Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 49/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Umparametrisierung ) ab.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein reelles Intervall und seien

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 48.3.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 48.3 auf das Diagramm

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

gilt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition in folgenden Schritten.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

und

in bzw. in total differenzierbare Abbildungen. Es sei ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch stetig differenzierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen und derart, dass nicht partiell differenzierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen und derart, dass auch partiell differenzierbar ist, dass aber

nicht gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und -fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch -fach stetig differenzierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und euklidische Vektorräume, offen und sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig differenzierbar ist, wenn total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

differenzierbar im Nullpunkt und sei eine Folge in mit

Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition veranschaulichen.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktionen

mit

und

Berechne das totale Differential von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn

für alle ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Mengen, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

in differenzierbar ist mit

Tipp: Verwende Aufgabe 48.11 und die Kettenregel.

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

und eine stetige Funktion

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

nicht differenzierbar ist.