Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Liste der Hauptsätze

???: Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

Es sei

y^{'} = g (t) y

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion

g : I ⟶ ℝ, t ⟼ g (t),

die auf einem Intervall $I \subseteq ℝ$ definiert sei. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ auf $I$ .

Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

$y (t) = c \cdot \exp (G (t)) mit c \in ℝ .$

Das Anfangswertproblem

y^{'} = g (t) y und y (t_{0}) = y_{0}

(mit $t_{0} \in I, y_{0} \in ℝ$ ) besitzt eine eindeutige Lösung.

???: Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

Es sei

y^{'} = g (t) y + h (t)

eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen $g, h : I \to ℝ$ . Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und es sei

a (t) = \exp (G (t))

eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.

Dann sind die Lösungen (auf $I$ ) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

$y (t) = c (t) a (t),$

wobei $c (t)$ eine Stammfunktion zu $\frac{h (t)}{a (t)}$ ist.

Das Anfangswertproblem

y^{'} = g (t) y + h (t) und y (t_{0}) = y_{0}

(mit $t_{0} \in I, y_{0} \in ℝ$ ) besitzt eine eindeutige Lösung.

???: Lösungen für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Es sei

y^{'} = g (t) \cdot h (y)

eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

g : I ⟶ ℝ, t ⟼ g (t),

und

h : J ⟶ ℝ, y ⟼ h (y),

wobei $h$ keine Nullstelle besitze. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und $H$ eine Stammfunktion von $\frac{1}{h}$ . Weiter sei $I^{'} \subseteq I$ ein Teilintervall mit $G (I^{'}) \subseteq H (J)$ .

Dann ist $H$ eine bijektive Funktion auf ihr Bild $H (J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

$y (t) = H^{- 1} (G (t)) .$

Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung

y (t_{0}) = y_{0} mit (t_{0}, y_{0}) \in I \times J

gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften $G (t_{0}) = 0$ und $H (y_{0}) = 0$ erfüllen, so ist

y (t) = H^{- 1} (G (t))

die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.

???: Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ und der zugehörigen Norm $‖ - ‖$ .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

$| ⟨ v, w ⟩ | \leq ‖ v ‖ \cdot ‖ w ‖$

für alle $v, w \in V$ .

???: Eigenschaften der Norm zu einem Skalarprodukt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

Es ist $‖ v ‖ \geq 0$ .

Es ist $‖ v ‖ = 0$ genau dann, wenn $v = 0$ ist.

Für $λ \in ℝ$ und $v \in V$ gilt
$‖ λ v ‖ = | λ | \cdot ‖ v ‖ .$

Für $v, w \in V$ gilt
$‖ v + w ‖ \leq ‖ v ‖ + ‖ w ‖ .$

???: Abstandseigenschaften

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u, v, w \in V$ ).

Es ist $d (v, w) \geq 0$ .

Es ist $d (v, w) = 0$ genau dann, wenn $v = w$ .

Es ist $d (v, w) = d (w, v)$ .

Es ist
$d (u, w) \leq d (u, v) + d (v, w) .$

???: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ .

Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ von $V$ mit

$⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{i} ⟩ = ⟨ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{i} ⟩$

für alle $i = 1, \dots, n$ .

???: Linearform und Gradient bei Skalarprodukt

Es sei $(V, ⟨ -, - ⟩)$ ein euklidischer Vektorraum und

f : V ⟶ ℝ

eine Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $w \in V$ mit

$f (v) = ⟨ w, v ⟩ .$

Wenn $u_{1}, \dots, u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und $f (u_{i}) = a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich $w = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} u_{i}$ .

???: Konvergenz in R^n

Der $ℝ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge in $ℝ^{m}$ mit

z_{n} = (z_{1 n}, \dots, z_{m n}) .

Dann konvergiert die Folge im $ℝ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${(z_{i n})}_{n \in ℕ}$ in $ℝ$ konvergieren.

???: Abgeschlossene Mengen und konvergente Folgen

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und $T \subseteq M$ eine Teilmenge.

Dann ist $T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $T$ , die in $M$ konvergiert, bereits in $T$ konvergiert.

???: Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei

f : L ⟶ M, x ⟼ f (x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$ und sei $x \in L$ ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

$f$ ist stetig im Punkt $x$ .

Für jedes $ϵ > 0$ gibt es ein $δ > 0$ mit der Eigenschaft, dass aus $d (x, x^{'}) \leq δ$ folgt, dass
$d (f (x), f (x^{'})) \leq ϵ$

ist.

Für jede konvergente Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $L$ mit $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ ist auch die Bildfolge ${(f (x_{n}))}_{n \in ℕ}$ konvergent mit dem Grenzwert $f (x)$ .

???: Charakterisierung stetiger Abbildungen

Es sei

f : L ⟶ M, x ⟼ f (x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

$f$ ist stetig in jedem Punkt $x \in L$ .

Für jeden Punkt $x \in L$ und jedes $ϵ > 0$ gibt es ein $δ > 0$ mit der Eigenschaft, dass aus $d (x, x^{'}) \leq δ$ folgt, dass $d (f (x), f (x^{'})) \leq ϵ$ ist.

Für jeden Punkt $x \in L$ und jede konvergente Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $L$ mit $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ ist auch die Bildfolge ${(f (x_{n}))}_{n \in ℕ}$ konvergent mit dem Grenzwert $f (x)$ .

Für jede offene Menge $V \subseteq M$ ist auch das Urbild $f^{- 1} (V)$ offen.

???: Stetigkeit linearer Abbildungen

Es sei $𝕂^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

φ : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂^{m}

eine lineare Abbildung.

Dann ist $φ$ stetig.

???: Stetigkeit polynomialer Funktionen

Eine polynomiale Funktion

f : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂

ist stetig.

???: Differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und

f : I ⟶ V

eine Abbildung. Es sei $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ und es seien

f_{j} : I ⟶ ℝ

die zugehörigen Komponentenfunktionen von $f$ . Es sei $t \in I$ .

Dann ist $f$ genau dann differenzierbar in $t$ , wenn sämtliche Funktionen $f_{j}$ in $t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

f^{'} (t) = {f_{1}}^{'} (t) \cdot v_{1} + {f_{2}}^{'} (t) \cdot v_{2} + \dots + {f_{n}}^{'} (t) \cdot v_{n} .

???: Rechenregeln für differenzierbare Kurven

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

f, g : I ⟶ V

zwei in $t_{0} \in I$ differenzierbare Kurven und es sei

h : I ⟶ ℝ

eine in $t_{0}$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Summe
$f + g : I ⟶ V, t ⟼ f (t) + g (t),$

ist in $t_{0}$ differenzierbar mit

$(f + g)^{'} (t_{0}) = f^{'} (t_{0}) + g^{'} (t_{0}) .$

Das Produkt
$h f : I ⟶ V, t ⟼ h (t) \cdot f (t),$

ist differenzierbar in $t_{0}$ mit

$(h f)^{'} (t_{0}) = h (t_{0}) \cdot f^{'} (t_{0}) + h^{'} (t_{0}) \cdot f (t_{0}) .$

Insbesondere ist für $c \in ℝ$ auch $c f$ differenzierbar in $t_{0}$ mit

$(c f)^{'} (t_{0}) = c f^{'} (t_{0}) .$

Wenn $h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
$\frac{f}{h} : I ⟶ V, t ⟼ \frac{f (t)}{h (t)},$

in $t_{0}$ differenzierbar mit

$(\frac{f}{h}) (t_{0}) = \frac{h (t_{0}) f^{'} (t_{0}) - h^{'} (t_{0}) f (t_{0})}{(h (t_{0}))^{2}} .$

???: Kettenregel für differenzierbare Kurven

Es seien $I$ und $J$ zwei reelle Intervalle, es sei

h : I ⟶ J, s ⟼ h (s),

eine in $s_{0} \in I$ differenzierbare Funktion und es sei

f : J ⟶ V, t ⟼ f (t),

eine in $t_{0} = h (s_{0})$ differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum $V$ .

Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

$f \circ h : I ⟶ V, s ⟼ f (h (s)),$

in $s_{0}$ differenzierbar und es gilt

$(f \circ h)^{'} (s_{0}) = h^{'} (s_{0}) \cdot f^{'} (h (s_{0})) .$

???: Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und

f : [a, b] ⟶ V, t ⟼ f (t),

eine differenzierbare Kurve.

Dann gibt es ein $c \in [a, b]$ mit

$‖ f (b) - f (a) ‖ \leq (b - a) \cdot ‖ f^{'} (c) ‖ .$

???: Kurvenlängensatz

Es sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall und

f : [a, b] ⟶ ℝ^{n}

eine stetig differenzierbare Abbildung.

Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

$L (f) = \int_{a}^{b} ‖ f^{'} (t) ‖ d t .$

???: Kurvenlänge eines Graphen

Es sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall und es sei

f : [a, b] ⟶ ℝ

eine stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist die Länge des Graphen von $f$ gleich

$\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f^{'} (x))^{2}} d x .$

???: Integralabschätzung für stetige Kurven

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und

g : [a, b] ⟶ V

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

$‖ \int_{a}^{b} g (t) d t ‖ \leq \int_{a}^{b} ‖ g (t) ‖ d t .$

???: Wegintegrale bei Umparametrisierung

Es sei $U \subseteq ℝ^{n}$ eine offene Teilmenge,

F : U ⟶ ℝ^{n}

ein stetiges Vektorfeld und

γ : [a, b] ⟶ U

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

g : [c, d] ⟶ [a, b]

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei $\tilde{γ} = γ \circ g$ .

Dann gilt

$\int_{γ} F = \int_{\tilde{γ}} F .$

???: Lösungsansatz für Zentralfelder

Es sei $U \subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ . Es sei

F : I \times U ⟶ V, (t, v) ⟼ F (t, v) = g (t, v) \cdot v,

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

g : I \times U ⟶ ℝ, (t, v) ⟼ g (t, v) .

Es sei $w \in U$ und es sei

α : J ⟶ ℝ

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

z^{'} = h (t, z) := g (t, z w) \cdot z mit α (t_{0}) = 1.

Dann ist

$v (t) = α (t) \cdot w$

eine Lösung des Anfangswertproblems

$v^{'} = F (t, v) mit v (t_{0}) = w .$

???: Differentialgleichung höherer Ordnung und Systeme

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall, $U \subseteq ℝ^{n}$ eine offene Menge und

h : I \times U ⟶ ℝ

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

$y^{(n)} = h (t, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n - 1)})$

über die Beziehung

$v_{i} := y^{(i)}$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${(\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n - 2} \\ v_{n - 1} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n - 1} \\ h (t, v_{0}, v_{1}, \dots, v_{n - 1}) \end{matrix}) .$

???: Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungssysteme in Dreiecksgestalt

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ ⋮ \\ z_{n} \end{matrix})

mit stetigen Funktionen $a_{i j} : I \to ℝ$ und $z_{i} : I \to ℝ$ und den Anfangsbedingungen

v_{i} (t_{0}) = w_{i} \in ℝ für i = 1, \dots, n (t_{0} \in I)

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

${v_{n}}^{'} = a_{n n} (t) v_{n} + z_{n} (t) mit v_{n} (t_{0}) = w_{n},$

$v_{n^{'} - 1} = a_{n - 1 n - 1} (t) v_{n - 1} + a_{n - 1 n} (t) v_{n} (t) + z_{n - 1} (t) mit v_{n - 1} (t_{0}) = w_{n - 1},$

$v_{n^{'} - 2} = a_{n - 2 n - 2} (t) v_{n - 2} + a_{n - 2 n - 1} (t) v_{n - 1} (t) + a_{n - 2 n} (t) v_{n} (t) + z_{n - 2} (t) mit v_{n - 2} (t_{0}) = w_{n - 2},$

$⋮$

$v_{1^{'}} = a_{11} (t) v_{1} + a_{12} (t) v_{2} (t) + \dots + a_{1 n} (t) v_{n} (t) + z_{1} (t) mit v_{1} (t_{0}) = w_{1},$

löst.

???: Lösung zu einem Eigenvektor

Es sei

v^{'} = M v

mit $M \in {Mat}_{n \times n} (𝕂)$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei $u \in 𝕂^{n}$ ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $λ \in 𝕂$ .

Dann ist die Abbildung

$v : ℝ ⟶ 𝕂^{n}, t ⟼ c e^{λ t} u = c (\begin{matrix} e^{λ t} u_{1} \\ ⋮ \\ e^{λ t} u_{n} \end{matrix}),$

( $c \in 𝕂$ ) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.

???: Lineare Differentialgleichungssysteme in oberer Dreiecksgestalt

Es sei

v^{'} = M v

mit $M \in {Mat}_{n \times n} (ℂ)$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix $B \in {Mat}_{n \times n} (ℂ)$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w^{'} = N w mit N = B M B^{- 1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

$(\begin{matrix} w'_{1} \\ w'_{2} \\ ⋮ \\ w'_{n - 1} \\ {w_{n}}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & c_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ ⋮ \\ w_{n - 1} \\ w_{n} \end{matrix})$

(mit $c_{i j} \in ℂ$ ) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen $v_{i} (t_{0}) = a_{i}$ für $i = 1, \dots, n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

???: Lösungsraum im diagonalisierbaren Fall

Es sei

v^{'} = M v

mit $M \in {Mat}_{n \times n} (𝕂)$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_{1}, \dots, u_{n}$ .

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

${c_{1} e^{λ_{1} t} \cdot u_{1} + \dots + c_{n} e^{λ_{n} t} \cdot u_{n} ∣ c_{i} \in 𝕂},$

wobei $λ_{i}$ der Eigenwert zu $u_{i}$ ist.

???: Fundamentalsystem für lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Es sei

y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,

\begin{matrix} P & = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} \\ = (X - λ_{1})^{ν_{1}} \dots (X - λ_{k})^{ν_{k}}, \end{matrix}

wobei die $λ_{i}$ verschieden seien.

Dann bilden die Funktionen

$t^{j} e^{λ_{i} t}, i = 1, \dots, k, j = 0, \dots, ν_{i} - 1,$

ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.

???: Gramsche Matrix bei Basiswechsel (Bilinearform)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und $⟨ -, - ⟩$ eine Bilinearform auf $V$ . Es seien $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelten die Beziehungen

w_{j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} v_{i},

die wir durch die Übergangsmatrix $A = {(a_{i j})}_{i, j}$ ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

$H = A^{tr} G A .$

???: Trägheitssatz von Sylvester

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $⟨ -, - ⟩$ vom Typ $(p, q)$ .

Dann ist die Gramsche Matrix von $⟨ -, - ⟩$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.

???: Minorenkriterium

Es sei $⟨ -, - ⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

M_{k} = (⟨ v_{i}, v_{j} ⟩)_{1 \leq i, j \leq k}

seien für $k = 1, \dots, n$ von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

D_{0} = 1, D_{1} = det M_{1}, D_{2} = det M_{2}, \dots, D_{n} = det M_{n} = det G .

Dann ist $⟨ -, - ⟩$ vom Typ $(n - a, a)$ .

???: Minorenkriterium für Definitheit

Es sei $⟨ -, - ⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basis und es seien $D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

M_{k} = {(⟨ v_{i}, v_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq k}, k = 1, \dots, n .

Dann gelten folgende Aussagen.

Genau dann ist $⟨ -, - ⟩$ positiv definit, wenn alle $D_{k}$ positiv sind.

Genau dann ist $⟨ -, - ⟩$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge $D_{0} = 1, D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

???: Eigenwertkriterium für den Typ

Es sei $⟨ -, - ⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basis.

Dann besitzt der Typ $(p, q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.

???: Satz von Schwarz

Es sei $G \subseteq V$ offen und $φ : G \to W$ eine Abbildung derart, dass für $u, v \in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v} D_{u} φ$ und $D_{u} D_{v} φ$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

$D_{v} D_{u} φ = D_{u} D_{v} φ .$

???: Eindeutigkeit des totalen Differentials

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $ℝ$ -Vektorräume und sei die Abbildung $φ : G \to W$ auf einer offenen Teilmenge $G \subseteq V$ definiert. Es sei $P \in G$ ein Punkt.

Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition 48.1.

Ist $φ$ im Punkt $P$ differenzierbar, so ist das totale Differential ${(D φ)}_{P}$ eindeutig bestimmt.

???: (Totale) Differenzierbarkeit von Kurven

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $W$ ein euklidischer Vektorraum und

γ : I ⟶ W

eine Abbildung.

Dann ist $γ$ genau dann in $t \in I$ als Kurve differenzierbar, wenn $γ$ in $t$ total differenzierbar ist.

In diesem Fall besteht die Beziehung

γ^{'} (t) = {(D γ)}_{t} (1) .

???: Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $ℝ$ -Vektorräume und $G \subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei $φ : G \to W$ eine in $P \in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist $φ$ auch stetig im Punkt $P$ .

???: Totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitung

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $ℝ$ -Vektorräume, es sei $G \subseteq V$ eine offene Teilmenge und $φ : G \to W$ eine im Punkt $P \in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist $φ$ in $P$ in jede Richtung $v$ differenzierbar, und es gilt

$(D_{v} φ) (P) = {(D φ)}_{P} (v) .$

???: Stetige partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit

Es sei $G \subseteq ℝ^{n}$ offen und $φ : G \to ℝ^{m}$ eine Abbildung. Es seien $x_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , die Koordinaten von $ℝ^{n}$ und $P \in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von $φ$ in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind.

Dann ist $φ$ in $P$ (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung $φ$ bezüglich der Standardbasis des $ℝ^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen $f_{1}, \dots, f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die Jacobi-Matrix

{(\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} (P))}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}

beschrieben.

???: Die Kettenregel

Es seien $V, W$ und $U$ endlichdimensionale $ℝ$ -Vektorräume, $G \subseteq V$ und $D \subseteq W$ offene Mengen, und $φ : G \to W$ und $ψ : D \to U$ Abbildungen derart, dass $φ (G) \subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $φ$ in $P \in G$ und $ψ$ in $φ (P) \in D$ total differenzierbar sind.

Dann ist $ψ \circ φ : G \to U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${(D (ψ \circ φ))}_{P} = {(D ψ)}_{φ (P)} \circ {(D φ)}_{P} .$

???: Die Kettenregel (Jacobimatrix)

Es seien $G \subseteq ℝ^{n}$ und $D \subseteq ℝ^{m}$ offene Mengen, und $f : G \to ℝ^{m}$ und $g : D \to ℝ^{k}$ seien Abbildungen derart, dass $f (G) \subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in $P \in G$ und $g$ in $f (P) \in D$ total differenzierbar sind.

Dann ist $h = g \circ f : G \to U$ in $P$ differenzierbar und zwischen den Jacobi-Matrizen gilt die Beziehung

$Jak (h)_{P} = Jak (g \circ f)_{P} = Jak (g)_{f (P)} \circ Jak (f)_{P},$

also ausgeschrieben

$(\begin{matrix} \frac{\partial h_{1}}{\partial x_{1}} (P) & \dots & \frac{\partial h_{1}}{\partial x_{n}} (P) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial h_{k}}{\partial x_{1}} (P) & \dots & \frac{\partial h_{k}}{\partial x_{n}} (P) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{1}} (f (P)) & \dots & \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{m}} (f (P)) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial g_{k}}{\partial y_{1}} (f (P)) & \dots & \frac{\partial g_{k}}{\partial y_{m}} (f (P)) \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (P) & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} (P) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (P) & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (P) \end{matrix}) .$

???: Taylor-Formel

Es sei $G \subseteq ℝ^{n}$ offen,

f : G ⟶ ℝ

eine

k

-mal

stetig differenzierbare Funktion, $P \in G$ ein Punkt und $ϵ > 0$ derart, dass $U (P, ϵ) \subseteq G$ ist.

Dann gilt für alle $v$ mit $P + v \in U (P, ϵ)$ die Beziehung

$f (P + v) = \sum_{| r | \leq k} \frac{1}{r!} D^{r} f (P) \cdot v^{r} + R_{k} (v),$

wobei

${lim}_{v \to 0} \frac{‖ R_{k} (v) ‖}{‖ v ‖^{k}} = 0$

ist.