Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/3/RationaleEbene/Studentenfrage/Antwort

Der Unterschied zwischen den Körpern der rationalen und der reellen Zahlen ist, dass der Körper der reellen Zahlen vollständig ist (Siehe Vorlesung 8).

Der Körper der reellen Zahlen besitzt also viele Elemente, die in ${}\mathbb {Q}$ fehlen. Wenn wir aber in der Ebene jeden rationalen Punkt (also mit Werten in ${}\mathbb {Q} \times \mathbb {Q}$) mit einem beliebig kleinen Kreis markieren würden, wäre trotzdem die gesamte Ebene markiert. Dies ist die Eigenschaft, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Das ist äquivalent dazu, dass wir für jede reelle Zahl ${}x$ eine rationale Folge finden die gegen ${}x$ konvergiert.

Man könnte ${}\mathbb {Q} \times \mathbb {Q}$ also als alle rationalen Näherungen von Punkten der Ebene betrachten.

Zur beantworteten Studentenfrage