Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Vorlesung 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Rang von Matrizen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann nennt man die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Spalten
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraums}{}{}
von $K^m$ den \definitionswort {(Spalten-)Rang}{} der Matrix, geschrieben
\mathdisp {\operatorname{rang} \, M} { . }
}
{Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 26.22. }
Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den \stichwort {Zeilenrang} {} einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraumes von $K^n$ ein.
\inputfaktbeweis
{Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Umformungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann stimmt der
\definitionsverweis {Spaltenrang}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Zeilenrang}{}{}
überein.}
\faktzusatz {Wenn man $M$ im Sinne von
Satz 21.9
mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix $M'$ in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von $M'$.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $r$ die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix $M'$ in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von $M'$ und von $M$ übereinstimmt. Bei \definitionsverweis {elementaren Zeilenumformungen}{}{} ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von $M$ stimmt also mit dem Zeilenrang von $M'$ überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da die $r$ Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe 26.2 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
Beide Ränge stimmen also überein, sodass wir im Folgenden nur noch vom \stichwort {Rang einer Matrix} {} sprechen werden.
\inputfaktbeweis
{Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$M$ ist invertierbar.
}{Der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
von $M$ ist $n$.
}{Die Zeilen von $M$ sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{Die Spalten von $M$ sind linear unabhängig.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) folgt aus der Definition und aus
Lemma 26.3.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Für die Äquivalenz von (1) und (2) betrachten wir die durch $M$ definierte
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^n
} {.}
Die Eigenschaft, dass der Spaltenrang gleich $n$ ist, ist äquivalent zur Surjektivität der Abbildung, die aufgrund von
Korollar 25.4 äquivalent zur Bijektivität der Abbildung ist. Die Bijektivität ist nach
Lemma 25.11
äquivalent zur
\definitionsverweis {Invertierbarkeit}{}{}
der Matrix.}
{}
\zwischenueberschrift{Determinanten}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei $M_i$ diejenige
\mathl{(n-1)\times (n-1)}{-}Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die \definitionswort {Determinante}{} von $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \begin{cases} a_{11}\, , & \text{falls } n = 1 \, , \\ \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i & \text{ für } n \geq 2 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
} Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch \stichwort {Streichungsmatrizen} {.} Für kleine $n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.
\inputbeispiel{}
{
Für eine $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a d - c b} { . }
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sarrus_rule.png} }
\end{center}
\bildtext {Als Merkregel für eine $3\times 3$-Matrix verwendet man die \stichwort {Regel von Sarrus} {.} Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.} }
\bildlizenz { Sarrus rule.png } {} {Kmhkmh} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Für eine
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{ 1 1 } & a_{ 1 2 } & a_{ 1 3 } \\ a_{ 2 1 } & a_{ 2 2 } & a_{ 2 3 } \\ a_{ 3 1 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\det \begin{pmatrix} a_{ 1 1 } & a_{ 1 2 } & a_{ 1 3 } \\ a_{ 2 1 } & a_{ 2 2 } & a_{ 2 3 } \\ a_{ 3 1 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix} = a_{1 1 } a_{2 2 } a_{3 3 } + a_{1 2 } a_{2 3 } a_{3 1 } + a_{1 3 } a_{2 1 } a_{3 2 } - a_{1 3 } a_{2 2 } a_{3 1 } - a_{1 1 } a_{2 3 } a_{3 2 } - a_{1 2 } a_{2 1 } a_{3 3 }} { . }
Dies nennt man die \stichwort {Regel von Sarrus} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für eine obere Dreiecksmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & b_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { b_1b_2 { \cdots } b_{n-1} b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist für die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det E_{ n }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der \definitionsverweis {Determinante}{}{.}
\zwischenueberschrift{Multilinearität}
Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine \anfuehrung{multilineare}{} \anfuehrung{alternierende}{} Abbildung ist, wenn man die Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ \cong} { (K^n)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vornimmt, bei der einer Matrix das $n$-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_{1 } \\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}} { }
auf, wobei die einzelnen Einträge $v_i$ Zeilenvektoren der Länge $n$ sind.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
\definitionsverweis {multilinear}{}{.}}
\faktzusatz {D.h., dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{{ \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für je
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,w
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u+w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathdisp {M \defeq \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} \, ,M' \defeq \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} \text{ und } \tilde{M} \defeq \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u+w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}} { , }
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ \left( a_{k1} , \, \ldots , \, a_{kn} \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ \left( a_{k1}' , \, \ldots , \, a_{kn}' \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach $n$, wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar ist. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{a}_{i 1}
}
{ = }{ a_{i1}
}
{ = }{ a'_{i1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \tilde{M}_i
}
{ =} { \det M_i + \det M'_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach Induktionsvoraussetzung. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_k
}
{ = }{M_k'
}
{ = }{\tilde{M}_k
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{a}_{k 1}
}
{ = }{ a_{k1} + a'_{k1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \det \tilde{M}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} \tilde{a}_{i1} \det \tilde{M}_i
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} ( \det {M}_i + \det {M}'_i )
\bruchhilfealign + (-1)^{k+1} ( a_{k1} + a'_{k1} )( \det \tilde{M}_k )
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}_i + \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}'_i \bruchhilfealign + (-1)^{k+1} a_{k1} \det M_k + (-1)^{k+1} a'_{k1} \det M_k
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}_i + \sum_{ i = 1,\, i \neq k, \,}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}'_i
\bruchhilfealign + (-1)^{k+1} a'_{k1} \det M_k
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}_i + \sum_{ i = 1 }^n (-1)^{i+1} a'_{i1} \det {M}'_i
}
{ =} { \det M + \det M'
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe
Aufgabe 26.12.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn in $M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
D.h., dass die Determinante
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
ist.
} {Wenn man in $M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor $-1$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) und (2) werden parallel durch Induktion über $n$ bewiesen, wobei es für
\mathl{n=1}{} nichts zu zeigen gibt. Es sei also
\mathl{n \geq 2}{} und
\mathl{M= \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots \\ v_n \end{pmatrix} =(a_{ij})_{ij}}{.} Die relevanten Zeilen seien
\mathkor {} {v_r} {und} {v_s} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ < }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i \neq r,s}{,} da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} {(-1)^{r+1} a_{r1} \det M_r + (-1)^{s+1} a_{s1} \det M_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{r1}
}
{ = }{a_{s1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die beiden Matrizen
\mathkor {} {M_r} {und} {M_s} {}
haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile
\mathl{z=v_r=v_s}{} in $M_r$ als die
\mathl{(s-1)}{-}te Zeile und in $M_s$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt
\mathl{s-r-1}{} Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_r$ in $M_s$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor
\mathl{(-1)^{s-r-1}}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M_s
}
{ = }{ (-1)^{s-r-1} \det M_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Setzt man dies oben ein, so erhält man
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \det M
}
{ =} { (-1)^{r+1} a_{r1} \det M_r + (-1)^{s+1} a_{s1} \det M_s
}
{ =} { a_{r1} { \left( (-1)^{r+1} \det M_r + (-1)^{s+1} (-1)^{s-r-1} \det M_r \right) }
}
{ =} { a_{r1} { \left( (-1)^{r+1} +(-1)^{2s -r } \right) } \det M_r
}
{ =} { a_{r1} { \left( (-1)^{r+1} +(-1)^{r } \right) } \det M_r
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {Jetzt beweisen wir (2).\leerzeichen{}}{}{}
{Nach Teil (1)
\zusatzklammer {für $n$} {} {}
und aufgrund der Multilinearität ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{0
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_r+v_s\\ \vdots\\v_r+v_s\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_r\\ \vdots\\v_r+v_s\\ \vdots \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_s\\ \vdots\\v_r+v_s\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_r\\ \vdots\\v_r\\ \vdots \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_r\\ \vdots\\v_s\\ \vdots \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_s\\ \vdots\\v_r\\ \vdots \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_s\\ \vdots\\v_s\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_r\\ \vdots\\v_s\\ \vdots \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \vdots \\v_s\\ \vdots\\v_r\\ \vdots \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Determinante/Null, Linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Zeilen von $M$ sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{$M$ ist
\definitionsverweis {invertierbar}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, M
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in
Korollar 26.4
gezeigt.
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien die Zeilen
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{.}
Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_n
}
{ = }{\sum_{i = 1}^{n-1} s_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann ist nach
Satz 26.9
und
Satz 26.10
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1}\\ \sum_{i = 1}^{n-1} s_i v_i \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{n-1} s_i \det \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1}\\ v_i \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix $1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix $\neq 0$ sein.}
{}
\inputbemerkung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Determinant_parallelepiped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Determinant parallelepiped.svg } {Claudio Rocchini} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im $\R^n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} betrachtet, so spannen diese ein \stichwort {Parallelotop} {} auf. Dieses ist definiert als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \defeq} { { \left\{ s_1v_1 + \cdots + s_n v_n \mid s_i \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es besteht also aus allen
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen \anfuehrung{voluminösen}{} Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{vol} \, P
}
{ =} { \betrag { \det { \left( v_1 , \ldots , v_n \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.
}
\zwischenueberschrift{Der Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen}
Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten, die wir aber nicht beweisen werden. Die Beweise beruhen auf einer systematischeren Untersuchung der für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein. Durch diese beiden Eigenschaften zusammen mit der Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich $1$ ist, ist die Determinante nämlich schon eindeutig festgelegt.
\inputfakt{Determinante/Multiplikationssatz/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann nennt man die
\mathl{n \times m}{-}Matrix
\mathdisp {{ M^{ \text{tr} } } =(b_{ij})_{ij} \text{ mit } b_{ij} := a_{ji}} { }
die \definitionswort {transponierte Matrix}{} zu $M$.
}
Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \begin{pmatrix} t & n & o & e \\ r & s & n & r \\ a & p & i & t \end{pmatrix} ^{ \text{tr} } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} t & r & a \\ n & s & p \\ o & n & i \\ e & r & t \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfakt{Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
\mathl{n \times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det { M^{ \text{tr} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man \anfuehrung{nach einer Zeile entwickelt}{,} wie die folgende Aussage zeigt.
\inputfaktbeweis
{Determinante/Entwicklungssatz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{M_{ij}}{} diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.}
\faktfolgerung {Dann ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes feste $i$ bzw. $j$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die erste Gleichung die rekursive Definition der
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}
Daraus folgt die Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aufgrund von
Satz 26.15. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe
Aufgabe 26.13.
\zwischenueberschrift{Die Determinante einer linearen Abbildung}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension $n$ in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das \stichwort {Problem der Wohldefiniertheit} {:} die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine \anfuehrung{völlig}{} andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
und der Basiswechselmatrix $B$ aufgrund von
Korollar 25.9
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{ BMB^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det N
}
{ =} { \det \left( BMB^{-1} \right)
}
{ =} { ( \det B) (\det M) { \left( \det B^{-1} \right) }
}
{ =} { ( \det B) { \left( \det B^{-1} \right) } (\det M)
}
{ =} { \det M
}
}
{}
{}{,}
sodass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben werde. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ \defeq} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Determinante}{} der linearen Abbildung $\varphi$.
}