Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Liste der Hauptsätze

???: Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

 

???: Eigenschaften der Norm zu einem Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

 

???: Abstandseigenschaften

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

 

???: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ mit

${}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$.

 

???: Isometrie und Längentreue

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.

 

???: Konvergenz in R^n

Der ${}\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{m}$ mit

${}z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.$

Dann konvergiert die Folge im ${}\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

 

???: Abgeschlossene Mengen und konvergente Folgen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in ${}M$ konvergiert, bereits in ${}T$ konvergiert.

 

???: Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ und sei ${}x\in L$ ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass

   ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon \,$

   ist.

3. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

 

???: Charakterisierung stetiger Abbildungen

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$.
2. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
3. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
4. Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.

 

???: Stetigkeit linearer Abbildungen

Es sei ${}{\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ stetig.

 

???: Stetigkeit polynomialer Funktionen

Eine polynomiale Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

ist stetig.

 

???: Differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es seien

$f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Komponentenfunktionen von ${}f$. Es sei ${}t\in I$.

Dann ist ${}f$ genau dann differenzierbar in ${}t$, wenn sämtliche Funktionen ${}f_{j}$ in ${}t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

${}f'(t)=f_{1}'(t)\cdot v_{1}+f_{2}'(t)\cdot v_{2}+\cdots +f_{n}'(t)\cdot v_{n}\,.$

 

???: Rechenregeln für differenzierbare Kurven

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow V$

zwei in ${}t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}t_{0}$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Summe

   $f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$

   ist in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$

2. Das Produkt

   $hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)\cdot f(t),$

   ist differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})\cdot f'(t_{0})+h'(t_{0})\cdot f(t_{0})\,.$

   Insbesondere ist für ${}c\in \mathbb {R}$ auch ${}cf$ differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$

3. Wenn ${}h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

   ${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$

   in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$

 

???: Kettenregel für differenzierbare Kurven

Es seien ${}I$ und ${}J$ zwei reelle Intervalle, es sei

$h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$

eine in ${}s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei

$f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine in ${}t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

$f\circ h\colon I\longrightarrow V,\,s\longmapsto f(h(s)),$

in ${}s_{0}$ differenzierbar und es gilt

${}(f\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f'(h(s_{0}))\,.$

 

???: Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine differenzierbare Kurve.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$

 

???: Kurvenlängensatz

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

${}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$

 

???: Kurvenlänge eines Graphen

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist die Länge des Graphen von ${}f$ gleich

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$

 

???: Integralabschätzung für stetige Kurven

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$g\colon [a,b]\longrightarrow V$

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

 

???: Wegintegrale bei Umparametrisierung

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

$g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.

Dann gilt

${}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

 

???: Lösungsansatz für Zentralfelder

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$

Es sei ${}w\in U$ und es sei

$\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

$z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$

Dann ist

${}v(t)=\alpha (t)\cdot w\,$

eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$

 

???: Differentialgleichung höherer Ordnung und Systeme

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

über die Beziehung

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

 

???: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$.

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

 

???: Eigenwerte bei endlichdimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$.

 

???: Satz über Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

 

???: Geometrische und algebraische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$.

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

 

???: Diagonalisierbare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
2. Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.
3. Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass

   $BMB^{-1}$

   eine Diagonalmatrix ist.

 

???: Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

 

???: Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

 

???: Trigonalisierbarkeit komplexer quadratischer Matrizen

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.

 

???: Jordansche Normalform

Eine obere Dreiecksmatrix

ist ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform.

 

???: Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungssysteme in Dreiecksgestalt

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen Funktionen ${}a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

$v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$

$v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$

$v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$

$\vdots$

$v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$

löst.

 

???: Lösung zu einem Eigenvektor

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$.

Dann ist die Abbildung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

(${}c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.

 

???: Lineare Differentialgleichungssysteme in oberer Dreiecksgestalt

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w'=Nw{\text{ mit }}N=BMB^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

${}{\begin{pmatrix}w'_{1}\\w'_{2}\\\vdots \\w'_{n-1}\\w_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\0&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n-1}\\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

(mit ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen ${}v_{i}(t_{0})=a_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

 

???: Lösungsraum im diagonalisierbaren Fall

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix ${}M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$.

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$

wobei ${}\lambda _{i}$ der Eigenwert zu ${}u_{i}$ ist.

 

???: Fundamentalsystem für lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Es sei

${}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,

${}{\begin{aligned}P&=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\\&=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}},\end{aligned}}$

wobei die ${}\lambda _{i}$ verschieden seien.

Dann bilden die Funktionen

$t^{j}e^{\lambda _{i}t},\,i=1,\ldots ,k,\,j=0,\ldots ,\nu _{i}-1,$

ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.

 

???: Satz von Schwarz

Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}{\left(D_{v}D_{v}\varphi \right)}{\left(u\right)}$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

 

???: Eindeutigkeit des totalen Differentials

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und sei die Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ auf einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq V$ definiert. Sei ${}P\in G$ ein Punkt.

Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition 46.1.

Ist ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ differenzierbar, so ist das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ eindeutig bestimmt.

 

???: (Totale) Differenzierbarkeit von Kurven

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}W$ ein euklidischer Vektorraum und

$\gamma \colon I\longrightarrow W$

eine Abbildung.

Dann ist ${}\gamma$ genau dann in ${}t\in I$ als Kurve differenzierbar, wenn ${}\gamma$ in ${}t$ total differenzierbar ist.

In diesem Fall besteht die Beziehung

${}\gamma '(t)=\left(D\gamma \right)_{t}(1)\,.$

 

???: Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ auch stetig im Punkt ${}P$.

 

???: Totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in jede Richtung ${}v$ differenzierbar, und es gilt

${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

 

???: Stetige partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien ${}x_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${}{\mathbb {R} }^{n}$ und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ existieren und in ${}P$ stetig sind.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis des ${}{\mathbb {R} }^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in ${}P$ durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$

beschrieben.

 

???: Die Kettenregel

Es seien ${}V,\,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.

Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

 

???: Die Kettenregel (Jacobimatrix)

Es seien ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und ${}g\colon D\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ seien Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ in ${}P\in G$ und ${}g$ in ${}f(P)\in D$ total differenzierbar ist.

Dann ist ${}h=g\circ f\colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar und zwischen den Jacobi-Matrizen gilt die Beziehung

${}\operatorname {Jak} (h)_{P}=\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,,$

also ausgeschrieben

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{k}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial h_{k}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g_{1}}{\partial y_{1}}}(f(P))&\ldots &{\frac {\partial g_{1}}{\partial y_{m}}}(f(P))\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial g_{k}}{\partial y_{1}}}(f(P))&\ldots &{\frac {\partial g_{k}}{\partial y_{m}}}(f(P))\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

 

???: Taylor-Formel

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$ ist.

Dann gilt für alle ${}v$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ die Beziehung

${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

wobei

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0\,$

ist.

 

???: Linearform und Gradient bei Skalarprodukt

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle w,v\right\rangle \,.$

Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und ${}f(u_{i})=a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich ${}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$.

 

???: Notwendiges Kriterium für Extrema

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, so ist

   ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$

2. Wenn ${}f$ in ${}P$ total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also

   ${}\left(Df\right)_{P}=0\,.$

 

???: Minorenkriterium für Definitheit

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

 

???: Definitheit und Extrema

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ mit ${}\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Maximum in ${}P$.
2. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Minimum in ${}P$.
3. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt ${}f$ in ${}P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

 

???: Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

 

???: Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

 

???: Partiell differenzierbare Vektorfelder und Lipschitz-stetig

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$

ein Vektorfeld auf ${}U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach ${}v_{j}$ existieren und stetig sind.

Dann genügt ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.

 

???: Differentialgleichung und Integralgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow U,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt.

 

???: Der Satz von Picard-Lindelöf

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem ${}(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall ${}J$ mit ${}t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

existiert.

 

???: Differentialgleichung in einem Gradientenfeld

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen,

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=G(v)\,.$

Dann steht ${}\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\varphi (t)}F$ der Faser ${}F$ von ${}h$ durch ${}\varphi (t)$ für ${}t\in J$, für die ${}\varphi (t)$ reguläre Punkte von ${}h$ sind.

 

???: Wegunabhängigkeit im Gradientenfeld

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}U$.

Dann gilt für das Wegintegral

${}\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$

D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.

 

???: Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

 

???: Charakterisierung von Gradientenfeldern (sternförmige Menge)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. ${}G$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

 

???: Volumen und Überpflasterungen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge.

Dann ist das ${}n$- dimensionale Volumen von ${}T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller endlichen Quader-Überpflasterungen ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, von ${}T$, also

${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {inf} {\left\{\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}\right\}}\,.$

 

???: Monotonie des Volumens

1. Für kompakte Teilmengen ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ in ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit ${}T_{1}\subseteq T_{2}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T_{1})\leq \lambda ^{n}(T_{2})\,.$

2. Für kompakte Teilmengen ${}T_{i}$ (${}I$ endlich) ist

   ${}\lambda ^{n}(\bigcup _{i\in I}T_{i})\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(T_{i})\,.$

3. Für ${}T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}$ mit kompakten Teilmengen ${}T,T_{i}$ (${}I$ endlich) ist

   ${}\lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(T_{i})\,.$

 

???: Additivität des Volumens

Es seien ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ disjunkte kompakte Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T_{1}\cup T_{2})=\lambda ^{n}(T_{1})+\lambda ^{n}(T_{2})\,.$

 

???: Volumen von Produkten

Es seien ${}T_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ kompakte Teilmengen.

Dann gilt für die Produktmenge ${}T_{1}\times T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n+m}$ die Beziehung

${}\lambda ^{n+m}(T_{1}\times T_{2})=\lambda ^{n}(T_{1})\cdot \lambda ^{m}(T_{2})\,.$

 

???: Volumen von Unterräumen

Es sei ${}V\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension ${}k<n$ und ${}T\subseteq V$ eine kompakte Teilmenge

Dann ist ${}\lambda ^{n}(T)=0$.

 

???: Translationsinvarianz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T+v)=\lambda ^{n}(T)\,.$

 

???: Volumen unter linearen Abbildungen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto \varphi (x),$

eine lineare Abbildung.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {\det \varphi }\vert \cdot \lambda ^{n}(T)\,.$

 

???: Das Cavalieri-Prinzip

Es sei ${}T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}$ eine kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion

$h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}$

stetig ist.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T)=\int _{a}^{b}h(x)\,dx\,.$

 

???: Volumen eines Rotationskörpers

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

eine stetige Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu ${}f$ um die ${}x$-Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$

 

???: Kegelvolumen

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakt, ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei ${}h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von ${}P$.

Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls kompakt, und es gilt

${}\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

 

???: Integration über ebene stetig berandete Gebiete

Es sei ${}I=[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien

$g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetige Funktionen mit ${}g(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in [a,b]$. Es sei ${}T$ das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über ${}[a,b]$, und es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist

${}\int _{T}fd\lambda ^{2}=\int _{a}^{b}{\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\right)}dx\,.$

 

???: Die Transformationsformel für Integrale

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$. Es sei ${}T\subseteq H$ eine (in ${}\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge und es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist ${}\varphi ^{-1}(T)$ ebenfalls kompakt und es gilt

${}\int _{T}f\,d\lambda ^{n}=\int _{\varphi ^{-1}(T)}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

 

???: Die Transformationsformel für Volumina

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für ${}x\in G$. Es sei ${}T\subseteq H$ eine (in ${}\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge.

Dann gilt

${}\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

 

???: Der Satz von Green

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}R=\partial T$ und es sei

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein auf einer offenen Menge ${}U\supseteq T$ definiertes

stetig differenzierbares Vektorfeld.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\int _{\partial T}F&=\int _{T}{\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)\right)}d\lambda ^{2}\\\end{aligned}}$

d.h. das Wegintegral zum Vektorfeld ${}F$ über den Rand von ${}T$ stimmt mit dem zweidimensionalen Integral rechts über ${}T$ überein.

 

???: Der Satz von Green (Flächeninhalt)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}R=\partial T$.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T)&=\int _{\partial T}(0,x)\\&=-\int _{\partial T}(y,0),\end{aligned}}$

d.h. der Flächeninhalt von ${}T$ lässt sich über geeignete Wegintegrale längs des Randes berechnen.

 

???: Der Satz von Gauss (Ebene)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}\partial T$ und es sei

$u\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine auf einer offenen Menge ${}V\supseteq T$ definierte zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}&=\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}\\\end{aligned}}$