Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Primzahl

Zahlentheorie/Primzahl/Definition


Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.


Frage:

Eine Primzahl.


Antwort:

Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.






Leere Menge

Mengenlehre/Leere Menge/Definition


Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

bezeichnet.


Frage:

Die leere Menge.


Antwort:

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.






Teilmenge

Mengentheorie/Teilmenge/Definition


Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.


Frage:

Eine Teilmenge einer Menge .


Antwort:

Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.






Durchschnitt

Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition


Zu Mengen und heißt

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.


Frage:

Der Durchschnitt von Mengen und .


Antwort:

Die Menge

heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.






Vereinigung

Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition


Zu zwei Mengen und heißt

die Vereinigung der beiden Mengen.


Frage:

Die Vereinigung der Mengen und .


Antwort:

Die Menge

heißt die Vereinigung der beiden Mengen.






Produktmenge

Produktmenge/Zwei Mengen/Definition


Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.


Frage:

Die Produktmenge aus zwei Mengen und .


Antwort:

Man nennt die Menge

die Produktmenge der Mengen und .






Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition


Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.


Frage:

Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .


Antwort:

Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.






Injektiv

Abbildung/Injektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.


Frage:

Eine injektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.






Surjektiv

Abbildung/Surjektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.


Frage:

Eine surjektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.






Bijektiv

Abbildung/Bijektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


Frage:

Eine bijektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.






Umkehrabbildung

Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition


Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .


Frage:

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .


Antwort:

Die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .






Hintereinanderschaltung

Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition


Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .


Frage:

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

und


Antwort:

Die Abbildung

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .






Verknüpfung

Verknüpfung/Definition


Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung


Frage:

Eine Verknüpfung auf einer Menge .


Antwort:

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung






Körper (ausführlich)

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition


Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


Frage:

Ein Körper.


Antwort:

Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .






Fakultät

Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition


Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

die Fakultät von (sprich Fakultät).


Frage:

Die Fakultät einer natürlichen Zahl .


Antwort:

Unter der Fakultät von versteht man die Zahl






Binomialkoeffizient

Mengen/Binomialkoeffizient/Definition


Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

den Binomialkoeffizienten über “.


Frage:

Der Binomialkoeffizient .


Antwort:

Der Binomialkoeffizient ist durch

definiert.






Angeordneter Körper

Körpertheorie/Angeordneter Körper/Ausführlich/Definition


Ein Körper heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von eine Beziehung („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ( bedeutet oder ).

  1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus folgt (für beliebige ).
  4. Aus und folgt (für beliebige ).


Frage:

Ein angeordneter Körper.


Antwort:

Ein Körper heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von eine Beziehung („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ( bedeutet oder ).

  1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus folgt (für beliebige ).
  4. Aus und folgt (für beliebige ).






Archimedisch angeordnet

Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition


Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

gibt.


Frage:

Ein archimedisch angeordneter Körper .


Antwort:

Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

gibt.






Intervalle

Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition


Für reelle Zahlen , , nennt man

    • das abgeschlossene Intervall.
    • das offene Intervall.
    • das linksseitig offene Intervall.
    • das rechtsseitig offene Intervall.


    Frage:

    Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff

    Antwort:

    Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff/Inhalt






    Gaußklammer

    Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition


    Zu einer reellen Zahl ist die Gaußklammer durch

    definiert.


    Frage:

    Die Gaußklammer einer reellen Zahl .


    Antwort:

    Die Gaußklammer ist durch

    definiert.






    Betrag einer reellen Zahl

    Reelle Zahlen/Betrag/Definition


    Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.


    Frage:

    Der Betrag einer reellen Zahl.


    Antwort:

    Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.






    Wachsende Funktion

    Reelle Funktion/Wachsend/Definition


    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt wachsend, wenn


    Frage:

    Eine wachsende Funktion .


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt wachsend, wenn






    Fallende Funktion

    Reelle Funktion/Fallend/Definition


    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt fallend, wenn


    Frage:

    Eine fallende Funktion .


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt fallend, wenn






    Streng wachsende Funktion

    Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition


    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt streng wachsend, wenn


    Frage:

    Eine streng wachsende Funktion .


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt streng wachsend, wenn






    Streng fallende Funktion

    Reelle Funktion/Streng fallend/Definition


    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt streng fallend, wenn


    Frage:

    Eine streng fallende Funktion .


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt streng fallend, wenn






    Komplexe Zahlen

    Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition


    Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

    bezeichnet.


    Frage:

    Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).


    Antwort:

    Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.






    Real- und Imaginärteil

    Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition


    Zu einer komplexen Zahl

    heißt

    der Realteil von und

    heißt der Imaginärteil von .


    Frage:

    Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .






    Komplexe Konjugation

    Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition


    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.


    Frage:

    Die komplexe Konjugation.


    Antwort:

    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.






    Betrag einer komplexen Zahl

    Komplexe Zahlen/Betrag/Definition


    Zu einer komplexen Zahl

    ist der Betrag durch

    definiert.


    Frage:

    Der Betrag einer komplexen Zahl .


    Antwort:

    Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch

    definiert.






    Polynom in einer Variablen

    Körper/Polynom in einer Variablen/Definition


    Es sei ein Körper. Ein Ausdruck der Form

    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .


    Frage:

    Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .


    Antwort:

    Ein Ausdruck der Form

    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .






    Grad eines Polynoms

    Polynomring/Grad/Definition


    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .


    Frage:

    Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .


    Antwort:

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .






    Rationale Funktion

    Reell rationale Funktion/Definition


    Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.


    Frage:

    Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).


    Antwort:

    Eine rationale Funktion ist eine Funktion , die man als Quotient aus zwei Polynomen mit darstellen kann, also (sie ist außerhalb der Nullstellen von definiert).






    Reelle Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Definition


    Eine reelle Folge ist eine Abbildung


    Frage:

    Eine Folge reeller Zahlen.


    Antwort:

    Eine reelle Folge ist eine Abbildung






    Konvergenz einer reellen Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition


    Es sei eine reelle Folge und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem positiven , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

    Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.


    Frage:

    Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .


    Antwort:

    Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.






    Beschränkt

    Reelle Zahlen/Beschränkt/Definition


    Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen mit gibt.


    Frage:

    Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.


    Antwort:

    Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen mit gibt.






    Wachsende Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Wachsend/Definition


    Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.


    Frage:

    Eine wachsende reelle Folge.


    Antwort:

    Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.






    Fallende Folge

    Reelle Zahlen/Folge/Fallend/Definition


    Die reelle Folge heißt fallend, wenn für alle ist.


    Frage:

    Eine fallende reelle Folge.


    Antwort:

    Die reelle Folge heißt fallend, wenn für alle ist.






    Cauchy-Folge

    Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition


    Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


    Frage:

    Eine Cauchy-Folge in .


    Antwort:

    Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.






    Teilfolge

    Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition


    Es sei eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.


    Frage:

    Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.


    Antwort:

    Zu einer streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.






    Intervallschachtelung

    Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition


    Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.


    Frage:

    Eine reelle Intervallschachtelung.


    Antwort:

    Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.






    Bestimmt divergent gegen

    Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/+/Definition


    Eine Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.


    Frage:

    Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .


    Antwort:

    Die Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.






    Bestimmt divergent gegen

    Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/-/Definition


    Eine Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.


    Frage:

    Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .


    Antwort:

    Die Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.






    Reihe

    Reelle Zahlen/Reihe/Definition


    Sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

    Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

    und nennt ihn die Summe der Reihe.


    Frage:

    Eine Reihe von reellen Zahlen .


    Antwort:

    Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen






    Absolute Konvergenz einer Reihe

    Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition


    Eine Reihe

    von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.


    Frage:

    Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe .


    Antwort:

    Die Reihe

    heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.






    Die geometrische Reihe

    Geometrische Reihe/Reell/Definition


    Für jedes heißt die Reihe

    die geometrische Reihe in .


    Frage:

    Die geometrische Reihe für .


    Antwort:

    Die Reihe

    heißt die geometrische Reihe in .






    Stetige Funktion

    Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition


    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.


    Frage:

    Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .


    Antwort:

    Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.






    Grenzwert einer Funktion

    Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Definition


    Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man


    Frage:

    Der Grenzwert zu einer auf definierten Funktion

    in einem Punkt .


    Antwort:

    Die reelle Zahl heißt Grenzwert von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert.






    Maximum

    Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition


    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn


    Frage:

    Das Maximum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.


    Antwort:

    Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn






    Minimum

    Reellwertige Funktion/Auf Menge/Minimum/Definition


    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Minimum annimmt, wenn


    Frage:

    Das Minimum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.


    Antwort:

    Man sagt, dass in einem Punkt das Minimum annimmt, wenn






    Lokales Maximum

    Reelle Funktion/Lokales Maximum/Definition


    Sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Ein lokales Maximum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .


    Antwort:

    Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.






    Lokales Minimum

    Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition


    Sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .


    Antwort:

    Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.






    Isoliertes lokales Maximum

    Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum/Definition


    Es sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion .


    Antwort:

    Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.






    Isoliertes lokales Minimum

    Reelle Funktion/Isoliertes lokales Minimum/Definition


    Es sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion.

    Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.


    Frage:

    Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion .


    Antwort:

    Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.






    Potenzreihe

    Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition


    Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .


    Frage:

    Eine reelle Potenzreihe.


    Antwort:

    Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .






    Cauchy-Produkt

    Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition


    Zu zwei Reihen und reeller Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.


    Frage:

    Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen und reeller Zahlen.


    Antwort:

    Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen und ist die Reihe






    Exponentialreihe

    Exponentialreihe/Reell/Definition


    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .


    Frage:

    Die Exponentialreihe für .


    Antwort:

    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .






    Exponentialfunktion

    Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition


    Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.


    Frage:

    Die reelle Exponentialfunktion.


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.






    Eulersche Zahl

    Eulersche Zahl/Exponentialreihe/Definition


    Die reelle Zahl

    heißt eulersche Zahl.


    Frage:

    Die eulersche Zahl .


    Antwort:

    Die eulersche Zahl ist durch

    definiert.






    Natürlicher Logarithmus

    Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition


    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.


    Frage:

    Der natürliche Logarithmus


    Antwort:

    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.






    Exponentialfunktion zu einer Basis

    Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition


    Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis als


    Frage:

    Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis .


    Antwort:

    Die Exponentialfunktion zur Basis ist als

    definiert.






    Logarithmus zu einer Basis

    Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition


    Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch

    definiert.


    Frage:

    Der Logarithmus zur Basis einer positiven reellen Zahl .


    Antwort:

    Der Logarithmus zur Basis von ist durch

    definiert.






    Sinus hyperbolicus

    Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition


    Die für durch

    definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


    Frage:

    Der Sinus hyperbolicus.


    Antwort:

    Die für durch

    definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.






    Kosinus hyperbolicus

    Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition


    Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.


    Frage:

    Der Kosinus hyperbolicus.


    Antwort:

    Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.






    Tangens hyperbolicus

    Hyperbelfunktion/R/Tangens hyperbolicus/Definition


    Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.


    Frage:

    Der Tangens hyperbolicus.


    Antwort:

    Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.






    Gerade Funktion

    R nach R/Gerade Funktion/Definition


    Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.


    Frage:

    Eine gerade Funktion .


    Antwort:

    Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.






    Ungerade Funktion

    R nach R/Ungerade Funktion/Definition


    Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.


    Frage:

    Eine ungerade Funktion .


    Antwort:

    Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.






    Kosinusreihe

    Kosinusreihe/R/Definition


    Für heißt

    die Kosinusreihe zu .


    Frage:

    Die Kosinusreihe zu .


    Antwort:

    Die Kosinusreihe ist






    Sinusreihe

    Sinusreihe/R/Definition


    Für heißt

    die Sinusreihe zu .


    Frage:

    Die Sinusreihe zu .


    Antwort:

    Die Sinusreihe ist






    Tangens

    Tangens/Reell/Definition


    Die Funktion

    heißt Tangens.


    Frage:

    Der Tangens.


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt Tangens.






    Kotangens

    Kotangens/Reell/Definition


    Die Funktion

    heißt Kotangens.


    Frage:

    Der Kotangens.


    Antwort:

    Die Funktion

    heißt Kotangens.






    Differenzenquotient

    Differenzenquotient/D in R/Definition


    Sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .


    Frage:

    Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .


    Antwort:

    Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .






    Differenzierbarkeit

    Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition


    Sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben


    Frage:

    Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .


    Antwort:

    Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der Limes

    existiert.






    Ableitungsfunktion

    Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition


    Sei ein Intervall und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung

    heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .


    Frage:

    Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion .


    Antwort:

    Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt die Ableitung zuordnet.






    Höhere Ableitungen

    Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition


    Es sei ein Intervall und sei

    eine Funktion. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .


    Frage:

    Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).


    Antwort:

    Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .






    Stetig differenzierbar

    Stetig differenzierbar/R/Definition


    Sei ein Intervall und

    eine Funktion. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.


    Frage:

    Eine stetig differenzierbare Funktion .


    Antwort:

    Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.






    Die Zahl

    Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition


    Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist durch

    definiert.


    Frage:

    Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).


    Antwort:

    Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch






    Arkussinus

    Trigonometrische Funktionen/Arkussinus/Definition


    Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

    und heißt Arkussinus.


    Frage:

    Der Arkussinus.


    Antwort:

    Der Arkussinus

    ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.






    Arkuskosinus

    Trigonometrische Funktionen/Arkuskosinus/Definition


    Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

    und heißt Arkuskosinus.


    Frage:

    Der Arkuskosinus.


    Antwort:

    Der Arkuskosinus

    ist die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion.






    Taylor-Polynom

    Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition


    Es sei ein Intervall,

    eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt

    das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .


    Frage:

    Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .


    Antwort:

    Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .






    Taylor-Reihe

    Funktion/R/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition


    Es sei ein Intervall,

    eine unendlich oft differenzierbare Funktion und . Dann heißt

    die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt .


    Frage:

    Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .


    Antwort:

    Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist






    Treppenfunktion

    Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition


    Sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion

    eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.


    Frage:

    Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .


    Antwort:

    Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.






    Treppenintegral

    Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition


    Sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei

    eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt

    das Treppenintegral von auf .


    Frage:

    Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .


    Antwort:

    Das Treppenintegral von ist durch

    definiert.






    Obere Treppenfunktion

    Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition


    Sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

    eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion

    heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.


    Frage:

    Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .


    Antwort:

    Eine Treppenfunktion

    heißt eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.






    Oberes Treppenintegral

    Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition


    Sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .


    Frage:

    Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .


    Antwort:

    Zur oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    eine oberes Treppenintegral von auf .






    Unteres Treppenintegral

    Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition


    Sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

    ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .


    Frage:

    Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .


    Antwort:

    Zur unteren Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

    ein unteres Treppenintegral von auf .






    Oberintegral

    Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition


    Sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .


    Frage:

    Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .


    Antwort:

    Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von .






    Unterintegral

    Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition


    Sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .


    Frage:

    Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion


    Antwort:

    Das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .






    Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

    Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition


    Sei ein kompaktes Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.


    Frage:

    Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .


    Antwort:

    Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.






    Bestimmtes Integral

    Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition


    Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit

    bezeichnet.


    Frage:

    Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion


    Antwort:

    Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu über heißt bestimmtes Integral.






    Riemann-integrierbar

    Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition


    Sei ein reelles Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.