Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

Primzahl

Zahlentheorie/Primzahl/Definition

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

Frage:

Eine Primzahl.

Antwort:

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

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Leere Menge

Mengenlehre/Leere Menge/Definition

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

$\emptyset$

bezeichnet.

Frage:

Die leere Menge.

Antwort:

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.

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Teilmenge

Mengentheorie/Teilmenge/Definition

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

Frage:

Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.

Antwort:

Man sagt, dass die Menge ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

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Durchschnitt

Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition

Zu Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

${}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Frage:

Der Durchschnitt von Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Die Menge

${}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$

heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

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Vereinigung

Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition

Zu zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

die Vereinigung der beiden Mengen.

Frage:

Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Die Menge

${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

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Produktmenge

Produktmenge/Zwei Mengen/Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Frage:

Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Man nennt die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

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Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Frage:

Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.

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Injektiv

Abbildung/Injektiv/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Frage:

Eine injektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Die Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

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Surjektiv

Abbildung/Surjektiv/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Frage:

Eine surjektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Die Abbildung ${}f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit ${}f(x)=y$ gibt.

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Bijektiv

Abbildung/Bijektiv/Definition

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Frage:

Eine bijektive Abbildung

$f\colon M\longrightarrow N.$

Antwort:

Die Abbildung ${}f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

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Umkehrabbildung

Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Frage:

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.

Antwort:

Die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${}F$.

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Hintereinanderschaltung

Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

Frage:

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

$F\colon L\longrightarrow M$

und

$G\colon M\longrightarrow N.$

Antwort:

Die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

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Verknüpfung

Verknüpfung/Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Frage:

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

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Körper (ausführlich)

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

Frage:

Ein Körper.

Antwort:

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

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Fakultät

Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Frage:

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.

Antwort:

Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$

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Binomialkoeffizient

Mengen/Binomialkoeffizient/Definition

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$. Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „${}n$ über ${}k$“.

Frage:

Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.

Antwort:

Der Binomialkoeffizient ist durch

${}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

definiert.

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Angeordneter Körper

Körpertheorie/Angeordneter Körper/Ausführlich/Definition

Ein Körper ${}K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von ${}K$ eine Beziehung ${}>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt (${}a\geq b$ bedeutet ${}a>b$ oder ${}a=b$).

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in K$ gilt entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$).

Frage:

Ein angeordneter Körper.

Antwort:

Ein Körper ${}K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von ${}K$ eine Beziehung ${}>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt (${}a\geq b$ bedeutet ${}a>b$ oder ${}a=b$).

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in K$ gilt entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$).

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Archimedisch angeordnet

Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Frage:

Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$.

Antwort:

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

$n\geq x$

gibt.

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Intervalle

Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition

Für reelle Zahlen ${}a,b$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Frage:

Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff

Antwort:

Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff/Inhalt

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Gaußklammer

Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition

Zu einer reellen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

Frage:

Die Gaußklammer einer reellen Zahl ${}x$.

Antwort:

Die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ ist durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

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Betrag einer reellen Zahl

Reelle Zahlen/Betrag/Definition

Für eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

Frage:

Der Betrag einer reellen Zahl.

Antwort:

Für eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

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Wachsende Funktion

Reelle Funktion/Wachsend/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ wachsend, wenn

$f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$

Frage:

Eine wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

heißt wachsend, wenn

$f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$

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Fallende Funktion

Reelle Funktion/Fallend/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ fallend, wenn

$f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$

Frage:

Eine fallende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

heißt fallend, wenn

$f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$

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Streng wachsende Funktion

Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ streng wachsend, wenn

$f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$

Frage:

Eine streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

heißt streng wachsend, wenn

$f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$

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Streng fallende Funktion

Reelle Funktion/Streng fallend/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ streng fallend, wenn

$f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$

Frage:

Eine streng fallende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

heißt streng fallend, wenn

$f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$

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Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

${\mathbb {C} }$

bezeichnet.

Frage:

Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).

Antwort:

Die Menge

$\mathbb {R} ^{2}$

mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

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Real- und Imaginärteil

Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$

der Realteil von ${}z$ und

${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$

heißt der Imaginärteil von ${}z$.

Frage:

Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.

Antwort:

Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}a$ den Realteil und ${}b$ den Imaginärteil von ${}z$.

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Komplexe Konjugation

Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

Frage:

Die komplexe Konjugation.

Antwort:

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

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Betrag einer komplexen Zahl

Komplexe Zahl/Betrag/Definition

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

ist der Betrag durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

Frage:

Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.

Antwort:

Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

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Polynom in einer Variablen

Körper/Polynom in einer Variablen/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

Frage:

Ein Polynom über einem Körper ${}K$ in einer Variablen ${}X$.

Antwort:

Ein Ausdruck der Form

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

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Grad eines Polynoms

Polynomring/Grad/Definition

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Frage:

Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

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Rationale Funktion

Reell rationale Funktion/Definition

Zu Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Frage:

Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ${}\mathbb {R}$).

Antwort:

Eine rationale Funktion ist eine Funktion ${}f$, die man als Quotient aus zwei Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}Q\neq 0$ darstellen kann, also ${}f=P/Q$ (sie ist außerhalb der Nullstellen von ${}Q$ definiert).

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Reelle Folge

Reelle Zahlen/Folge/Definition

Eine reelle Folge ist eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$

Frage:

Eine Folge reeller Zahlen.

Antwort:

Eine reelle Folge ist eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$

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Konvergenz einer reellen Folge

Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und es sei ${}x\in \mathbb {R}$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem positiven ${}\epsilon >0$, ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Frage:

Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.

Antwort:

Die Konvergenz gegen ${}x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

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Beschränkt

Reelle Zahlen/Beschränkt/Definition

Eine Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen ${}s\leq S$ mit ${}M\subseteq [s,S]$ gibt.

Frage:

Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.

Antwort:

Eine Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen ${}s\leq S$ mit ${}M\subseteq [s,S]$ gibt.

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Wachsende Folge

Reelle Zahlen/Folge/Wachsend/Definition

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Frage:

Eine wachsende reelle Folge.

Antwort:

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

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Fallende Folge

Reelle Zahlen/Folge/Fallend/Definition

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Frage:

Eine fallende reelle Folge.

Antwort:

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

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Cauchy-Folge

Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Frage:

Eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$.

Antwort:

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

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Teilfolge

Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Frage:

Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.

Antwort:

Zu einer streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

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Intervallschachtelung

Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Frage:

Eine reelle Intervallschachtelung.

Antwort:

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

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Bestimmt divergent gegen ${}+\infty$

Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/+/Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

Frage:

Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}+\infty$.

Antwort:

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

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Bestimmt divergent gegen ${}-\infty$

Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/-/Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

Frage:

Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}-\infty$.

Antwort:

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

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Reihe

Reelle Zahlen/Reihe/Definition

Es sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Frage:

Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von reellen Zahlen ${}a_{k}$.

Antwort:

Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

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Absolute Konvergenz einer Reihe

Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Frage:

Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.

Antwort:

Die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

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Die geometrische Reihe

Geometrische Reihe/Reell/Definition

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$

die geometrische Reihe in ${}x$.

Frage:

Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$

heißt die geometrische Reihe in ${}x$.

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Stetige Funktion

Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in D$. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in D$ stetig ist.

Frage:

Die Stetigkeit einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist,wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.

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Grenzwert einer Funktion

Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Frage:

Der Grenzwert zu einer auf ${}T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Die reelle Zahl ${}b$ heißt Grenzwert von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert.

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Maximum

Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

Frage:

Das Maximum der Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

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Minimum

Reellwertige Funktion/Auf Menge/Minimum/Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

Frage:

Das Minimum der Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

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Lokales Maximum

Reelle Funktion/Lokales Maximum/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt.

Frage:

Ein lokales Maximum einer Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt.

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Lokales Minimum

Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition

Sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

Frage:

Ein lokales Minimum einer Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

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Isoliertes lokales Maximum

Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)>f(x')\,$

gilt.

Frage:

Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)>f(x')\,$

gilt.

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Isoliertes lokales Minimum

Reelle Funktion/Isoliertes lokales Minimum/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)<f(x')\,$

gilt.

Frage:

Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)<f(x')\,$

gilt.

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Potenzreihe

Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Frage:

Eine reelle Potenzreihe.

Antwort:

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

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Cauchy-Produkt

Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition

Zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Frage:

Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen.

Antwort:

Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}.$

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Exponentialreihe

Exponentialreihe/Reell/Definition

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}x$.

Frage:

Die Exponentialreihe für ${}x\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}x$.

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Exponentialfunktion

Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition

Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

heißt (reelle) Exponentialfunktion.

Frage:

Die reelle Exponentialfunktion.

Antwort:

Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

heißt (reelle) Exponentialfunktion.

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Eulersche Zahl

Eulersche Zahl/Exponentialreihe/Definition

Die reelle Zahl

${}e:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,$

heißt eulersche Zahl.

Frage:

Die eulersche Zahl ${}e$.

Antwort:

Die eulersche Zahl ist durch

${}e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$

definiert.

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Natürlicher Logarithmus

Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

Frage:

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

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Exponentialfunktion zu einer Basis

Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ als

${}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,.$

Frage:

Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis ${}b>0$.

Antwort:

Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ ist als

${}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,$

definiert.

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Logarithmus zu einer Basis

Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

Frage:

Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.

Antwort:

Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

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Sinus hyperbolicus

Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Frage:

Der Sinus hyperbolicus.

Antwort:

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

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Kosinus hyperbolicus

Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Frage:

Der Kosinus hyperbolicus.

Antwort:

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

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Tangens hyperbolicus

Hyperbelfunktion/R/Tangens hyperbolicus/Definition

Die durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$

definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.

Frage:

Der Tangens hyperbolicus.

Antwort:

Die durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$

definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.

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Gerade Funktion

R nach R/Gerade Funktion/Definition

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

Frage:

Eine gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

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Ungerade Funktion

R nach R/Ungerade Funktion/Definition

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(-x)=-f(x)\,$

gilt.

Frage:

Eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(-x)=-f(x)\,$

gilt.

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Kosinusreihe

Kosinusreihe/R/Definition

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe zu ${}x$.

Frage:

Die Kosinusreihe zu ${}x\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Kosinusreihe ist

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$

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Sinusreihe

Sinusreihe/R/Definition

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}x$.

Frage:

Die Sinusreihe zu ${}x\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Sinusreihe ist

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

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Tangens

Tangens/Reell/Definition

Die Funktion

$\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$

heißt Tangens.

Frage:

Der Tangens.

Antwort:

Die Funktion

$\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$

heißt Tangens.

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Kotangens

Kotangens/Reell/Definition

Die Funktion

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$

heißt Kotangens.

Frage:

Der Kotangens.

Antwort:

Die Funktion

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$

heißt Kotangens.

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Differenzenquotient

Differenzenquotient/D in R/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

Frage:

Der Differenzenquotient zu einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Zu ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

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Differenzierbarkeit

Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Frage:

Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt

${}a\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt differenzierbar in ${}a$, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert.

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Ableitungsfunktion

Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in I$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

$f'\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$.

Frage:

Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ die Ableitung ${}f'(a)$ zuordnet.

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Höhere Ableitungen

Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Die Funktion ${}f$ heißt ${}n$-mal differenzierbar, wenn sie ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung, also ${}f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

Frage:

Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

(rekursive Definition).

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt ${}n$-mal differenzierbar, wenn sie ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung, also ${}f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

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Stetig differenzierbar

Stetig differenzierbar/R/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ differenzierbar ist und die Ableitung ${}f'$ stetig ist.

Frage:

Eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Man sagt, dass ${}f$ stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ differenzierbar ist und die Ableitung ${}f'$ stetig ist.

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Die Zahl ${}\pi$

Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist durch

${}\pi :=2s\,$

definiert.

Frage:

Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).

Antwort:

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist definiert durch

${}\pi :=2s\,.$

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Arkussinus

Trigonometrische Funktionen/Arkussinus/Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

Frage:

Der Arkussinus.

Antwort:

Der Arkussinus

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.

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Arkuskosinus

Trigonometrische Funktionen/Arkuskosinus/Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

Frage:

Der Arkuskosinus.

Antwort:

Der Arkuskosinus

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

ist die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion.

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Taylor-Polynom

Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt

${}T_{a,n}(f)(x):=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Frage:

Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

Antwort:

Das Polynom

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

heißt das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ in ${}a$.

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Taylor-Reihe

Funktion/R/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine unendlich oft differenzierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Frage:

Die Taylor-Reihe im Punkt ${}a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}f$.

Antwort:

Die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ ist

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$

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Treppenfunktion

Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$. Dann heißt eine Funktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,$

von ${}I$ derart gibt, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

Frage:

Eine Treppenfunktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Funktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

$a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$

von ${}I$ gibt derart, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

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Treppenintegral

Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ und sei

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann heißt

${}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,$

das Treppenintegral von ${}t$ auf ${}I$.

Frage:

Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Antwort:

Das Treppenintegral von ${}t$ ist durch

$T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

definiert.

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Obere Treppenfunktion

Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine untere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}s(x)\leq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

Frage:

Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

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Oberes Treppenintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral

${}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von ${}f$ auf ${}I$.

Frage:

Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ${}t$ zu einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Zur oberen Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral

$T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

eine oberes Treppenintegral von ${}f$ auf ${}I$.

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Unteres Treppenintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}s_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt

${}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von ${}f$ auf ${}I$.

Frage:

Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion ${}s$ zu einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Zur unteren Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}s_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt

${}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein unteres Treppenintegral von ${}f$ auf ${}I$.

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Oberintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$ das Oberintegral von ${}f$.

Frage:

Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$.

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Unterintegral

Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ das Unterintegral von ${}f$.

Frage:

Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ heißt das Unterintegral von ${}f$.

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Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Frage:

Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar auf ${}I$, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

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Bestimmtes Integral

Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${}f$ über ${}I$. Es wird mit

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^{}f(t)\,dt$

bezeichnet.

Frage:

Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.

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Riemann-integrierbar

Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.

Frage:

Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Antwort:

Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.

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Integralfunktion

Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt die Funktion

$I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

Frage:

Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Antwort:

Die Funktion

$I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

heißt die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

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Stammfunktion

Funktion/R/Stammfunktion/Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}I$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Frage:

Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.

Antwort:

Eine Funktion ${}F\colon {]a,b[}\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}]a,b[$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ gilt.

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Lineares Gleichungssystem

Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Frage:

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Das System

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die ${}a_{ij}$ und die ${}c_{i}$ aus ${}K$ sind.

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Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Frage:

Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

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Matrix

Matrizen/IxJ/nxm/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ und ${}J$ Indexmengen. Eine ${}I\times J$-Matrix ist eine Abbildung

$I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$

Bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer ${}m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Frage:

Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ ist ein Schema der Form

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

wobei die ${}a_{ij}$ aus ${}K$ sind.

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Matrizenmultiplikation

Matrizenmultiplikation/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

Frage:

Die Matrizenmultiplikation.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

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Standardvektor

Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man zu ${}i\in \{1,\ldots ,n\}$ den Vektor

$e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n},$

wobei ${}1$ an der ${}i$-ten Stelle steht, den ${}i$-ten Standardvektor.

Frage:

Der ${}i$-te Standardvektor im ${}K^{n}$.

Antwort:

Der Vektor

${}e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$

wobei die ${}1$ an der ${}i$-ten Stelle steht, heißt ${}i$-ter Standardvektor.

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Vektorraum

Vektorraum/Direkt/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

$+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

und

$\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.$

Dann nennt man ${}V$ einen Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

1. ${}u+v=v+u$,
2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
3. ${}v+0=v$,
4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
5. ${}1\cdot u=u$,
6. ${}r(su)=(rs)u$,
7. ${}r(u+v)=ru+rv$,
8. ${}(r+s)u=ru+su$.

Frage:

Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Unter einem Vektorraum ${}V$ über ${}K$ versteht man eine Menge ${}V$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

$+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

und

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$

derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig):

1. ${}u+v=v+u$,
2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
3. ${}v+0=v$,
4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
5. ${}r(su)=(rs)u$,
6. ${}r(u+v)=ru+rv$,
7. ${}(r+s)u=ru+su$,
8. ${}1\cdot u=u$.

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Untervektorraum

Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}0\in U$.
2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.

Frage:

Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Die Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}0\in U$.
2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.

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Linearkombination

Vektorraum/Linearkombination/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann heißt der Vektor

$s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$).

Frage:

Eine Linearkombination in einem ${}K$- Vektorraum.

Antwort:

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann heißt der Vektor

$s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren

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Erzeugendensystem

Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als

${}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$

mit einer endlichen Teilfamilie ${}J\subseteq I$ und mit ${}s_{j}\in K$ darstellen kann.

Frage:

Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.

Antwort:

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als Linearkombination der ${}v_{i}$ darstellen kann.

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Aufgespannter Unterraum

Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, setzt man

$\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Frage:

Der von einer Familie von Vektoren ${}v_{i},\,i\in I$, aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ aufgespannte Untervektorraum.

Antwort:

Man nennt

${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

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Linear unabhängig (endliche Familie)

Lineare Algebra/Linear unabhängig/Endliche Indexmenge/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ${}I$) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K$

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Frage:

Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$

nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

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Basis

Vektorraum/Basis/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, von ${}V$ eine Basis von ${}V$.

Frage:

Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.

Antwort:

Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

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Dimension

Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$, geschrieben

$\operatorname {dim} _{}\left(V\right).$

Frage:

Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).

Antwort:

Unter der Dimension eines Vektorraums ${}V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von ${}V$.

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Lineare Abbildung

Lineare Abbildung/Körper/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

Frage:

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Antwort:

Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

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Matrix zu linearer Abbildung

Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt die ${}m\times n$- Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Frage:

Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$.

Antwort:

Unter der beschreibenden Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die ${}m\times n$- Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist.

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Durch Matrix festgelegte lineare Abbildung

Matrix/Lineare Abbildung zu Basis/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

gemäß Satz 24.7 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Frage:

Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

gemäß Satz 24.7 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

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Kern

Lineare Abbildung/Kern/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

den Kern von ${}\varphi$.

Frage:

Der Kern einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Antwort:

Man nennt

${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

den Kern von ${}\varphi$.

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Rang einer linearen Abbildung

Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

${}\operatorname {rang} \,\varphi :=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,$

den Rang von ${}\varphi$.

Frage:

Der Rang einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Antwort:

Unter dem Rang einer linearen Abbildung ${}\varphi$ versteht man

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,.$

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Invertierbare Matrix

Invertierbare Matrix/Körper/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

Frage:

Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

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Inverse Matrix

Inverse Matrix/Körper/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Frage:

Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

heißt die inverse Matrix von ${}M$.

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Ähnliche Matrix

Matrizen/Ähnlichkeit/Definition

Zwei quadratische Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

Frage:

Ähnliche Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.

Antwort:

Die Matrizen ${}M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

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Spaltenrang

Matrix/Spaltenrang einer Matrix/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

$\operatorname {rang} \,M.$

Frage:

Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.

Antwort:

Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix ${}M$.

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Determinante (rekursive Definition)

Determinante/Rekursiv/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

${}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$

Frage:

Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.

Antwort:

Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

$\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$

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Transponierte Matrix

Matrix/K/Transponierte/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$. Dann nennt man die ${}n\times m$-Matrix

${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu ${}M$.

Frage:

Die transponierte Matrix zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.

Antwort:

Man nennt die Matrix

${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu ${}M$.

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Determinante eines Endomorphismus

Endomorphismus/Determinante/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

${}\det \varphi :=\det M\,$

die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$.

Frage:

Die Determinante eines Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Die Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben. Dann nennt man

${}\det \varphi :=\det M\,$

die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$.

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Eigenvektor

Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, ein Eigenvektor von ${}\varphi$ (zum Eigenwert ${}\lambda$), wenn

${}\varphi (v)=\lambda v\,$

mit einem ${}\lambda \in K$ gilt.

Frage:

Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Ein Element ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von ${}\varphi$, wenn

${}\varphi (v)=\lambda v\,$

mit einem gewissen ${}\lambda \in K$ gilt.

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Eigenwert

Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

${}\varphi (v)=\lambda v\,$

gibt.

Frage:

Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Ein Element ${}\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

${}\varphi (v)=\lambda v\,$

gibt.

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Eigenraum

Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$

den Eigenraum von ${}\varphi$ zum Wert ${}\lambda$.

Frage:

Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Man nennt

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$

den Eigenraum von ${}\varphi$ zum Wert ${}\lambda$.

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Charakteristisches Polynom

Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition

Zu einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$ heißt das Polynom

${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

das charakteristische Polynom von ${}M$.

Frage:

Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.

Antwort:

Das Polynom

${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

heißt charakteristisches Polynom von ${}M$.

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Geometrische Vielfachheit

Endomorphismus/Eigenwert/Geometrische Vielfachheit/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zu einem Eigenwert ${}\lambda \in K$ nennt man

$\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)$

die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

Frage:

Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Man nennt

$\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)$

die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

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Algebraische Vielfachheit

Endomorphismus/Eigenwert/Algebraische Vielfachheit/Definition

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und ${}\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$. Sie wird mit

${}\mu _{\lambda }=\mu _{\lambda }(\varphi )\,$

bezeichnet.

Frage:

Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$.

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Diagonalisierbare Abbildung

Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Mit Eigenvektoren/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

Frage:

Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Antwort:

Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

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Trigonalisierbare Abbildung

Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Frage:

Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum ist.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

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