Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge  ${}T\subseteq M$  abgeschlossen ist.

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

${}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}+1,t\right)},$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz,xyz,5x^{2}z-yz\right)}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=3yy'+y^{2}{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=2$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$

die Richtungsableitung in Richtung ${}3$ für jeden Punkt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),$

in jedem Punkt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestätige die Kettenregel für ${}g\circ f$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),$

und

$g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.$

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