Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/5/Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Studentenfrage/Antwort

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Man muss hier aufpassen, die zugehörige Vips-Aussage ("Der Betrag einer komplexen Zahl ist genau dann wenn ist.") ist zum Beispiel nicht wahr.

Deine Formulierung macht allerdings nur Sinn, wenn wir als Voraussetzung fordern, dass eine relle Zahl ist, da wir nur dann eine Ordnung haben und davon sprechen können, dass sein soll. Die Aussage "Für alle rellen Zahlen mit ist genau dann, wenn ist." ist also wahr. Das ist wahr im Unterschied zu der Vips-Aussage, weil nach Lemma 5.20  (1) für reelle Zahlen der reelle Betrag mit dem komplexen Betrag übereinstimmt und dann also für nichtnegative reelle Zahlen der Betrag mit der Zahl selbst übereinstimmt, also .

Die Stärke und Prägnanz der Aussage Lemma 5.20  (2) geht dabei aber großteils verloren. Denn Lemma 5.20  (2) hats als Konsequenz, dass um zu überprüfen ob eine komplexe Zahl 0 ist, es genügt zu prüfen ob ihr Betrag 0 ist.
Zur beantworteten Studentenfrage