Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Das
\stichwort {Treppenintegral} {}
zu einer Treppenfunktion
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$.
}{Man sagt, dass $f$
stetig
im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)- f(x') }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Das Treppenintegral von $t$ ist durch
\mathdisp {T \defeq \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
definiert.
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in V}{.}
} {
\mathl{\varphi(s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}{Man nennt die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Spalten
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraums}{}{}
von $K^m$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Majorantenkriterium} {} für eine Reihe von reellen Zahlen.}{Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.}{Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }}{} eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und
\mathl{{ \left( a_k \right) }_{k \in \N }}{} eine Folge reeller Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_k }
}
{ \leq }{ b_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $k$.
Dann ist die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
absolut konvergent.}{Es sei
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }}{} eine Potenzreihe, die auf dem Intervall
\mathl{]-r, r[}{} konvergiere, und es sei
\maabbdisp {f} { ]-r,r[} {\R
} {}
die dadurch
definierte
Funktion. Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylorreihe im Entwicklungspunkt $0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.}{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension
\mathl{n= \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{.} Für $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine Basis von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind linear unabhängig.
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {.}
}
{
Man möchte eine Aussage $A$ beweisen. Man nimmt an, dass $A$ nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann $\neg A$ nicht gelten und also muss $A$ gelten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus
\mathl{a \cdot b}{} rechteckigen Teilstücken besteht
\zusatzklammer {$a$ beziehe sich auf die Länge} {} {.}
Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei $c$ und der Abstand der Querrillen sei $d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?
}
{
Die Länge der Schokolade ist $ad$ und die Höhe ist
\mathl{bc}{,} deshalb ist der Flächeninhalt der Schokolade gleich
\mathl{abcd}{.}
Es gibt $b-1$ Längsrillen, die jeweils die Länge $ad$ haben, und es gibt $a-1$ Querrillen, die jeweils die Länge $bc$ haben. Die gesamte Länge der Rillen ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (b-1)ad + (a-1) bc
}
{ =} { ab(d+c) -ad-bc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und
\maabb {\varphi} {M} {M
} {}
eine Abbildung. Es sei $\varphi^n$ die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen
\mathl{m>n \geq 1}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^n
}
{ = }{ \varphi^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Da $M$ endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , M \right) }}{} endlich, da es für jedes Element nur
\mathl{{ \# \left( M \right) }}{} viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen
\mathbed {\varphi^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von $\N_+$ in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen
\mathl{m \neq n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^m
}
{ =} {\varphi^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit \anfuehrung{unserer}{} Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art \anfuehrung{Ordnung}{} auf den rationalen Zahlen, die sie mit $\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen $\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \succeq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede rationale Zahl $x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die $0$ als heilig verehren.
Zeige, dass $\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succ }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \succ }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succeq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \succeq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \succeq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b
}
{ \succeq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt
\mathl{(\Q, \succeq)}{} nicht?
}
{
Sämtliche Eigenschaften gelten, wenn jeweils die $0$ nicht vorkommt, da dann $\succeq$ mit $\geq$ übereinstimmt und von
\mathl{(\Q,\geq)}{} diese Eigenschaften bekannt sind. Wir müssen also jeweils nur Situationen betrachten, wo $0$ vorkommt.
\aufzaehlungvier{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \succ }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deshalb gilt die Eigenschaft.
}{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \succ }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Aussage klar. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in diesem Fall ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Voraussetzung gilt nur bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {b
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in diesem Fall ist aber auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ebenso.
}
Es gilt nicht die Eigenschaft
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + c
}
{ \geq }{ b + c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Andernfalls würde wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \succ }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0+1
}
{ =} {1
}
{ \succ} {2
}
{ =} {1+1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, was aber nicht gilt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+4+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3-X^2-5X+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$.
}{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$.
}{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(2)
}
{ =} { 8-4-10+6
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist $2$ eine Nullstelle von $P$.
}{Mit einer Division mit Rest ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-X^2-5X+6
}
{ =} { (X-2)(X^2+X-3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es geht also noch um die Nullstellen von $X^2+X-3$. Diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{ 1+12 }- 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{ 13 }- 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (X-2) { \left( X - { \frac{ \sqrt{ 13 }- 1 }{ 2 } } \right) } { \left( X + { \frac{ \sqrt{ 13 } + 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{
Es sei $x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
\mathdisp {y= 62+ { \frac{ 3 }{ 4 } } x} { }
und mit BC50 hat man die Kosten
\mathdisp {z= 255+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x} { . }
Die Bedingung
\mathdisp {x \leq 62+ { \frac{ 3 }{ 4 } } x} { }
führt auf
\mathdisp {x \leq 248} { . }
Die Bedingung
\mathdisp {x \leq 255+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x} { }
führt auf
\mathdisp {x \leq 510} { . }
Die Bedingung
\mathdisp {62+ { \frac{ 3 }{ 4 } } x \leq 255+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x} { }
führt auf
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 4 } } x \leq 255- 62 = 193} { , }
also
\mathdisp {x \leq 772} { . }
Also ist für $x \leq 248$ keine Bahncard die günstigste Option, für $248 \leq x \leq 772$ ist die BC25 die günstigste Option und für $x \geq 772$ ist die BC50 die günstigste Option.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
Verwende, dass
\mathl{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{} gegen $0$ konvergiert.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) }^2
}
{ =} { \sqrt{n+1}^2 + \sqrt{n}^2 -2 \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}
}
{ =} { 2n+1 -2 \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1} - n
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) }^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Da
\mathl{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{} und somit auch das Quadrat davon gegen $0$ konvergiert, konvergiert die Folge gegen ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
}
{
Für die $2^{n}$ Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{2^n +1 , \ldots , 2^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k}
}
{ \geq} { \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} }
}
{ =} { 2^n \frac{1}{2^{n+1} }
}
{ =} { \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k}
}
{ =} {1+ \sum_{i = 0}^n \left( \sum_{k = 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)}
{ } {
}
{ \geq} {1 + (n+1) \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist die Folge der Partialsummen
\definitionsverweis {unbeschränkt}{}{}
und kann nach
Lemma 7.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
nicht
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.
}
{
Der Abstand der beiden Punkte ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \sqrt{ 2^2 +10^2}
}
{ =} { \sqrt{104}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Kreisgleichung ist somit
\mathdisp {(X-2)^2 + (Y-7)^2= 104} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}
}
{
(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. \teilbeweis {}{}{}
{Wenn $f$ wachsend ist, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so gilt für den
\definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f(x+h) -f(x) }{h}
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes $h$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x+h
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für
\mathl{h \rightarrow 0}{,} und dieser ist
\mathl{f'(x)}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt die Ableitung $\geq 0$.
Nehmen wir an, dass es zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $I$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ > }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es dann ein $c$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{c
}
{ < }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ =} {\frac{f(x') - f(x)}{x'-x}
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} im Widerspruch zur Voraussetzung.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit nur endlich vielen Ausnahmen.
Angenommen es wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Da $f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist $f$ auf dem Intervall
\mathl{[x,x']}{} konstant. Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2-7x }{ x-4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ -3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $\leq 2$.
}
{
Die ersten beiden Ableitungen von $f$ sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (2x-7)(x-4) - (x^2-7x) }{ (x-4)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^2-8x+28 }{ (x-4)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { \left( \frac{ x^2-8x+28 }{ (x-4)^2 } \right)'
}
{ =} { { \frac{ (2x-8)( x-4)^2 -2 (x^2-8x+28) (x-4) }{ (x-4)^4 } }
}
{ =} { 2 { \frac{ ( x-4)^2 - (x^2-8x+28) }{ (x-4)^3 } }
}
{ =} { 2 { \frac{ -12 }{ (x-4)^3 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 24 }{ (x-4)^3 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(-3)
}
{ =} { - { \frac{ 30 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-3)
}
{ =} { { \frac{ 9 + 24 +28 }{ 49 } }
}
{ =} { { \frac{ 61 }{ 49 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (-3)
}
{ =} { { \frac{ -24 }{ (-7)^3 } }
}
{ =} { { \frac{ 24 }{ 343 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Taylorentwicklung in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{-3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $2$ gleich
\mathdisp {- { \frac{ 30 }{ 7 } } + { \frac{ 61 }{ 49 } } (x+3) + { \frac{ 12 }{ 343 } } (x+3)^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{a \in I}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Integralfunktion}{}{.}
Zeige, dass dann $F$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.
}
{
Es sei $x$ fixiert. Der
\definitionsverweis {Differenzenquotient}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\frac{F(x+h)-F(x) }{h}
}
{ =} { \frac{1}{h} { \left( \int_{ a }^{ x+h } f ( t) \, d t - \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t \right) }
}
{ =} { \frac{1}{h} \int_{ x }^{ x+h } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass für
\mathl{h \rightarrow 0}{} der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
existiert und gleich
\mathl{f(x)}{} ist. Nach
dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
gibt es zu jedem $h$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_h
}
{ \in }{ [x,x+h]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(c_h) \cdot h
}
{ =} { \int_x^{x+h} f(t)dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(c_h)
}
{ =} { { \frac{ \int_x^{x+h} f(t)dt }{ h } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{h \rightarrow 0}{} konvergiert $c_h$ gegen $x$ und wegen der Stetigkeit von $f$ konvergiert
\mathl{f(c_h)}{} gegen
\mathl{f(x)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(0,0,1)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(2,3,0), (4,-1,2) \text{ und } (1,2,1)} { }
aus.
}
{
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x
+4 y
+ z & = & 0 \\
3 x
\, \, \, \, - y
+2 z & = & 0 \\
+2 y
+ z & = & 1 \,
\end{matrix}} { }
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable $y$ aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist
\mathdisp {\begin{matrix}
14 x
\, \, \, \, \, \, \, \,
+9 z & = & 0 \\
3 x
\, \, \, \, - y
+2 z & = & 0 \\
6 x
\, \, \, \, \, \, \, \,
+5 z & = & 1 \, .
\end{matrix}} { }
Wir eliminieren nun
die Variable $x$, aus der dritten Gleichung
\mathdisp {\begin{matrix}
42 x
\, \, \, \, \, \, \, \,
27 z & = & 0 \\
3 x
\, \, \, \, - y
+2 z & = & 0 \\
6 x
\, \, \, \, \, \, \, \,
+5 z & = & 7 \, .
\end{matrix}} { }
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
\mathdisp {z={ \frac{ 7 }{ 8 } }} { , }
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-{ \frac{ 9 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 16 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { -{ \frac{ 9 }{ 16 } } \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 0 \end{pmatrix} +{ \frac{ 1 }{ 16 } } \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 2 \end{pmatrix} +{ \frac{ 7 }{ 8 } } \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
}
{
Es seien
\mathl{\mathfrak{ b } =b_1 , \ldots , b_n}{} und
\mathl{\mathfrak{ u }=u_1 , \ldots , u_k}{} zwei Basen von $V$.
Aufgrund des Basisaustauschsatzes,
angewandt auf die Basis $\mathfrak{ b }$ und die linear unabhängige Familie $\mathfrak{ u }$ ergibt sich
\mathl{k \leq n}{.} Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt
\mathl{n \leq k}{,} also insgesamt
\mathl{n=k}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 9 } } \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 9 } } \\ { \frac{ 4 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 4 }{ 9 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } & -{ \frac{ 1 }{ 9 } } \\ { \frac{ 4 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 9 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 9 } } \\ { \frac{ 2 }{ 3 } } & - { \frac{ 1 }{ 6 } } & { \frac{ 1 }{ 18 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+3+1)}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1+2 { \mathrm i} \\ 0 & 3{ \mathrm i} & { \mathrm i} \\0 & 0 & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{
a) Das charakteristische Polynom ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ A }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-1 & -2 & -1-2 { \mathrm i} \\ 0 & x-3 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\0 & 0 & x-1+{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-1)(x- 3{ \mathrm i} )(x-1+ { \mathrm i} )
}
{ =} { x^3 -(2+2 { \mathrm i} ) x^2 + (4+5 { \mathrm i} ) x+ -3-3 { \mathrm i}
}
{ } {}
}
{}
{}{}
und die Eigenwerte von $A$ sind $1, 3{ \mathrm i} ,1+ { \mathrm i}$.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
\mathl{x=1}{:}
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -2 & -1-2{ \mathrm i} \\ 0 & 1-3 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\0 & 0 & { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Da gehört
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}}{} dazu.
\mathl{x=3 { \mathrm i}}{:}
Dies führt auf
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1+3 { \mathrm i} & -2 & -1-2 { \mathrm i} \\ 0 & 0 & - { \mathrm i} \\0 & 0 & -1-4 { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { . }
Wir wählen
\mathl{c=0}{} und
\mathl{a=2}{} und erhalten
\mathl{b=-1+ 3 { \mathrm i}}{,} also ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\-1+3 { \mathrm i} \\ 0 \end{pmatrix}} { }
ein Eigenvektor zum Eigenwert $3 { \mathrm i}$.
\mathl{x=1- { \mathrm i}}{:}
Dies führt auf
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \mathrm i} & -2 & -1-2 { \mathrm i} \\ 0 & 1-2 { \mathrm i} & -i \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { . }
Mit
\mathl{c= 1-2 { \mathrm i}}{} und
\mathl{b= { \mathrm i}}{} ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
\mathdisp {( { \mathrm i} )a -2 { \mathrm i} +(-1-2 { \mathrm i} )(1-2 { \mathrm i} ) = 0} { }
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { 2-5 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-5 { \mathrm i} \\ { \mathrm i} \\ 1-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
ein Eigenvektor zum Eigenwert $1- { \mathrm i}$.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 { \mathrm i} & 0 \\0 & 0 & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}