Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
und der zugehörigen
Norm
.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle
.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Dann gelten für die zugehörige
Norm
folgende Eigenschaften.
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
- Für
und
gilt
-
- Für
gilt
-
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Dann besitzt der zugehörige
Abstand
die folgenden Eigenschaften
(dabei sind
).
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
.
- Es ist
.
- Es ist
-
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und es sei
eine
Basis
von
.
Dann gibt es eine
Orthonormalbasis
von
mit
für alle
.
Es seien
und
euklidische Vektorräume
und sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist eine Isometrie.
- Für alle
ist
.
- Für alle
ist
.
Der sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
eine
Folge
in
mit
Dann
konvergiert
die Folge im genau dann, wenn alle Komponentenfolgen
in
konvergieren.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge.
Dann ist genau dann
abgeschlossen,
wenn jede Folge
,
die in
konvergiert,
bereits in
konvergiert.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
und sei
ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig im Punkt
.
- Für jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
-
- Für jede
konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig in jedem Punkt
.
- Für jeden Punkt
und jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
- Für jeden Punkt
und jede konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
- Für jede
offene Menge
ist auch das Urbild
offen.
Es sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist
stetig.
Eine polynomiale Funktion
ist stetig.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung.
Es sei eine
Basis
von
und es seien
die zugehörigen
Komponentenfunktionen
von . Es sei
.
Dann ist genau dann
differenzierbar
in
, wenn sämtliche Funktionen
in
differenzierbar
sind.
In diesem Fall gilt
Es sei ein
reelles Intervall
und
ein
euklidischer Vektorraum.
Es seien
zwei in
differenzierbare Kurven
und es sei
eine in
differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Summe
ist in
differenzierbar mit
-
- Das Produkt
ist differenzierbar in
mit
Insbesondere ist für
auch
differenzierbar in
mit
-
- Wenn
nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
in
differenzierbar mit
-
Es seien
und
zwei reelle Intervalle, es sei
eine in
differenzierbare Funktion
und es sei
eine in
differenzierbare Kurve
in einem
euklidischen Vektorraum
.
Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve
in differenzierbar und es gilt
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein
mit
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist
rektifizierbar
und für die
Kurvenlänge
gilt
Es sei ein
kompaktes
Intervall
und es sei
eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist die
Länge
des
Graphen
von gleich
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein stetiges Vektorfeld und
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
eine
bijektive,
monoton wachsende,
stetig differenzierbare Funktion
und sei
.
Dann gilt
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
. Es sei
ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion
Es sei
und es sei
eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
Dann ist
eine Lösung des Anfangswertproblems
Es sei
ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
eine Funktion.
Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung
über die Beziehung
äquivalent zum Differentialgleichungssystem
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Es seien
Eigenvektoren
zu
(paarweise)
verschiedenen
Eigenwerten
.
Dann sind
linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es nur endlich viele
Eigenwerte
zu .
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
-
dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist
genau dann ein
Eigenwert
von
, wenn
eine Nullstelle des
charakteristischen Polynoms
ist.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung und .
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist diagonalisierbar.
- Es gibt eine Basis
von
derart, dass die beschreibende Matrix
eine Diagonalmatrix ist.
- Für jede beschreibende Matrix
bezüglich einer Basis
gibt es eine invertierbare Matrix
derart, dass
eine Diagonalmatrix ist.
-
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
diagonalisierbar,
wenn das
charakteristische Polynom
in
Linearfaktoren
zerfällt und wenn für jede Nullstelle
mit der algebraischen Vielfachheit
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist trigonalisierbar.
- Das
charakteristische Polynom
zerfällt in Linearfaktoren.
Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix
beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix
derart, dass
eine
obere Dreiecksmatrix
ist.
Es sei
eine quadratische Matrix mit
komplexen
Einträgen.
Dann ist
trigonalisierbar.
Eine obere Dreiecksmatrix
ist ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform.
Es sei
ein
offenes Intervall
und es liege eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
der Form
mit
stetigen Funktionen
und
und den Anfangsbedingungen
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich
löst.
Es sei
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei
ein
Eigenvektor
zu
zum Eigenwert
.
Dann ist die Abbildung
()
eine
Lösung
dieses
Differentialgleichungssystems.
Es sei
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
(mit
)
ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
für
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
Es sei
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix
sei
diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren
.
Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
wobei der Eigenwert zu
ist.
Es sei
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,
wobei die verschieden seien.
Dann bilden die Funktionen
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.
Es sei
offen und
eine Abbildung derart, dass für
die zweiten Richtungsableitungen
und
existieren und stetig sind.
Dann gilt
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und sei die Abbildung
auf einer
offenen Teilmenge
definiert. Sei
ein Punkt.
Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition 46.1.
Ist im Punkt
differenzierbar, so ist das
totale Differential
eindeutig bestimmt.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine Abbildung.
Dann ist genau dann in
als Kurve differenzierbar,
wenn
in
total differenzierbar
ist.
In diesem Fall besteht die Beziehung
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
eine
offene Teilmenge. Es sei
eine in
differenzierbare Abbildung.
Dann ist auch
stetig
im Punkt
.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
es sei
eine
offene Teilmenge
und
eine im Punkt
differenzierbare Abbildung.
Dann ist in
in jede Richtung
differenzierbar,
und es gilt
Es sei
offen und
eine Abbildung. Es seien
,
,
die Koordinaten von
und
ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle
partiellen Ableitungen
von
in einer
offenen Umgebung
von
existieren und in
stetig
sind.
Dann ist in
(total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der
Standardbasis
des
durch die
Koordinatenfunktionen
gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in
durch die
Jacobi-Matrix
beschrieben.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
und
offene Mengen,
und
und
Abbildungen derart, dass
gilt. Es sei weiter angenommen, dass
in
und
in
total differenzierbar
ist.
Dann ist
in
differenzierbar mit dem
totalen Differential
Es seien
und
offene Mengen,
und
und
seien
Abbildungen derart, dass
gilt. Es sei weiter angenommen, dass
in
und
in
total differenzierbar
ist.
Dann ist
in
differenzierbar und zwischen den
Jacobi-Matrizen
gilt die Beziehung
also ausgeschrieben
Es sei
offen,
stetig differenzierbare
Funktion,
ein Punkt und
derart, dass
ist.
Dann gilt für alle mit
die Beziehung
wobei
ist.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum und
eine Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
mit
Wenn eine
Orthonormalbasis
von
und
ist, so ist dieser Vektor gleich
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
und
eine
offene
Teilmenge. Es sei
eine
Funktion,
die im Punkt
ein
lokales Extremum
besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
in
in Richtung
differenzierbar ist, so ist
-
- Wenn
in
total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also
-
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis und es seien
die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
- Genau dann ist
positiv definit, wenn alle
positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge
an jeder Stelle wechselt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene
Teilmenge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare
Funktion.
Es sei
mit
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
negativ definit ist, so besitzt
ein isoliertes lokales Maximum in
.
- Wenn
positiv definit ist, so besitzt
ein isoliertes lokales Minimum in
.
- Wenn
indefinit ist, so besitzt
in
weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen
und es sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
ein Punkt derart, dass das
totale Differential
bijektiv ist.
Dann gibt es eine offene Menge
und eine offene Menge
mit
und mit
derart, dass
eine
Bijektion
induziert, und dass die Umkehrabbildung
ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
und es sei
die
Faser durch
. Das
totale Differential
sei
surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
,
,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
derart, dass
ist und
eine
Bijektion
induziert.
Die Abbildung ist in jedem Punkt
regulär
und für das
totale Differential
von
gilt
Es sei
ein
reelles
offenes Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf derart, dass die
partiellen Ableitungen
nach
existieren und
stetig
sind.
Dann genügt
lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein stetiges
Vektorfeld
auf . Es sei
vorgegeben.
Dann ist eine stetige Abbildung
auf einem
Intervall
mit
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
(insbesondere muss
differenzierbar sein)
wenn die Integralgleichung
erfüllt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
stetig
sei und
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genüge.
Dann gibt es zu jedem
ein
offenes Intervall
mit
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
Lösung für das Anfangswertproblem
existiert.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen,
eine differenzierbare Funktion und
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
eine Lösung der Differentialgleichung
Dann steht
senkrecht
auf dem
Tangentialraum
der
Faser
von
durch
für
,
für die
reguläre Punkte
von
sind.
Es sei
eine
offene Teilmenge
und
eine
stetig differenzierbare Funktion
mit dem zugehörigen
Gradientenfeld
.
Es sei
ein
stetig differenzierbarer Weg
in
.
Dann gilt für das Wegintegral
D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.
Es sei
eine
offene zusammenhängende Teilmenge
und
ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
ist ein Gradientenfeld.
- Für jeden
stetig differenzierbaren Weg
hängt das Wegintegral
nur vom Anfangspunkt
und Endpunkt
ab.
Es sei
eine sternförmige
offene Teilmenge
und
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
ist ein Gradientenfeld.
erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
- Für jeden
stetig differenzierbaren Weg
hängt das Wegintegral
nur vom Anfangspunkt
und Endpunkt
ab.
Es sei
eine
kompakte Teilmenge.
Dann ist das
-
dimensionale Volumen
von
gleich dem
Infimum
über die Volumensumme aller endlichen
Quader-Überpflasterungen
,
,
von
, also
- Für
kompakte Teilmengen
und
in
mit
ist
-
- Für kompakte Teilmengen
(
endlich) ist
-
- Für
mit kompakten Teilmengen
(
endlich) ist
-
Es sei
ein
Untervektorraum
der
Dimension
und
eine
kompakte Teilmenge
Dann ist
.
Es sei
eine
kompakte Teilmenge
und
.
Dann ist
Es sei
eine
kompakte Teilmenge
und
eine lineare Abbildung.
Dann ist
Es sei
eine
kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion
stetig ist.
Dann ist
Es sei
eine
stetige Funktion
und sei
der
Rotationskörper
zu
um die
-Achse.
Dann besitzt das Volumen
Es sei
kompakt,
ein Punkt und
der zugehörige
Kegel.
Es sei
die letzte Koordinate von
.
Dann ist ebenfalls kompakt, und es gilt
Es sei
ein
reelles Intervall
und es seien
zwei
stetige Funktionen
mit
für alle
.
Es sei
das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über
, und es sei
eine stetige Funktion.
Dann ist
Es seien
und
offene Mengen
im
und es sei
ein -Diffeomorphismus
mit der
Jacobi-Determinante
für
.
Es sei
eine
(in
)
kompakte Teilmenge
und es sei
eine stetige Funktion.
Dann ist ebenfalls kompakt und es gilt
Es seien
und
offene Mengen
im
und es sei
ein -Diffeomorphismus
mit der
Jacobi-Determinante
für
.
Es sei
eine
(in
)
kompakte Teilmenge.
Dann gilt
Es sei eine
regulär berandete, ebene Teilmenge
mit dem Rand
und es sei
stetig differenzierbares Vektorfeld.
Dann ist
d.h. das
Wegintegral
zum Vektorfeld über den Rand von
stimmt mit dem zweidimensionalen Integral rechts über
überein.
Es sei eine
regulär berandete, ebene Teilmenge
mit dem Rand
.
Dann ist
d.h. der Flächeninhalt von lässt sich über geeignete Wegintegrale längs des Randes berechnen.
Es sei
eine
regulär berandete, ebene Teilmenge
mit dem Rand
und es sei
eine auf einer offenen Menge
definierte
zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist