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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Definitionsliste

Aus Wikiversity
Definition:Skalarprodukt

Es sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.


Definition:Euklidischer Vektorraum

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.



Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

die Norm von .



Definition:Abstand (euklidischer Vektorraum)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zu zwei Vektoren nennt man

den Abstand zwischen und .



Definition:Orthogonale Vektoren

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Man nennt zwei Vektoren orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

ist.



Definition:Orthogonales Komplement

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann heißt

das orthogonale Komplement von .



Definition:Orthonormalbasis

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.



Definition:Isometrie

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:



Definition:Metrischer Raum

Es sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. genau dann, wenn ist (Definitheit),
  2. (Symmetrie), und
  3. (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.



Definition:Offene Kugel

Es sei ein metrischer Raum, und eine positive reelle Zahl. Es ist

die offene und

die abgeschlossene -Kugel um .



Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt offen (in ), wenn für jedes ein mit

existiert.



Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.



Definition:Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.



Definition:Rand

Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Randpunkt von , wenn für jedes der offene Ball

sowohl Punkte aus als auch Punkte aus enthält.

Die Menge aller Randpunkte von heißt Rand von , geschrieben .



Definition:Berührpunkt

Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt



Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Es seien und metrische Räume,

eine Abbildung und . Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

gilt. Die Abbildung heißt stetig, wenn sie stetig in für jedes ist.



Definition:Polynomiale Funktion

Eine Funktion

die man als eine Summe der Form

mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind, heißt polynomiale Funktion.



Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man



Definition:Differenzierbare Kurve in einem Punkt

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Dann heißt in differenzierbar, wenn der Limes

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in und wird mit

bezeichnet.



Definition:Differenzierbare Kurve

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn in jedem Punkt differenzierbar ist. Die Abbildung

heißt dann die Ableitung von .



Definition:Streckenzug zu einer Unterteilung

Es sei ein kompaktes Intervall und

eine Abbildung. Zu einer Unterteilung

nennt man

den zugehörigen Streckenzug.



Definition:Länge eines Streckenzugs

Zu einer Punktfolge

nennt man

die Gesamtlänge des Streckenzugs .



Definition:Rektifizierbare Kurve

Es sei ein kompaktes Intervall und

eine Abbildung. Dann nennt man

die Kurvenlänge von . Wenn endlich ist, so heißt die Kurve rektifizierbar.



Definition:Vektorfeld

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall und eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

ein Vektorfeld (auf ).



Definition:Wegintegral (Vektorfeld)

Es sei eine offene Teilmenge,

ein stetiges Vektorfeld und

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

das Wegintegral zum Vektorfeld längs des Weges .



Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Dann nennt man

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld .



Definition:Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

heißt eine Abbildung

auf einem offenen (Teil)Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Die Abbildung ist differenzierbar.
  3. Es ist für alle .


Definition:Anfangswertproblem (Differentialgleichungssystem)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei gegeben. Dann nennt man

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .



Definition:Lösung des Anfangswertproblems (Differentialgleichungssystems)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

auf einem Intervall mit eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

gilt.



Definition:Zentralfeld

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , ein Intervall und es sei

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

ein Zentralfeld.



Definition:Differentialgleichung der Ordnung n

Es sei ein offenes Intervall, offen und

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

eine Differentialgleichung der Ordnung .



Definition:Eigenvektor

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element , , ein Eigenvektor von (zum Eigenwert ), wenn

mit einem gilt.



Definition:Eigenwert

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

gibt.



Definition:Eigenraum

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zu nennt man

den Eigenraum von zum Wert .



Definition:Charakteristisches Polynom

Zu einer - Matrix mit Einträgen in einem Körper heißt das Polynom

das charakteristische Polynom von .



Definition:Diagonalisierbare Abbildung

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.



Definition:Trigonalisierbare Abbildung

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.



Definition:Jordanmatrix

Es sei ein Körper und . Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ) versteht man eine quadratische Matrix der Form



Definition:Jordansche Normalform

Eine quadratische Matrix der Form

wobei die Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.



Definition:Ähnliche Matrix

Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.



Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

wobei

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.



Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

wobei

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

sind und wobei

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.



Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung der Form

wobei

eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.



Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Es sei ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

wobei eine Matrix mit Einträgen ist und

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.



Definition:Fundamentalsystem

Es sei

mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.



Definition:Charakteristisches Polynom (Differentialgleichung)

Es sei

mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.



Definition:Richtungsableitung in einem Punkt

Es seien und endlichdimensionale normierte Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Weiter sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in in Richtung , falls der Grenzwert

existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in in Richtung . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Richtungsableitung

Seien und euklidische Vektorräume, sei eine offene Teilmenge, sei eine Abbildung und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

die Richtungsableitung von in Richtung .



Definition:Partiell differenzierbar

Es sei offen und sei eine Abbildung durch

gegeben. Es sei ein Punkt. Für fixierte Indizes und betrachten wir die Abbildung

(wobei ein reelles Intervall mit

derart sei, dass gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen , , fixiert seien. Ist diese Funktion in differenzierbar, so heißt partiell differenzierbar in bezüglich der Koordinate . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ist) mit

und nennt sie die -te partielle Ableitung von in .

Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt , falls für alle und die partiellen Ableitungen in existieren. Die -te partielle Ableitung von in wird mit

bezeichnet.



Definition:Partielle Ableitung

Es sei offen und sei eine Abbildung

gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

die -te partielle Ableitung von .



Definition:Jacobi-Matrix

Es sei offen und sei eine Abbildung

gegeben, die in partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

die Jacobi-Matrix zu im Punkt .



Definition:Höhere Richtungsableitung

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume,

eine Abbildung auf einer offenen Menge und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert. Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:n-mal stetig differenzierbar

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und

eine Abbildung auf einer offenen Menge . Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung

in Richtung existiert und stetig ist.



Definition:Total differenzierbar

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft

gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit

bezeichnet.



Definition:Taylor-Polynom

Es sei eine offene Teilmenge,

eine -mal stetig-differenzierbare Funktion und . Dann heißt

das Taylor-Polynom vom Grad zu in .



Definition:Lokales Maximum und Minimum

Es sei ein metrischer Raum und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

gilt.



Definition:Isolierte lokale Extrema

Es sei ein metrischer Raum und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit  und die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit  und die Abschätzung

gilt.



Definition:Linearform

Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt eine Linearform auf .



Definition:Gradient

Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und

eine in differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor mit

für alle den Gradienten von in . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Kritischer Punkt

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und

eine differenzierbare Funktion. Dann heißt ein kritischer Punkt von (oder ein stationärer Punkt), wenn

ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.



Definition:Hesse-Form

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu heißt die Abbildung

die Hesse-Form im Punkt .



Definition:Hesse-Matrix

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Zu heißt dann die Matrix

die Hesse-Matrix zu im Punkt bezüglich der gegebenen Basis.



Definition:Bilinearform

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen

und für alle die induzierten Abbildungen

- linear sind.



Definition:Gramsche Matrix (Bilinearform)

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es sei eine Basis von . Dann heißt die - Matrix

die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.



Definition:Symmetrische Bilinearform

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

für alle gilt.



Definition:Definitheit einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Diese Bilinearform heißt

  1. positiv definit, wenn für alle , ist.
  2. negativ definit, wenn für alle , ist.
  3. positiv semidefinit, wenn für alle ist.
  4. negativ semidefinit, wenn für alle ist.
  5. indefinit, wenn weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.


Definition:Regulärer Punkt

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen, sei und sei

eine in differenzierbare Abbildung. Dann heißt ein regulärer Punkt von , wenn

ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.



Definition:Diffeomorphismus

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume und und offene Teilmengen. Eine Abbildung

heißt -Diffeomorphismus, wenn bijektiv und -mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.



Definition:Faser

Zu einer Abbildung

zwischen zwei Mengen und heißt zu die Menge

die Faser von über .



Definition:Tangentialraum an Faser

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential surjektiv sei, und sei die Faser von durch . Dann nennt man

den Tangentialraum an die Faser in .



Definition:Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle und gibt.



Definition:Lokale Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung

derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.



Definition:Gradientenfeld

Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

das zugehörige Gradientenfeld.



Definition:Integrabilitätsbedingung

Es sei eine offene Teilmenge und

ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn

für alle und alle gilt.



Definition:Sternförmig

Eine Teilmenge heißt sternförmig bezüglich eines Punktes , wenn für jeden Punkt die Verbindungsstrecke , , ganz in liegt.



Definition:Quader-Überpflasterung

Es sei eine Teilmenge. Eine Familie von (achsenparallelen) Quadern , , mit nennt man eine Quader-Überpflasterung von .



Definition:Rotationsmenge

Zu einer Teilmenge nennt man

die zugehörige Rotationsmenge (um die -Achse).



Definition:Kegel über einer Basis

Es sei und ein Punkt. Dann nennt man die Menge

den Kegel zur Basis mit der Spitze .



Definition:Subgraph

Es sei eine Menge und

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

den Subgraphen der Funktion.



Definition:Mehrdimensionales Integral

Es sei eine kompakte Teilmenge und

eine stetige Funktion. Es sei der Subgraph dieser Funktion. Dann setzt man

und nennt dies das (mehrdimensionale) Integral über zu .



Definition:Schwerpunkt

Zu einer kompakten Teilmenge (einem Körper) und einer stetigen Massenverteilung

mit dem Gesamtvolumen (das als positiv vorausgesetzt sei) nennt man den Punkt mit

den Schwerpunkt von (bezüglich der Massenverteilung ).



Definition:Jacobi-Determinante

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei

eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Determinante

die Jacobi-Determinante (oder Fundamental-Determinante) von in .



Definition:Volumentreuer Diffeomorphismus

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein -Diffeomorphismus. Man sagt, dass volumentreu ist, wenn

für alle ist.



Definition:Laplace-Ableitung

Zu einer offenen Teilmenge und einer zweimal differenzierbaren Funktion

nennt man

die Laplace-Ableitung von .



Definition:Harmonische Funktion

Eine zweimal differenzierbare Funktion

auf einer offenen Teilmenge heißt harmonisch, wenn

ist.