ die $n$-fache \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von $\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen
\mathl{m>n \geq 1}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^n }
{ = }{ \varphi^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit \anfuehrung{unserer}{} Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art \anfuehrung{Ordnung}{} auf den rationalen Zahlen, die sie mit $\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen $\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \succeq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jede rationale Zahl $x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die $0$ als heilig verehren.

Zeige, dass $\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \succ }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \succ }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \succeq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \succeq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \succeq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt
\mathl{(\Q, \succeq)}{} nicht?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+4+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3-X^2-5X+6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$. }{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$. }{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.} Verwende, dass
\mathl{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{} gegen $0$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x^2-7x }{ x-4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ -3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zum Grad $\leq 2$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{a \in I}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x) }
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Integralfunktion}{}{.} Zeige, dass dann $F$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x) }
{ = }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(0,0,1)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(2,3,0), (4,-1,2) \text{ und } (1,2,1)} { }
aus.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{

Wir betrachten die lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {,} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1+2 { \mathrm i} \\ 0 & 3{ \mathrm i} & { \mathrm i} \\0 & 0 & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

}
{} {}