Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Das
\stichwort {Treppenintegral} {}
zu einer Treppenfunktion
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Majorantenkriterium} {} für eine Reihe von reellen Zahlen.}{Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.}{Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus
\mathl{a \cdot b}{} rechteckigen Teilstücken besteht
\zusatzklammer {$a$ beziehe sich auf die Länge} {} {.}
Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei $c$ und der Abstand der Querrillen sei $d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und
\maabb {\varphi} {M} {M
} {}
eine Abbildung. Es sei $\varphi^n$ die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen
\mathl{m>n \geq 1}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^n
}
{ = }{ \varphi^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit \anfuehrung{unserer}{} Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art \anfuehrung{Ordnung}{} auf den rationalen Zahlen, die sie mit $\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen $\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \succeq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede rationale Zahl $x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die $0$ als heilig verehren.
Zeige, dass $\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succ }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \succ }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succeq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \succeq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succeq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt
\mathl{(\Q, \succeq)}{} nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+4+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3-X^2-5X+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$.
}{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$.
}{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
Verwende, dass
\mathl{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{} gegen $0$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2-7x }{ x-4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ -3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $\leq 2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{a \in I}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Integralfunktion}{}{.}
Zeige, dass dann $F$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(0,0,1)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(2,3,0), (4,-1,2) \text{ und } (1,2,1)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1+2 { \mathrm i} \\ 0 & 3{ \mathrm i} & { \mathrm i} \\0 & 0 & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}