Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/18/Unterteilung bei Treppenintegral/Studentenfrage/Antwort

${}n$ Teilintervalle der Länge ${}1/n$ ergeben eine Gesamtlänge von ${}1$. Damit unterteilen wir also das gesamte Intervall ${}[0,1]$. Die Unterteilung in gleichlange Teilintervalle hat den Vorteil, dass es im Vergleich zu anderen Unterteilungen sehr einfach zu handhaben ist. Das ${}i$-te Intervall hat einfach die Grenzen ${}\left[{\frac {i}{n}},{\frac {i+1}{n}}\right]$.

Es gibt aber auch Situationen in denen es sinnvoll sein kann andere Unterteilungen zu wählen. Wir können zum Beispiel beim Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dtCheckmeplease$ auf die Idee kommen die Unterteilung in die Intervalle ${}\left[\left({\frac {i}{n}}\right)^{2},\left({\frac {i+1}{n}}\right)^{2}\right]$ für ${}i=0,\ldots ,n-1$ zu wählen, da dann sich in den Werten die Wurzeln wegheben. Die Intervalle haben die Länge

${\frac {(i+1)^{2}-i^{2}}{n^{2}}}={\frac {2i+1}{n^{2}}}$

sind also auf jedenfall nicht gleich lang. Das Untertreppenintegral ist dann

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2i+1}{n^{2}}}\cdot {\frac {i}{n}}={\frac {2}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}+{\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i={\frac {2}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}+{\frac {1}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {4n^{2}-3n-1}{6n^{2}}}.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ konvergiert dies gegen ${}{\frac {2}{3}}$. Entsprechend lässt sich das auch für das Oberintegral durchführen.

Wenn wir diese Unterteilung aber auf das Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dtCheckmeplease$ aus dem Beispiel anwenden, erhalten wir das Treppenintegral

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2i+1}{n^{2}}}\cdot {\frac {i^{4}}{n^{4}}}.$

und das ist nur unnötig kompliziert auszurechnen.

Das Intervall in verschieden lange Intervalle zu unterteilen wird auch bei der numerischen Integration genutzt, also bei der näherungsweisen Berechnung des Integralls durch einen Computer. Dazu werden Abschnitte des Intervalls in der die Funktion eine hohe Steigung aufweist feiner unterteilt als relativ flache Abschnitte. Dadurch konvergieren die Treppenintegrale schneller und wir brauchen insgesamt weniger Rechenschritte für die selbe Genauigkeit.

Zur beantworteten Studentenfrage