Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/4/Einfach1addieren/Studentenfrage/Antwort

Wir dürfen natürlich jede Zahl addieren, das ist ja einfach eine Operation auf den natürlichen Zahlen. Aber nur wenn wir eine 1 addieren, bleibt immer ein Rest übrig, wenn wir durch eine Primzahl teilen. Das liegt daran, dass 1 keine Primzahl ist, und der Summand ${}p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r}$ durch jede Primzahl teilbar ist. Wenn wir durch eine Primzahl teilen, wenden wir das Distributivgesetz auf die Summe an und teilen beide Summanden getrennt. Die Reste können wir dann addieren. Hier nochmal der Beweis.

Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl

${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar, da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer ein Rest ${}1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${}N$, die es nach Satz 2.5 geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

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Zur beantworteten Studentenfrage