Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/63/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	2	6	0	4	0	6	4	3	10	2	0	2	0	3	2	4	59

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (3 Punkte)

Was sind geeignete Kriterien, ob eine mathematische Definition sinnvoll ist?

Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohl am Ufer eines Flusses und möchte diesen überqueren. Es steht ein Boot zur Verfügung, in dem neben ihm nur ein weiterer Passagier Platz hat. Wie kann er den Fluss überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den Kohl frisst?

Aufgabe * (2 Punkte)

Angelika Freiwurf kommt um 15:00 zum See und angelt bis 18:00. Zu Beginn befinden sich 10 Hechte und 80000 Buntbarsche im See. Ein Hecht verspeist pro Stunde 3 Buntbarsche. Angelika fängt pro Stunde 5 Buntbarsche. Darüber hinaus fängt sie um 16:00 einen Hecht und zum Abschluss um 18:00 noch mal einen Hecht. Wie viele Hechte und wie viele Buntbarsche befinden sich um 18:00 im See?

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge ${}N$ gibt und eine surjektive Abbildung

$F\colon L\longrightarrow N$

und eine injektive Abbildung

$G\colon N\longrightarrow M$

mit

${}\varphi =G\circ F\,.$

b) Zeige, dass es eine Menge ${}P$ gibt und eine injektive Abbildung

$H\colon L\longrightarrow P$

und eine surjektive Abbildung

$I\colon P\longrightarrow M$

mit

${}\varphi =I\circ H\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}I=[a,b]$  ein reelles Intervall mit  ${}0\notin I$.  Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${}X^{5}$ eine bijektive Abbildung

   $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  ein normiertes reelles Polynom, das in (reelle) Linearfaktoren zerfalle. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

a) Alle Nullstellen von ${}P$ sind negativ.

b) Alle Koeffizienten von ${}P$ sind positiv.

c) Auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ nimmt ${}f$ nur positive Werte an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=2^{x}\,$

im Entwicklungspunkt ${}1$.

Aufgabe * (10 (1+3+2+3+1) Punkte)

Wir wollen den (minimalen) Abstand des Graphen der Exponentialfunktion zum Graphen der Identität (also der Diagonalen) verstehen.

1. Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion und den Graphen der Identität (die Diagonale).
2. Bestimme zu einem gegebenen Punkt ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ den Punkt ${}\left(x,\,x\right)$ auf der Diagonalen mit dem minimalen Abstand zu ${}\left(y,\,e^{y}\right)$.
3. Wie lautet das Quadrat dieses Abstandes in Abhängigkeit von ${}y$?
4. Bestimme die Punkte ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ und ${}\left(x,\,x\right)$, in denen der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen angenommen wird.
5. Was ist der minimale Abstand?

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$.

1. ${}\cos x$.
2. ${}\cos 2x$.
3. ${}\cos ^{2}x$.
4. ${}2\cos ^{2}x-1$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die durch die ${}x$-Achse und den Graphen der Funktion

${}f(x)=x^{2}-1\,$

begrenzt wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Firma ${}X$ besitzt ${}5$ Maschinen vom Typ ${}A$ und ${}3$ Maschinen vom Typ ${}B$, eine andere Firma ${}Y$ besitzt ${}2$ Maschinen vom Typ ${}A$ und ${}4$ vom Typ ${}B$. ${}A$ und ${}B$ stellen unabhängig voneinander das gleiche Produkt her. Firma X braucht zur Herstellung von ${}n$ Produkten ${}4$ Tage, Firma ${}Y$ braucht für die selbe Anzahl von Produkten ${}6$ Tage. Welche Maschine ist produktiver?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum.

Zu einer Familie von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ heißt bekanntlich

${}U={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in K\right\}}\,$

der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum.

Wäre auch die folgende formal ähnliche Begriffsbildung sinnvoll:

„Zu einer Familie von Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ in ${}K$ heißt

${}W={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid v_{i}\in V\right\}}\,$

der von diesen Skalaren erzeugte Untervektorraum“?

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}5x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}6x-11y=0\,$

   gegebenen Geraden.