Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 20/latex

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\setcounter{section}{ 20 }






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller6.eps} }
\end{center}
\bildtext {Doch dann hat sie das Beste daraus gemacht. Vermutlich hängt ihre Zugänglichkeit und Menschenbezogenheit auch mit ihren frühen Erfahrungen zusammen.} }

\bildlizenz { Waeller6.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}



\epigraph { Nicht allein in Rechnungssachen Soll der Mensch sich Mühe machen; Sondern auch der Weisheit Lehren Muß man mit Vergnügen hören. } { Wilhelm Busch, Max und Moritz }

Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen man Stammfunktionen finden bzw. bestimmte Integrale berechnen kann. Sie beruhen auf Ableitungsregeln.






\zwischenueberschrift{Partielle Integration}





\inputfaktbeweis
{Partielle Integration/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t }
{ =} { fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund der Produktregel ist $fg$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathl{fg'+f'g}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ a }^{ b } f(t) g'(t) \, d t + \int_{ a }^{ b } f'(t) g(t) \, d t }
{ =} { \int_{ a }^{ b } { \left( fg'+f'g \right) } (t) \, d t }
{ =} { fg | _{ a } ^{ b } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}


Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form
\mathl{fg'}{} vor, sondern einfach als Produkt $uv$ \zusatzklammer {wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung $1 u$ manchmal helfen kann} {} {.} Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn $V$ eine Stammfunktion von $v$ ist, so lautet die Formel
\mathdisp {\int uv = uV- \int u' V} { . }
Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also
\mathl{\int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t}{,} integriert werden kann.




\inputbeispiel{}
{

Wir bestimmen eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{}
\mathl{\ln x}{} mittels partieller Integration, wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ln x }
{ = }{ 1 \cdot \ln x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben und die konstante Funktion $1$ integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } \ln x \, d x }
{ =} { (x \cdot \ln x) | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } x \cdot { \frac{ 1 }{ x } } \, d x }
{ =} { (x \cdot \ln x) | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } 1 \, d x }
{ =} { (x \cdot \ln x) | _{ a } ^{ b } - x | _{ a } ^{ b } }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion ist also
\mathl{x \cdot \ln x - x}{.}


}




\inputbeispiel{}
{

Eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{}
\mathl{\sin x}{} ist
\mathl{- \cos x}{.} Um Stammfunktionen zu
\mathl{\sin^{ n } x}{} zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu kleineren Potenzen zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von $0$ ausgehen, also für $0$ den Wert $0$ besitzen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist mittels partieller Integration
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n } t \, d t }
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \cdot \sin^{ 2 } t \, d t }
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \cdot { \left( 1- \cos^{ 2 } t \right) } \, d t }
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \, d t - \int_{ 0 }^{ x } { \left( \sin^{ n-2 } t \cos t \right) } \cos t \, d t }
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \, d t - \frac{ \sin^{ n-1 } t }{ n-1} \cos t | _{ 0 } ^{ x } - \frac{1}{n-1} { \left(\int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n } t \, d t\right) } }
} {}{}{.} Durch Multiplikation mit
\mathl{n-1}{} und Umstellen erhält man
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ n \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n } t \, d t }
{ =} {(n-1) \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ n-2 } t \, d t - \sin^{ n-1 } x \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Speziell ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ 2 } t \, d t }
{ =} { \frac{1}{2} ( x- \sin x \cos x ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}






\zwischenueberschrift{Integration der Umkehrfunktion}





\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {f} {[a,b]} {[c,d] } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und es sei $F$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von $f$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(y) }
{ \defeq} { y f^{-1} (y) - F { \left( f^{-1}(y) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Stammfunktion der \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\mathl{f^{-1}}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\definitionsverweis {Ableiten}{}{} unter Verwendung von Lemma 14.7 und Satz 14.8 ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }' }
{ =} {f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } } }
{ =} {f^{-1}(y) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {FunktionUmkehrIntegralOhne.eps} }
\end{center}
\bildtext {Funktionsgraph mit Umkehrfunktion und Flächen zur Berechnung eines Integrals der Umkehrfunktion.} }

\bildlizenz { FunktionUmkehrIntegralOhne.svg } {Jonathan Steinbuch} {Jonathan.Steinbuch} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}


Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn \maabb {f} {[a,b]} {\R_+ } {} eine streng wachsende stetige Funktion ist \zusatzklammer {und daher eine Bijektion zwischen \mathkor {} {[a,b]} {und} {[f(a),f(b)]} {} induziert} {} {,} so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(s) \, d s + \int_{ f(a) }^{ f(b) } f^{-1}(t) \, d t = bf(b)-a f(a)} { }
bzw.
\mathdisp {\int_{ f(a) }^{ f(b) } f^{-1}(t) \, d t = bf(b)-a f(a) - \int_{ a }^{ b } f(s) \, d s} { . }
Für die Stammfunktion $G$ von
\mathl{f^{-1}}{} mit dem Startpunkt
\mathl{f(a)}{} gilt daher, wenn $F$ die Stammfunktion zu $f$ bezeichnet, die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{G(y) }
{ =} { \int_{ f(a) }^{ y } f^{-1}(t) \, d t }
{ =} { \int_{ f(a) }^{ f(f^{-1}(y)) } f^{-1}(t) \, d t }
{ =} { f^{-1}(y) f( f^{-1}(y))-a f(a) - \int_{ a }^{ f^{-1}(y) } f(s) \, d s }
{ =} { y f^{-1}(y) - a f(a) - F(f^{-1}(y)) + F(a) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) - a f(a) + F(a) }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
}{}{,} wobei
\mathl{- a f(a) + F(a)}{} eine Integrationskonstante ist.




\inputbeispiel{}
{

Wir berechnen eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathl{\arctan x}{} unter Verwendung von Satz 20.4. Eine Stammfunktion des Tangens ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \tan t \, d t }
{ =} { - \ln (\cos x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mathdisp {x \cdot \arctan x + \ln (\cos (\arctan x))} { }
eine Stammfunktion von
\mathl{\arctan x}{.}


}






\zwischenueberschrift{Die Substitutionsregel}





\inputfaktbeweis
{Integration/Substitutionsregel/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei \maabbdisp {g} {[a,b]} {I } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t }
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f ( s) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von $f$, die aufgrund von Korollar 19.5 existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t \mapsto F(g(t)) }
{ =} { (F \circ g)(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(g(t)) g'(t) }
{ = }{ f(g(t))g'(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t }
{ =} { (F \circ g) | _{ a } ^{ b } }
{ =} { F(g(b)) - F(g(a)) }
{ =} { F | _{ g(a) } ^{ g(b) } }
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f(s) \, d s }
} {}{}{.}

}





\inputbeispiel{}
{

Typische Beispiele, wo man sofort erkennen kann, dass man die Substitutionsregel anwenden kann, sind beispielsweise
\mathdisp {\int g^n g'} { }
mit der Stammfunktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ n+1 } } g^{n+1}} { }
oder
\mathdisp {\int { \frac{ g' }{ g } }} { }
mit der Stammfunktion
\mathdisp {\ln g} { . }


}

Häufig liegt ein bestimmtes Integral nicht in einer Form vor, dass man die vorstehende Regel direkt anwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Variante zum Zug.





\inputfaktbeweis
{Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es sei \maabbeledisp {\varphi} {[c,d]} {[a,b] } {s} {\varphi(s) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t }
{ =} {\int_{ \varphi^{-1}(a) }^{ \varphi^{-1}(b) } f( \varphi(s)) \cdot \varphi'(s) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Satz 20.6 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ \varphi^{-1}(a) }^{ \varphi^{-1}(b) } f( \varphi(s)) \varphi'(s) \, d s }
{ =} { \int_{ \varphi { \left( \varphi^{-1}(a) \right) } }^{ \varphi { \left( \varphi^{-1}(b) \right) } } f( t) \, d t }
{ =} { \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}







\inputbemerkung
{}
{

Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t} { }
berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t }
{ =} { \varphi(s) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Integral einfacher wird \zusatzklammer {und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung
\mathl{\varphi'(t)}{} und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion
\mathl{\varphi^{-1}}{} berechenbar ist} {} {.} Mit \mathkor {} {c= \varphi^{-1}(a)} {und} {d= \varphi^{-1}(b)} {} liegt insgesamt die Situation
\mathdisp {[c,d] \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} [a,b] \stackrel{f}{\longrightarrow} \R} { }
vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.

Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt. \aufzaehlungdrei{Ersetze
\mathl{f(t)}{} durch
\mathl{f(\varphi(s))}{.} }{Ersetze
\mathl{dt}{} durch
\mathl{\varphi'(s)ds}{.} }{Ersetze die Integrationsgrenzen \mathkor {} {a} {und} {b} {} durch \mathkor {} {\varphi^{-1}(a)} {und} {\varphi^{-1}(b)} {.} }

Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merk\-regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{dt }
{ =} {d \varphi(s) }
{ =} {\varphi'(s)ds }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der man im Rahmen der Theorie der \anfuehrung{Differentialformen}{} auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.

}




\inputbeispiel{}
{

Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 =1 , \, -1 \leq x \leq 1 , \, y \geq 0 \right\} }} { . }
Zu gegebenem
\mathbed {x} {}
{-1 \leq x \leq 1} {}
{} {} {} {,} gibt es genau ein $y$, das diese Bedingung erfüllt, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ \sqrt{1-x^2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion
\mathl{x \mapsto \sqrt{1-x^2}}{} über dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{,} also gleich
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 1 } \sqrt{1-x^2} \, d x} { . }
Mit der Substitution
\mathdisp {x = \cos t \text{ bzw. } t = \arccos x} { }
\zusatzklammer {wobei
\mathl{\cos :[0, \pi] \rightarrow [-1,1]}{} bijektiv ist} {} {,} erhält man
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ a }^{ b } \sqrt{1-x^2} \, d x }
{ =} { \int_{ \arccos a }^{ \arccos b } \sqrt{1- \cos^{ 2 } t } (- \sin t ) \, d t }
{ =} { - \int_{ \arccos a }^{ \arccos b } \sin^{ 2 } t \, d t }
{ =} { \frac{1}{2} ( \sin t \cos t -t ) | _{ \arccos a } ^{ \arccos b } }
{ } { }
} {} {}{.} Insbesondere ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \frac{1}{2} { \left( x\cdot \sin \left( \arccos x \right)- \arccos x \right) } }
{ =} {\frac{1}{2} { \left( x\cdot \sqrt{1-x^2} - \arccos x \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} zu
\mathl{\sqrt{1-x^2}}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -1 }^{ 1 } \sqrt{1-x^2} \, d x }
{ =} { \frac{1}{2} ( \sin 0 + \sin \pi + \pi ) }
{ =} { \pi/2 }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.}


}




\inputbeispiel{}
{

Wir bestimmen eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathl{\sqrt{x^2-1}}{} unter Verwendung der Hyperbelfunktionen \mathkor {} {\sinh t} {und} {\cosh t} {,} für die die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cosh^{ 2 } t - \sinh^{ 2 } t }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Die Substitution
\mathdisp {x= \cosh t \text{ mit } dx = \sinh t dt} { }
liefert\zusatzfussnote {Die Umkehrfunktion des Kosinus hyperbolicus heißt \stichwort {Areakosinus hyperbolicus} {} und wird mit \mathlk{\, \operatorname{arcosh} \, x \,}{} bezeichnet} {.} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ a }^{ b } \sqrt{x^2-1} \, d x }
{ =} { \int_{ \, \operatorname{arcosh} \, a \, }^{ \, \operatorname{arcosh} \, b \, } \sqrt{ \cosh^{ 2 } t-1 } \cdot \sinh t \, d t }
{ =} { \int_{ \, \operatorname{arcosh} \, a \, }^{ \, \operatorname{arcosh} \, b \, } \sinh^{ 2 } t \, d t }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh^{ 2 } t }
{ =} {{ \left(\frac{1}{2} { \left( e^t - e^{-t} \right) } \right) }^2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( e^{2t} + e^{-2t} -2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \sinh^{ 2 } u \, d u }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } e^{2u} - { \frac{ 1 }{ 2 } } e^{-2u} - 2u\right) } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 4 } } \sinh 2 u - { \frac{ 1 }{ 2 } } u }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ }^{ } \sqrt{x^2-1} \, d x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } \sinh (2 \, \operatorname{arcosh} \, x \,) - { \frac{ 1 }{ 2 } } \, \operatorname{arcosh} \, x \, }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aufgrund des Additionstheorems für Sinus hyperbolicus ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sinh 2u }
{ = }{ 2 \sinh u \cosh u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher kann man diese Stammfunktion auch als
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sinh { \left( \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } \cosh { \left( \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{ \cosh { \left( \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) }^2 -1 } \cdot x - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{ x^2 -1 } \cdot x - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben.


}




\inputbeispiel{}
{

Wir wollen eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x^2 }{ (x \cos x - \sin x )^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } }} { . }
Diese ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ - { \frac{ \cos x -x \sin x - \cos x }{ (x \cos x - \sin x )^2 } } }
{ =} { { \frac{ x \sin x }{ (x \cos x - \sin x )^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir schreiben daher $f$ als ein Produkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ x \sin x }{ (x \cos x - \sin x )^2 } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wenden darauf partielle Integration an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left({ \frac{ x }{ \sin x } }\right) }' }
{ =} { { \frac{ \sin x - x \cos x }{ \sin^{ 2 } x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ }^{ } f ( x) \, d x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } \bruchhilfealign - \int_{ }^{ } { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ \sin x - x \cos x }{ \sin^{ 2 } x } } \, d x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } + \int_{ }^{ } { \frac{ 1 }{ \sin^{ 2 } x } } \, d x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \cos x - \sin x } } \cdot { \frac{ x }{ \sin x } } - \cot x }
{ } {}
} {}{}{.}


}



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