Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

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Teilmenge

Mengentheorie/Teilmenge und Inklusion/Definition


Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist. Diese Beziehung drückt man durch

aus und sagt auch, dass eine Inklusion vorliegt.


Frage:

Mengentheorie/Teilmenge und Inklusion/Definition/Begriff

Antwort:

Mengentheorie/Teilmenge und Inklusion/Definition/Begriff/Inhalt






Produktmenge

Produktmenge/Zwei Mengen/Definition


Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.


Frage:

Die Produktmenge aus zwei Mengen und .


Antwort:

Man nennt die Menge

die Produktmenge der Mengen und .






Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition


Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.


Frage:

Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .


Antwort:

Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.






Verknüpfung

Verknüpfung/Definition


Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung


Frage:

Eine Verknüpfung auf einer Menge .


Antwort:

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung






Körper (ausführlich)

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition


Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


Frage:

Ein Körper.


Antwort:

Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .






Anordnungsaxiome der reellen Zahlen

Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom


Die reellen Zahlen erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.

  1. Für je zwei reelle Zahlen ist entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus folgt (für beliebige ).
  4. Aus und folgt (für beliebige ).
  5. Für jede reelle Zahl gibt es eine natürliche Zahl mit .


Frage:

Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom/Begriff

Antwort:

Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom/Begriff/Inhalt






Intervalle

Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition


Für reelle Zahlen , , nennt man

    • das abgeschlossene Intervall.
    • das offene Intervall.
    • das linksseitig offene Intervall.
    • das rechtsseitig offene Intervall.


    Frage:

    Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff/Inhalt






    Gaußklammer

    Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition


    Zu einer reellen Zahl ist die Gaußklammer durch

    definiert.


    Frage:

    Die Gaußklammer einer reellen Zahl .


    Antwort:

    Die Gaußklammer ist durch

    definiert.






    Betrag einer reellen Zahl

    Reelle Zahlen/Betrag/Definition


    Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.


    Frage:

    Der Betrag einer reellen Zahl.


    Antwort:

    Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.






    Fakultät

    Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition


    Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

    die Fakultät von (sprich Fakultät).


    Frage:

    Die Fakultät einer natürlichen Zahl .


    Antwort:

    Unter der Fakultät von versteht man die Zahl






    Binomialkoeffizient

    Mengen/Binomialkoeffizient/Definition


    Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

    den Binomialkoeffizienten über “.


    Frage:

    Der Binomialkoeffizient .


    Antwort:

    Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.






    Komplexe Zahlen

    Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition


    Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

    bezeichnet.


    Frage:

    Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).


    Antwort:

    Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.






    Real- und Imaginärteil

    Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition


    Zu einer komplexen Zahl

    heißt

    der Realteil von und

    heißt der Imaginärteil von .


    Frage:

    Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .






    Komplexe Konjugation

    Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition


    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.


    Frage:

    Die komplexe Konjugation.


    Antwort:

    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.






    Betrag einer komplexen Zahl

    Komplexe Zahlen/Betrag/Definition


    Zu einer komplexen Zahl

    ist der Betrag durch

    definiert.


    Frage:

    Der Betrag einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch

    definiert.






    Injektiv Surjektiv Bijektiv

    Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition


    Es seien und Mengen und es sei

    eine Abbildung. Dann heißt

      • injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch
      und verschieden sind.
      • surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

      gibt.

      • bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


    Frage:

    Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition/Begriff

    Antwort:

    Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition/Begriff/Inhalt






    Umkehrabbildung

    Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition


    Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .


    Frage:

    Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .


    Antwort:

    Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .






    Hintereinanderschaltung

    Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition


    Es seien und Mengen und

    und

    Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

    die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .


    Frage:

    Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und


    Antwort:

    Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .






    Polynom in einer Variablen

    Körper/Polynom in einer Variablen/Definition


    Es sei ein Körper. Ein Ausdruck der Form

    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .


    Frage:

    Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .


    Antwort:

    Ein Ausdruck der Form

    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .






    Grad eines Polynoms

    Polynomring/Grad/Definition


    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .


    Frage:

    Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .


    Antwort:

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .






    Rationale Funktion

    Reell rationale Funktion/Definition


    Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.


    Frage:

    Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).


    Antwort:

    Eine rationale Funktion ist eine Funktion , die man als Quotient aus zwei Polynomen mit darstellen kann, also (sie ist außerhalb der Nullstellen von definiert).






    Lineares Gleichungssystem

    Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition


    Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man

    ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.

    Wenn beliebig ist, so heißt

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.


    Frage:

    Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .


    Antwort:

    Das System

    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.






    Äquivalente lineare Gleichungssysteme

    Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition


    Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.


    Frage:

    Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .


    Antwort:

    Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.






    Matrix

    Matrizen/IxJ/nxm/Definition


    Es sei ein Körper und und zwei Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung

    Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als


    Frage:

    Eine -Matrix über einem Körper .


    Antwort:

    Eine -Matrix über ist ein Schema der Form

    wobei die aus sind.






    Matrizenmultiplikation

    Matrizenmultiplikation/Definition


    Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.


    Frage:

    Die Matrizenmultiplikation.


    Antwort:

    Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.






    Standardvektor

    Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition


    Es sei ein Körper und . Dann nennt man zu den Vektor

    wobei an der -ten Stelle steht, den -ten Standardvektor.


    Frage:

    Der -te Standardvektor im .


    Antwort:

    Der Vektor

    wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.






    Vektorraum

    Vektorraum/Direkt/Definition


    Es sei ein Körper und eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    Dann nennt man einen Vektorraum (oder einen Vektorraum über ), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig)

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .


    Frage:

    Ein Vektorraum über einem Körper .


    Antwort:

    Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .






    Untervektorraum

    Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .


    Frage:

    Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .


    Antwort:

    Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .






    Linearkombination

    Vektorraum/Linearkombination/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ).


    Frage:

    Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.


    Antwort:

    Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren






    Erzeugendensystem

    Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann heißt eine Familie , , ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als

    mit einer endlichen Teilfamilie und mit darstellen kann.


    Frage:

    Ein Erzeugendensystem eines -Vektorraumes .


    Antwort:

    Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als Linearkombination der darstellen kann.






    Aufgespannter Unterraum

    Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zu einer Familie , , setzt man

    und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.


    Frage:

    Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.


    Antwort:

    Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.






    Linear unabhängig (endliche Familie)

    Lineare Algebra/Linear unabhängig/Endliche Indexmenge/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren , , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.


    Frage:

    Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .


    Antwort:

    Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.






    Basis

    Vektorraum/Basis/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem , , von eine Basis von .


    Frage:

    Eine Basis eines -Vektorraums .


    Antwort:

    Eine Familie , , von Vektoren in heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.






    Dimension

    Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition


    Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von die Dimension von , geschrieben


    Frage:

    Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).


    Antwort:

    Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .






    Lineare Abbildung

    Lineare Abbildung/Körper/Definition


    Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .


    Frage:

    Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


    Antwort:

    Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .






    Matrix zu linearer Abbildung

    Lineare Abbildung/Matrix zu Basis und umgekehrt/Definition


    Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .

    Zu einer linearen Abbildung

    heißt die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist, die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basen.

    Zu einer Matrix heißt die durch

    gemäß Satz 9.5 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.


    Frage:

    Lineare Abbildung/Matrix zu Basis und umgekehrt/Definition/Begriff

    Antwort:

    Lineare Abbildung/Matrix zu Basis und umgekehrt/Definition/Begriff/Inhalt






    Kern

    Lineare Abbildung/Kern/Definition


    Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

    sei eine -lineare Abbildung. Dann nennt man

    den Kern von .


    Frage:

    Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


    Antwort:

    Man nennt

    den Kern von .






    Rang einer linearen Abbildung

    Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition


    Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

    sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man

    den Rang von .


    Frage:

    Der Rang einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen und .


    Antwort:

    Unter dem Rang einer linearen Abbildung versteht man






    Invertierbare Matrix

    Invertierbare Matrix/Körper/Definition


    Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

    gibt.


    Frage:

    Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .


    Antwort:

    Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit

    gibt.






    Inverse Matrix

    Inverse Matrix/Körper/Definition


    Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

    die inverse Matrix von . Man schreibt dafür


    Frage:

    Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .


    Antwort:

    Die Matrix mit

    heißt die inverse Matrix von .






    Elementare Zeilenumformungen

    Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition


    Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.


    Frage:

    Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .


    Antwort:

    Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:

    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.






    Elementarmatrizen

    Elementarmatrizen/Definition


    Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

    1. .
    2. .
    3. .


    Frage:

    Die Elementarmatrizen.


    Antwort:

    Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

    1. .
    2. .
    3. .






    Spaltenrang

    Matrix/Spaltenrang einer Matrix/Definition


    Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben


    Frage:

    Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .


    Antwort:

    Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .






    Determinante (rekursive Definition)

    Determinante/Rekursiv/Definition


    Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch


    Frage:

    Die Determinante einer -Matrix .


    Antwort:

    Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch






    Transponierte Matrix

    Matrix/K/Transponierte/Definition


    Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die -Matrix

    die transponierte Matrix zu .


    Frage:

    Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .


    Antwort:

    Man nennt die Matrix

    die transponierte Matrix zu .






    Determinante eines Endomorphismus

    Endomorphismus/Determinante/Definition


    Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .


    Frage:

    Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .


    Antwort:

    Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .






    Reelle Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Definition


    Eine reelle Folge ist eine Abbildung


    Frage:

    Eine Folge reeller Zahlen.


    Antwort:

    Eine reelle Folge ist eine Abbildung






    Konvergenz einer reellen Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition


    Es sei eine reelle Folge und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem positiven , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

    Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.


    Frage:

    Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .


    Antwort:

    Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.






    Beschränktheits-Eigenschaften

    Reelle Zahlen/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition


    Es sei eine Teilmenge der reellen Zahlen.

    1. Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn gilt für alle .
    2. Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn gilt für alle .
    3. heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
    4. heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
    5. heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
    6. Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
    7. Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
    8. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
    9. Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.


    Frage:

    Reelle Zahlen/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Zahlen/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition/Begriff/Inhalt






    Wachsende Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Wachsend und fallend/Definition


    Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist, und streng wachsend, wenn für alle ist.

    Die Folge heißt fallend, wenn für alle ist, und streng fallend, wenn für alle ist.


    Frage:

    Reelle Zahlen/Folge/Wachsend und fallend/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Zahlen/Folge/Wachsend und fallend/Definition/Begriff/Inhalt






    Cauchy-Folge

    Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition


    Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


    Frage:

    Eine Cauchy-Folge in .


    Antwort:

    Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.






    Teilfolge

    Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition


    Es sei eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.


    Frage:

    Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.


    Antwort:

    Zu einer streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.






    Intervallschachtelung

    Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition


    Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.


    Frage:

    Eine reelle Intervallschachtelung.


    Antwort:

    Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.






    Bestimmt divergent

    Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition


    Eine Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.

    Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.


    Frage:

    Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition/Begriff/Inhalt






    Reihe

    Reelle Zahlen/Reihe/Definition


    Sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

    Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

    und nennt ihn die Summe der Reihe.


    Frage:

    Eine Reihe von reellen Zahlen .


    Antwort:

    Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen






    Absolute Konvergenz einer Reihe

    Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition


    Eine Reihe

    von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.


    Frage:

    Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe .


    Antwort:

    Die Reihe

    heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.






    Die geometrische Reihe

    Geometrische Reihe/Reell/Definition


    Für jedes heißt die Reihe

    die geometrische Reihe in .


    Frage:

    Die geometrische Reihe für .


    Antwort:

    Die Reihe

    heißt die geometrische Reihe in .






    Stetige Funktion

    Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition


    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.


    Frage:

    Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .


    Antwort:

    Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.






    Grenzwert einer Funktion

    Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Definition


    Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man


    Frage:

    Der Grenzwert zu einer auf definierten Funktion

    in einem Punkt .


    Antwort:

    Die reelle Zahl heißt Grenzwert von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert.






    Maximum und Minimum

    Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition


    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

    und dass das Minimum annimmt, wenn


    Frage:

    Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt






    Lokales Maximum und Minimum

    Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition


    Sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt






    Isoliertes lokales Maximum und Minimum

    Reelle Funktion/Isoliertes Lokales Maximum und Minimum/Definition


    Es sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.

    Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Reelle Funktion/Isoliertes Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Funktion/Isoliertes Lokales Maximum und Minimum/Definition/Begriff/Inhalt






    Potenzreihe

    Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition


    Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .


    Frage:

    Eine reelle Potenzreihe.


    Antwort:

    Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .






    Cauchy-Produkt

    Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition


    Zu zwei Reihen und reeller Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.


    Frage:

    Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen und reeller Zahlen.


    Antwort:

    Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen und ist die Reihe






    Exponentialreihe

    Exponentialreihe/Reell/Definition


    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .


    Frage:

    Die Exponentialreihe für .


    Antwort:

    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .






    Exponentialfunktion

    Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition


    Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.


    Frage:

    Die reelle Exponentialfunktion.


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.






    Eulersche Zahl

    Eulersche Zahl/Exponentialreihe/Definition


    Die reelle Zahl

    heißt eulersche Zahl.


    Frage:

    Die eulersche Zahl .


    Antwort:

    Die eulersche Zahl ist durch

    definiert.






    Natürlicher Logarithmus

    Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition


    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.


    Frage:

    Der natürliche Logarithmus


    Antwort:

    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.






    Exponentialfunktion zu einer Basis

    Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition


    Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis als


    Frage:

    Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis .


    Antwort:

    Die Exponentialfunktion zur Basis ist als

    definiert.






    Logarithmus zu einer Basis

    Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition


    Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch

    definiert.


    Frage:

    Der Logarithmus zur Basis einer positiven reellen Zahl .


    Antwort:

    Der Logarithmus zur Basis von ist durch

    definiert.






    Sinus hyperbolicus

    Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition


    Die für durch

    definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


    Frage:

    Der Sinus hyperbolicus.


    Antwort:

    Die für durch

    definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.






    Kosinus hyperbolicus

    Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition


    Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.


    Frage:

    Der Kosinus hyperbolicus.


    Antwort:

    Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.






    Tangens hyperbolicus

    Hyperbelfunktion/R/Tangens hyperbolicus/Definition


    Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.


    Frage:

    Der Tangens hyperbolicus.


    Antwort:

    Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.






    Ebene Drehung

    R^2/Drehung/Definition


    Eine lineare Abbildung

    die durch eine Drehmatrix (mit einem ) gegeben ist, heißt Drehung.


    Frage:

    Eine Drehung in .


    Antwort:

    Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form gegeben ist.






    Kosinusreihe und Sinusreihe

    Kosinusreihe und Sinusreihe/R/Definition


    Für heißt

    die Kosinusreihe und

    die Sinusreihe zu .


    Frage:

    Kosinusreihe und Sinusreihe/R/Definition/Begriff

    Antwort:

    Kosinusreihe und Sinusreihe/R/Definition/Begriff/Inhalt






    Tangens

    Tangens und Kotangens/Reell/Definition


    Die Funktion

    heißt Tangens und die Funktion

    heißt Kotangens.


    Frage:

    Tangens und Kotangens/Reell/Definition/Begriff

    Antwort:

    Tangens und Kotangens/Reell/Definition/Begriff/Inhalt






    Differenzenquotient

    Differenzenquotient/D in R/Definition


    Sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .


    Frage:

    Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .


    Antwort:

    Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .






    Differenzierbarkeit

    Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition


    Sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben


    Frage:

    Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .