Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\epigraph { Wirf den Helden in deiner Seele nicht weg! } { Friedrich Nietzsche }
\zwischenueberschrift{Das charakteristische Polynom}
Wir möchten zu einem Endomorphismus \maabb {\varphi} {V} {V } {} die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {charakteristische Polynom}{}\zusatzfussnote {Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von \mathlk{M - X \cdot E_n}{} anstatt von \mathlk{X \cdot E_n - M}{.} Dies ändert aber
\zusatzgs {und zwar nur bei $n$ ungerade} {}
nur das Vorzeichen} {.} {}
von $M$.
}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n} \\ -a_{21} & X-a_{22} & \ldots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & X-a_{nn} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring
\mathl{K[X]}{.} Da wir sie aber als Elemente im
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{K(X)}{} auffassen können\zusatzfussnote {\mathlk{K(X)}{} heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen
\mathl{P/Q}{} zu Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $\C$ kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren} {.} {,}
ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in
\mathl{K(X)}{,} da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist $n$ und der Leitkoeffizient ist $1$, d.h. die Gestalt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {X^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1 X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gilt die wichtige Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 28.4.
Hier wird links die Zahl $\lambda$ in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von $\lambda$ abhängt, ausgerechnet.
Für eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das \stichwort {charakteristische Polynom} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ \defeq} { \chi_{ M }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der
Determinantenmultiplikationssatz
zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe
Aufgabe 28.3.
Das charakteristische Polynom der Identität auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{
\operatorname{Id} }
}
{ =} { \det \left( XE_n-E_n \right)
}
{ =} { (X-1)^n
}
{ =} { X^n- nX^{n-1} + \binom{n}{2} X^{n-2} - \binom{n}{3} X^{n-3} + \cdots \pm \binom{n}{2} X^{2} \mp n X \pm 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
für $\varphi$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die lineare Abbildung
\mathdisp {\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi} { }
nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
\zusatzklammer {und nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist
\zusatzklammer {wegen
Satz 26.11
und
Lemma 25.11} {} {.}
Dies ist nach
Lemma 27.11
und
Lemma 24.14
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} ( \lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( x E_2 -M \right) }
}
{ =} { \det { \left( x \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x & -5 \\ -1 & x \end{pmatrix}
}
{ =} { x^2-5
}
}
{}
{}{.}
Die Eigenwerte sind also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \pm \sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {diese Eigenwerte haben wir auch in
Beispiel 27.9
ohne charakteristisches Polynom gefunden} {} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-2 & -5 \\ 3 & X-4 \end{pmatrix}
}
{ =} { (X-2)(X-4) +15
}
{ =} { X^2 -6X +23
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-3)^2
}
{ =} {-23 +9
}
{ =} {-14
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die über $\R$ nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über $\R$ keine
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
besitzt. Über ${\mathbb C}$ hingegen gibt es die beiden Eigenwerte
\mathkor {} {3+\sqrt{14} { \mathrm i}} {und} {3 - \sqrt{14} { \mathrm i}} {.}
Für den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu
\mathl{3+\sqrt{14} { \mathrm i}}{} muss man
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Eig}_{ 3+\sqrt{14} { \mathrm i} } { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( { \left( 3+ \sqrt{14} { \mathrm i} \right) } E_2 - M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{14} { \mathrm i} & -5 \\ 3 & -1 + \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
bestimmen, ein Basisvektor
\zusatzklammer {also ein Eigenvektor} {} {}
davon ist
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\1+ \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix}}{.} Analog ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 3 -\sqrt{14} { \mathrm i} } { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \begin{pmatrix} 1 - \sqrt{14} { \mathrm i} & -5 \\ 3 & -1 - \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\1 - \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Für eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
nach
Lemma 26.8
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X-d_1)(X-d_2) \cdots (X-d_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, sodass unmittelbar seine Nullstellen und damit die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
von $M$ ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente
\mathl{d_1,d_2 , \ldots , d_n}{}
\zusatzklammer {die nicht alle verschieden sein müssen} {} {.}
}
\zwischenueberschrift{Vielfachheiten}
Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im charakteristischen Polynom $\chi_{ \varphi }$ die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von $\lambda$, die wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_\lambda
}
{ \defeq }{ \mu_\lambda(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also
\mathdisp {\dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }} { }
die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von $\lambda$. Nach
Satz 28.2
ist die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mathl{\lambda \in K}{.}}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen der
\definitionsverweis {geometrischen}{}{}
und der
\definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ \leq} { \mu_\lambda(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von diesem
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{,}
die wir durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-m}}{} zu einer Basis von $V$
ergänzen.
Bezüglich dieser Basis hat die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda E_m & B \\ 0 & C \end{pmatrix}} { . }
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist daher
nach Aufgabe 26.9
gleich
\mathl{(X- \lambda)^m \cdot \chi_{ C }}{,} sodass die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
mindestens $m$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten
\mathl{2\times 2}{-}\stichwort {Scherungsmatrizen} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {(X-1)(X-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass $1$ der einzige
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $M$ ist. Den zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
berechnet man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 1 } { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \begin{pmatrix} 0 & -a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\s \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -as \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
ist, und dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Eigenraum eindimensional ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
des Eigenwerts $1$ gleich $2$, die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
gleich $1$.
}
\zwischenueberschrift{Diagonalisierbarkeit}
Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Viele Eigenwerte mit hochdimensionalen Eigenräumen korrespondieren zu strukturell einfachen linearen Abbildungen. Ein Extremfall liegt bei den sogenannten diagonalisierbaren Abbildungen vor.
Bei einer Diagonalmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}} { }
ist das charakteristische Polynom einfach gleich
\mathdisp {(X-d_1) (X-d_2) \cdots (X-d_n)} { . }
Wenn die Zahl $d$ in den Diagonalelementen $k$-mal vorkommt, so kommt auch der Linearfaktor
\mathl{X-d}{} mit dem Exponenten $k$ in der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms vor. Dies gilt auch, wenn nur eine obere Dreiecksmatrix vorliegt. Anders aber als bei einer oberen Dreiecksmatrix kann man bei einer Diagonalmatrix sofort die Eigenräume angeben, siehe
Beispiel 27.7,
und zwar besteht der Eigenraum zu $d$ aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren $e_i$, für die $d_i$ gleich $d$ ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft $d$ als Diagonalelement auftritt. Bei einer Diagonalmatrix stimmen also algebraische und geometrische Vielfachheiten überein.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt $\varphi$ \definitionswort {diagonalisierbar}{,} wenn $V$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $\varphi$ besitzt.
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Basis $\mathfrak{ v }$ von $V$ derart, dass die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
\mathl{M_ \mathfrak{ v }^ \mathfrak{ v }(\varphi)}{} eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist.
}{Für jede beschreibende Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ M_ \mathfrak{ w }^ \mathfrak{ w }(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich einer Basis $\mathfrak{ w }$ gibt es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ derart, dass
\mathdisp {B M B^{-1}} { }
eine Diagonalmatrix ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel 27.7 und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Korollar 25.9.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitze.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von Lemma 27.14 gibt es $n$ \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.} Diese bilden nach Korollar 23.21 eine \definitionsverweis {Basis}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir schließen an
Beispiel 27.9
an. Es gibt die beiden
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
\mathkor {} {\begin{pmatrix} \sqrt{5} \\1 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} -\sqrt{5} \\1 \end{pmatrix}} {}
zu den verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mathkor {} {\sqrt{5}} {und} {- \sqrt{5}} {,}
sodass die Abbildung
nach Korollar 28.10
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist. Bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ u }$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & - \sqrt{5} \end{pmatrix}} { . }
beschrieben.
Die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
von der Basis $\mathfrak{ u }$ zur durch
\mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {}
gegebenen
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
$\mathfrak{ v }$ ist einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
dazu ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{2 \sqrt{5} } \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{5} \\ -1 & \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Gemäß
Korollar 25.9
besteht die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & - \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 } & \frac{ \sqrt{5} }{2} \\ \frac{1}{2 } & \frac{ -\sqrt{5} }{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
wenn das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt und wenn für jede Nullstelle $\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit $\mu_\lambda$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_\lambda
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, so kann man sofort annehmen, dass $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $\lambda$ trägt als Linearfaktor
\mathl{X- \lambda}{} bei.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Für die Umkehrung seien
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} die verschiedenen Eigenwerte und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_i
}
{ \defeq} { \mu_{\lambda_i}(\varphi)
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda_i } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
seien die
\zusatzklammer {geometrischen und algebraischen} {} {}
Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Nach
Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist die Summe der Eigenräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich $n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach
Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist $\varphi$ diagonalisierbar.}
{}
Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {} zwei Geraden im $\R^2$ durch den Nullpunkt und es seien
\mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {}
die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden
\zusatzklammer {zu den Eigenwerten $1$ und $-1$} {} {.}
Die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ =} { \varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
dieser Spiegelungen ist eine
\definitionsverweis {Drehung}{}{,}
und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel
\mathkor {} {0} {oder} {180} {}
Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von
\mathl{0,90}{} Grad verschieden ist, so besitzt $\psi$ keinen Eigenvektor.
}
\zwischenueberschrift{Trigonalisierbare Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} heißt \definitionswort {trigonalisierbar}{,} wenn sie bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} beschrieben wird.
}
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie Beispiel 28.7 zeigt.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$\varphi$ ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
} {Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}}
\faktzusatz {Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{BMB^{-1}}{} eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi_{ M }$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 26.8 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Fälle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
klar sind. Nach Voraussetzung und nach
Satz 28.2
besitzt $\varphi$ einen Eigenwert, sagen wir $\lambda$. Nach
Lemma 25.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gibt es einen
\mathl{(n-1)}{-}dimensionalen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{n-1}
}
{ \subset} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n-1}}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{V_{n-1}}{,} die wir durch $v_n \in V \setminus V_{n-1}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird $\varphi$ durch eine Matrix der Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1, 1} & \cdots & a_{n-1, n-1} & a_{ n-1 , n } \\ 0 & \ldots & 0 & a_{ n n } \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Die
\mathl{(n-1) \times (n-1)}{-}Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung
\mathl{\varphi{{|}}_{V_{n-1} }}{} von $\varphi$ auf
\mathl{V_{n-1}}{} bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist
\zusatzklammer {Entwicklung nach der letzten Zeile} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { \chi_{ \varphi{{|}}_{V_{n-1} } } \cdot ( X-a_{nn})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher muss auch das charakteristische Polynom
\mathl{\chi_{ \varphi{{|}}_{V_{n-1} } }}{} in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf
\maabbdisp {\varphi{{|}}_{V_{n-1} }} {V_{n-1}} {V_{n-1}
} {}
die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.
\inputfaktbeweis
{Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine quadratische Matrix mit
\definitionsverweis {komplexen}{}{}
Einträgen.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 28.15 und dem Fundamentalsatz der Algebra.