Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/3/Quadratfunktionnichtinjektiv/Studentenfrage/Antwort

Folgende Aussage ist falsch: "Die Tatsache, dass jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel hat führt dazu, dass die Abbildung nicht injektiv sein kann." Aber: Weil jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel hat, ist die Abbildung nach ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ surjektiv. Dies sagt nichts über die Injektivität aus.

Die Funktion ist nicht injektiv, weil manche Werte von mehreren Zahlen getroffen werden. Injektivität widerlegt man am Besten mit einem Gegenbeispiel - zum Beispiel -1 und 1 die beide auf 1 abbilden. Dies widerspricht direkt der Definition von Injektivität.

Jeder Wert hat genau zwei Elemente im Urbild, nämlich die Wurzel und das negative der Wurzel. Deshalb ist die auf die nichtnegativen Zahlen eingeschränkte Funktion ${}R_{\geq 0}\longrightarrow R$, ${}x\longmapsto x^{2}$) auch injektiv, da jeder Wert bezüglich dieser Funktion nur von der positiven Wurzel getroffen wird.

Zur beantworteten Studentenfrage