Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Flickr - archer10 (Dennis) - Bolivia-91.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Als Alternative wurde über ein Vorlesungslama ...} }
\bildlizenz { Flickr - archer10 (Dennis) - Bolivia-91.jpg } {Dennis Jarvis} {Matanya} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für Folgen}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n+y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} cx_n
}
{ =} { c { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \epsilon'
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \epsilon'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon'
}
{ = }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0'$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { {\max { \left( n_0 , n_0' \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {unter Verwendung der
Dreiecksungleichung} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_n+y_n -(x+y) }
}
{ =} { \betrag { x_n+y_n -x-y }
}
{ =} { \betrag { x_n-x +y_n -y }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { y_n -y }
}
{ \leq} { \epsilon' + \epsilon'
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach
Lemma 7.9
insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
\mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy }
}
{ =} { \betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy }
}
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy }
}
{ =} { \betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
Für die anderen Teile siehe
Aufgabe 8.1,
Aufgabe 8.2
und
Aufgabe 8.3.
Wir beschreiben eine typische Anwendung des vorstehenden Satzes.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ -5n^3+6n^2-n+8 }{ 11n^3+7n^2 +3n-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann
Lemma 8.1
nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ -5n^3+6n^2-n+8 }{ 11n^3+7n^2 +3n-1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( -5n^3+6n^2-n+8 \right) } { \frac{ 1 }{ n^3 } } }{ { \left( 11n^3+7n^2 +3n-1 \right) } { \frac{ 1 }{ n^3 } } } }
}
{ =} { { \frac{ -5 + { \frac{ 6 }{ n } } -{ \frac{ 1 }{ n^2 } } + { \frac{ 8 }{ n^3 } } }{ 11 + { \frac{ 7 }{ n } } + { \frac{ 3 }{ n^2 } }-{ \frac{ 1 }{ n^3 } } } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen
\mathkor {} {-5} {bzw.} {11} {,}
und daher konvergiert die Folge gegen
\mathl{- { \frac{ 5 }{ 11 } }}{.}
}
\zwischenueberschrift{Cauchy-Folgen}
Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
\zusatzklammer {sagen wir zur Berechnung von $\sqrt{5}$} {} {}
mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in $\R$ betrachten, wo $\sqrt{5}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Augustin_Louis_Cauchy.JPG} }
\end{center}
\bildtext {Augustin Louis Cauchy (1789-1857)} }
\bildlizenz { Augustin Louis Cauchy.JPG } {} {Anarkman} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {Cauchy-Folge}{,} wenn folgende Bedingung erfüllt ist
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf
\mathl{\epsilon/2}{} an. Daher gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon/2 \text{ für alle } n \geq n_0} { . }
Für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { x-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{.} Also liegt eine Cauchy-Folge vor.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Zu jeder
\definitionsverweis {streng wachsenden}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbele {} {\N} {\N
} {i} {n_i
} {,}
heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine \definitionswort {Teilfolge}{} der Folge.
}
\inputdefinition
{}
{
Die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {wachsend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \geq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und \definitionswort {streng wachsend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ > }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {fallend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \leq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und \definitionswort {streng fallend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ < }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Als gemeinsamen Begriff für \zusatzklammer {streng} {} {} wachsende oder \zusatzklammer {streng} {} {} fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung \zusatzklammer {streng} {} {} \stichwort {monotone Folgen} {.}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {wachsende}{}{,}
\definitionsverweis {nach oben beschränkte}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine obere Schranke, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Folgenglieder $x_n$. Wir nehmen an, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für jedes $n_0$ Indizes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n-x_m
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt
\zusatzklammer {wir können die Betragstriche weglassen} {} {.}
Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem $n_0$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n-x_{n_0}
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
\mathdisp {n_1 > n_0 \text{ so, dass } x_{n_1} - x_{n_0} \geq \epsilon} { , }
\mathdisp {n_2 > n_1 \text{ so, dass } x_{n_2} - x_{n_1} \geq \epsilon} { , }
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
\definitionsverweis {Archimedesaxioms}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k \epsilon
}
{ >} { b-x_{n_0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summe der ersten $k$ Differenzen der
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathbed {x_{n_j}} {}
{j \in \N} {}
{} {} {} {,}
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{x_{n_k}-x_{n_0}
}
{ =} { { \left( x_{n_k} - x_{n_{k-1} } \right) } + { \left( x_{n_{k-1} } - x_{n_{k-2} } \right) } + \cdots + { \left( x_{n_{2} } - x_{n_{1} } \right) } + { \left( x_{n_{1} } - x_{n_{0} } \right) }
}
{ \geq} { k \epsilon
}
{ >} { b-x_{n_0}
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Dies impliziert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n_k}
}
{ > }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
\zwischenueberschrift{Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}
Innerhalb der rationalen Zahlen gibt es Cauchy-Folgen, die nicht konvergieren, beispielsweise die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{5}$. Man kann sagen, dass eine nichtkonvergente Cauchy-Folge eine Lücke entdeckt und adressiert. Innerhalb der reellen Zahlen werden diese Lücken aufgefüllt.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {vollständig}{} oder \definitionswort {vollständig angeordnet}{,} wenn jede \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} \zusatzklammer {also in $K$ einen Grenzwert besitzt} {} {.}
}
Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig. Die Vollständigkeit fordern wir für die reellen Zahlen als das letzte Axiom.
\inputaxiom
{}
{
Die reellen Zahlen $\R$ sind ein \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
}
Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\R_1$ und $\R_2$ gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von $\R_1$ nach $\R_2$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält \zusatzklammer {so etwas nennt man einen \anfuehrung{Isomorphismus}{}} {} {.}
Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man, und das haben wir bisher getan und werden wir auch weiterhin tun, die Vorstellung einer \anfuehrung{kontinuierlichen Zahlengerade}{} zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\Q$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in $\Q$ mit einer geeigneten Identifizierung.
\zwischenueberschrift{Folgerungen aus der Vollständigkeit}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine
\definitionsverweis {beschränkte}{}{}
und
\definitionsverweis {monotone}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{} in $\R$}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Lemma 8.7 liegt eine Cauchy-Folge vor, und diese konvergiert in $\R$.
Diese Aussage ist auch die Grundlage dafür, dass die Dezimalentwicklung stets eine
\zusatzklammer {eindeutige} {} {}
reelle Zahl definiert. Eine
\zusatzklammer {unendliche} {} {}
Dezimalentwicklung
\mathdisp {a, a_{-1} a_{-2} a_{-3} \ldots} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wir beschränken uns auf nichtnegative Zahlen} {} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{-n}
}
{ \in }{ \{0 , \ldots , 9\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nämlich die Folge der rationalen Zahlen
\mathdisp {x_0 \defeq a,\, x_1 \defeq a + a_{-1} \cdot { \frac{ 1 }{ 10 } } ,\, x_2 \defeq a + a_{-1} \cdot { \frac{ 1 }{ 10 } }+ a_{-2} \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^2 ,\, \rm{etc}.} { }
Diese ist offenbar monoton wachsend. Sie ist ferner nach oben beschränkt, beispielsweise durch \mathlk{a+1}{,} sodass dadurch in der Tat eine Cauchy-Folge und somit eine reelle Zahl definiert wird.
\zwischenueberschrift{Intervallschachtelungen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Illustration nested intervals.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Illustration nested intervals.svg } {} {Stephan Kulla} {Commons} {CC-by sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Folge von
\definitionsverweis {abgeschlossenen Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $\R$ heißt eine \definitionswort {Intervallschachtelung}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1}
}
{ \subseteq }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die \stichwort {Intervallhalbierung} {} ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist.
{Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$.}
\faktfolgerung {Dann besteht der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.20. }
\inputfaktbeweis
{Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Zu jeder nichtnegativen
\definitionsverweis {reellen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl $x$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^k
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir definieren rekursiv eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
\mathl{[a_n,b_n]}{,} und zwar setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $b_0$ eine beliebige reelle Zahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_0^k
}
{ \geq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index $n$ bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n^k
}
{ \leq} {c
}
{ \leq} {b_n^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1}
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ a_n+b_n }{ 2 } }, \text{ falls } { \left( { \frac{ a_n+b_n }{ 2 } } \right) }^k \leq c\, , \\ a_n \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_{n+1}
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ a_n+b_n }{ 2 } }, \text{ falls } { \left( { \frac{ a_n+b_n }{ 2 } } \right) }^k > c\, , \\ b_n \text{ sonst}. \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei $x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Satz 8.12
festgelegte reelle Zahl. Nach
Aufgabe 8.21
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} a_n
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist nach
Lemma 8.1 (2)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^k
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} a_n^k
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} b_n^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach
Lemma 7.11
sowohl $\leq c$ als auch $\geq c$, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^k
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese eindeutig bestimmte Zahl wird mit $\sqrt[k]{c}$ oder mit $c^{1/k}$ bezeichnet.
\zwischenueberschrift{Bestimmte Divergenz}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $\R$ heißt \definitionswort {bestimmt divergent}{} gegen $+ \infty$, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {x_n \geq s \text{ für alle } n \geq N} { }
gibt.
Sie heißt \definitionswort {bestimmt divergent}{} gegen $- \infty$, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {x_n \leq s \text{ für alle } n \geq N} { }
gibt.
}