Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 3 Teilprojekt 1

Einführung in das Thema

Kurzvorstellung

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

• im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen

• Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen

• deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen

⇒ relevantes Thema in der aktuellen Situation

Mathematische Aspekte

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:

• Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
• Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
• Universität: mehrdimensionale Analysis
• verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Ablauf eines Modellierungszyklus

Modellierungszyklus auf Universitätsniveau

Einführung

• Ziel: Anordnung der Sitzplätze im Klassenzimmer in Abhängigkeit der Lüftungsqualität

⇒ neuer Schwerpunkt mit stärkerem Anwendungsbezug

Herleitung der Luftgütefunktion 1

• Lüftungsgütefunktion wird entsprechend der Vorgehensweise aus Modellierungszyklus 2 aufgestellt
• Betrachtung der Punkte der Form $P=(p_{1},p_{2},1.3)$
• Aufstellen von vier Geradengleichungen, die die Trägergeraden der Lüftungsstrecken sind
• Bestimmung der Lotfußpunkte des Punktes und der Geraden

Herleitung der Luftgütefunktion 2

• Der Abstand zwischen den Lotfußpunkten und dem beliebigen Raumpunkt wird ermittelt
• Außerdem wird ein Term berechnet, der den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Fenster und $P$ darstellt.
• Abstände werden anschließend mithilfe einer Glockenkurve normiert und für jede Lüftungsstrecke addiert

$L_{i}={1 \over {1+{s_{i}}^{2}}}$ und $L_{ges}=L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}$

Veranschaulichung der Vorgehensweise

Überarbeitetes 3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer - https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

Fallunterscheidung I

• Falls $LF_{2y}>7$ und $LF_{3y}\leq 7$ und $LF_{4y}\leq 7$:

$i(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({7 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}+{1 \over {1+{({{\sqrt {1300\cdot {p_{2}}^{2}+(6552-4480)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11916\cdot p_{1}+9477}} \over {6\cdot {\sqrt {145}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}$

Fallunterscheidung II

• Falls $LF_{2y}>7$ und $LF_{3y}>7$ und $LF_{4y}\leq 7$:

$j(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({7 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({11 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}$

$+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}$

Fallunterscheidung III

• Falls $LF_{2y}\leq 7$ und $LF_{3y}>7$ und $LF_{4y}\leq 7$:

$k(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({{\sqrt {1700\cdot {p_{2}}^{2}+(15960-11200)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59340\cdot p_{1}+46593}} \over {10\cdot {\sqrt {213}}}})^{2}}}}+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({11 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}$

$+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}$

Fallunterscheidung III

• Falls $LF_{2y}>7$ und $LF_{3y}>7$ und $LF_{4y}>7$:

$l(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({7 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({11 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}$

$+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({15 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}$

Fallunterscheidung IV

• Falls $LF_{2y}\leq 7$ und $LF_{3y}\leq 7$ und $LF_{4y}\leq 7$:

$f(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({{\sqrt {1700\cdot {p_{2}}^{2}+(15960-11200)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59340\cdot p_{1}+46593}} \over {10\cdot {\sqrt {213}}}})^{2}}}}+{1 \over {1+{({{\sqrt {1300\cdot {p_{2}}^{2}+(6552-4480)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11916\cdot p_{1}+9477}} \over {6\cdot {\sqrt {145}}}})^{2}}}}$

$+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}$

Gesamtfunktion Lüftungsgüte

• Gesamtlüftungsgütefunktion $n$:

$n:[0,9]\times [0,7]\to \mathbb {R} ,$

$n(p_{1},p_{2})={\begin{cases}i(p_{1},p_{2})&LF_{2y}>7{\text{ und }}LF_{3y},LF_{4y}\leq 7\\j(p_{1},p_{2})&LF_{2y},LF_{3y}>7{\text{ und }}LF_{4y}\leq 7\\k(p_{1},p_{2})&LF_{2y}\leq 7{\text{ und }}LF_{3y}>7{\text{ und }}LF_{4y}\leq 7\\l(p_{1},p_{2})&LF_{2y},LF_{3y},LF_{4y}>7\\f(p_{1},p_{2})&{\text{ sonst }}&\end{cases}}$

Umsetzung in Maxima

Funktion n in Maxima

(%i33)n(p_1,p_2):=if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]≤7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(i(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(j(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]≤7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(k(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]>7)then(l(p_1,p_2))
      else(f(p_1,p_2));;

(%o33)n(p₁,p₂):=if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂≤7 and [LF₄]₂≤7) then i(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂≤7) then j(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂≤7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂≤7) then k(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂>7) then l(p₁,p₂)
      else f(p₁,p₂)

Plot der Funktion

Plot der Lüftungsgütefunktion n auf der Höhe 1,3

Problem

• Funktion kann durch Fallunterscheidung in Maxima nicht problemlos integriert oder abgeleitet werden
• Lösung: Funktion $f$ als Näherung der Lüftungsgütefunktion
• $f$ entspricht Lüftungsgütefunktion, wenn nur das Lotfußpunktverfahren genutzt wird

⇒ $f$ ist durch fehlende Fallunterscheidung einfacher zu handhaben

• Unterschied zwischen $f$ und $n$ ist sehr gering:

$f(8.8,6.3)\approx 0.4603$ und

$n(8.8,6.3)\approx 0.4432$

⇒ Für die Praxis vernachlässigbar

Vergleich von f und n

Vergleich der Funktionen f und n (n ist die untere Funktion, f ist die obere Funktion)

Bestimmung des Mittelwertes

Ziel

• sinnvolle Unterschranke
• theoretisch frei wählbar
• Idee: Mittelwert als untere Schranke
• Weg: Integral geteilt durch Grundfläche des Raumes

Berechnung des Integrals

• Satz von Fubini, dann Riemann-Integral
• zuerst nach $p_{1}$ über $[0,9]$ integrieren, dann nach $p_{2}$ über $[0,7]$
• $I=\int _{0}^{7}\int _{0}^{9}f(p_{1},p_{2})\ dp_{2}dp_{1}=78,18$
• dann $I_{2}={I \over {7\cdot 9}}={78,18 \over {63}}=1,24$

Berechnung des Integrals der Luftgüte-Funktion mit Maxima

${\begin{aligned}&{\mathtt {\color {Apricot}\%i32}}&&{\mathtt {{\color {green}y{\underline {\ }}1}:\ {\color {brown}integrate}{\color {blue}(}{\color {brown}f}{\color {blue}(}{\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}{\color {blue})},{\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {brown}0},{\color {brown}9}{\color {blue})};}}\\&{}&&{\color {red}{\text{Is}}\ 25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366\ {\text{positive or negative?}}}\ \color {green}{\text{positive}};\\&{\mathtt {\color {orange}(y{\underline {\ }}1)}}&&{\Bigg (}5{\sqrt {341}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1680{\sqrt {341}}p_{2}+2991{\sqrt {341}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{17050p_{2}^{2}-143220p_{2}+3659612}}\right)\\&{}&&+5{\sqrt {213}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(560{\sqrt {213}}p_{2}+2967{\sqrt {213}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{10650p_{2}^{2}-89460p_{2}+2285916}}\right)\\&{}&&+15{\sqrt {29}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1120{\sqrt {29}}p_{2}+2979{\sqrt {29}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{4350p_{2}^{2}-36540p_{2}+933684}}\right)\\&{}&&+5{\sqrt {179}}\operatorname {atan} \left({\frac {15{\sqrt {179}}p_{2}{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{50p_{2}^{2}-420p_{2}+10732}}\right)\\&{}&&{\Bigg )}/{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}\\&{}&&-{\Bigg (}5{\sqrt {341}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1680{\sqrt {341}}p_{2}-14739{\sqrt {341}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{17050p_{2}^{2}-143220p_{2}+3659612}}\right)\\&{}&&+5{\sqrt {213}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(560{\sqrt {213}}p_{2}-14763{\sqrt {213}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{10650p_{2}^{2}-89460p_{2}+2285916}}\right)\\&{}&&+15{\sqrt {29}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1120{\sqrt {29}}p_{2}-14751{\sqrt {29}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{4350p_{2}^{2}-36540p_{2}+933684}}\right)\\&{}&&-5{\sqrt {179}}\operatorname {atan} \left({\frac {15{\sqrt {179}}p_{2}{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{50p_{2}^{2}-420p_{2}+10732}}\right)\\&{}&&{\Bigg )}/{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}\\&{\mathtt {\color {Apricot}\%i33}}&&{\mathtt {{\color {green}I}:\ {\color {brown}romberg}{\color {blue}((}{\color {green}y{\underline {\ }}1}{\color {blue})},{\color {green}p{\underline {\ }}2},{\color {brown}0},{\color {brown}7}{\color {blue})};}}\\&{\mathtt {\color {orange}(I)}}&&78.18442018225412\end{aligned}}$

Plot mit Mittelwert

Plot der Luftgüte-Funktion bei fester Raumhöhe 1,3 und mit Mittelwert als Referenzwert

Wie positioniere ich die Schüler? - Gradientenaufstiegsverfahren

• mathematische Methode in mehrdimensionalen Räumen
• Schritte:

1. Bestimmung des Gradienten von einem Punkt $S$

2. Normierung des Gradienten

3. Addition des normierten Gradienten zu $S$ ergibt $S'$

4. Funktionswert von $S'$ sollte größer sein, als Funktionswert von $S$, falls nicht: Schrittweite verringern

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (I)

• In unserem Beispiel: Funktion $f$ des Typs $f(p_{1},p_{2})\colon \ [0,9]$x$[0,7]\to \mathbb {R}$
• Bestimmung des Gradienten von einem Punkt $S=(x,y)$:$grad(x,y)=g(x,y)=({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{1}}},{\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{2}}})$
• Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs am Punkt $S=(x,y)$
• Normierung des Gradienten: $|({\tilde {g}}(x,y))=1|$
• Addition des normierten Gradienten zu $S=(x,y)$ ergibt neuen Punkt $S'$:

$S'=(x',y')={\tilde {g}}(x,y)+(x,y)=(({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{1}}})^{2}+({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{2}}})^{2})^{-1/2}\cdot g(x,y)+(x,y)$

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 1

${\begin{aligned}&{\mathtt {{\color {green}g{\underline {\ }}1}:{\color {brown}diff}({\color {brown}f}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}),{\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {brown}1});}}\\\\&-{\frac {-6720p_{2}+7880p_{1}-11964}{6820\left({\frac {2900p_{2}^{2}+(9912-6720p_{1})p_{2}+3940p_{1}^{2}-11964p_{1}+9693}{6820}}+1\right)^{2}}}\\&-{\frac {-11200p_{2}+39400p_{1}-59340}{21300\left({\frac {1700p_{2}^{2}+(15960-11200p_{1})p_{2}+19700p_{1}^{2}-59340p_{1}+46593}{21300}}+1\right)^{2}}}\\&-{\frac {-4480p_{2}+7880p_{1}-11916}{5220\left({\frac {1300p_{2}^{2}+(6552-4480p_{1})p_{2}+3940p_{1}^{2}-11916p_{1}+9477}{5220}}+1\right)^{2}}}\\&-{\frac {39400p_{1}-59100}{19700\left({\frac {100p_{2}^{2}+840p_{2}+19700p_{1}^{2}-59100p_{1}+46089}{19700}}+1\right)^{2}}}\end{aligned}}$

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 2

${\begin{aligned}&{\mathtt {{\color {brown}g}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}):=[{\color {brown}g{\underline {\ }}1}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}),{\color {brown}g{\underline {\ }}2}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2})];}}\\&g(p_{1},p_{2}):=[g_{1}(p_{1},p_{2}),g_{2}(p_{1},p_{2})]\end{aligned}}$

Gradientenaufstiegsverfahren durch Maxima

x: 9;
9

y: 5;
5

S: [x,y];
[9,5]

if(f(S[1],S[2])<I_2)
then(S: float((g(S[1],S[2] ·1/(sqrt(g(S[1],S[2]).g(S[1],S[2]))))+[S[1],S[2]]))
else(print("Punkt erreicht"), print(S));
Punkt erreicht
[6.58013094730602,6.772900652427504]
[6.58013094730602,6.772900652427504]

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (II)

• Funktionswert von $S'=(x',y')$ sollte größer sein, als der Funktionswert von $S=(x,y)$
• Falls nicht: Schrittlänge verringern (um z. B. $0,1$):

$S'=(x',y')=0,1\cdot (({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{1}}})^{2}+({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{2}}})^{2})^{-1/2}\cdot g(x,y)+(x,y)$

• Der/die Schüler/in am Punkt $S=(x,y)$, soll verschoben werden, sodass der Funktionswert $f(x',y')$ größer als mittlere Lüftungsgüte $I_{2}=1,241$ ist
• Hierzu: Gradientenaufstiegsverfahren hintereinander ausführen, bis neue Position $(x',y')$ des/der Schülers/in über durchschnittlichen Lüftungsgüte liegt

Einfluss besetzter Plätze

Problem

• Zweiter Schüler darf nicht in die Nähe vom ersten Schüler
• Idee: Luftgüte besetzter Plätze runtersetzen
• Wie? Subtraktion eines Terms, der "Delle" in der Funktion schafft

Betrachtung im Zwei-Dimensionalen

Einfluss verschiedener Parameter auf die Glockenkurve - https://www.geogebra.org/classic/rkx4q6e6

[1]

Betrachtung im Drei-Dimensionalen

• Addition mit: ${{(I_{2}-f(S[1],S[2])-0.5)} \over {(1+{{(p_{1}-S[1])^{2}+(p_{2}-S[2])^{2}} \over {0.5^{2}}}})}$
• $S[1]$ beschreibt erste Komponente von $S$
• durch Zähler liegt man am Punkt $S$ 0,5 unter $I_{2}$
• Nenner $0.5^{2}$ hat Einfluss auf die Breite der Kuhle (Sicherheitsabstand)

Neue Funktion

• $f_{2}(p_{1},p_{2})=f(p_{1},p_{2})+{{(I_{2}-f(S[1],S[2])-0.5)} \over {(1+{{(p_{1}-S[1])^{2}+(p_{2}-S[2])^{2}} \over {0.5^{2}}}})}$
• Im Folgenden für $S=(2|1)$ geplottet

Plot der neuen Funktion

Plot der Luftgüte-Funktion bei fester Raumhöhe von 1,3m und Schüler auf (2/1)

Bewertung

• Stärkere Aussagekraft und größere praktische Anwendungsmöglichkeit

⇒ Verbesserung gegenüber den ersten beiden Zyklen

• Sitzordnung für jeden Klassenraum bestimmbar

• Abstandsregelung wird berücksichtigt

• auf verschiedene Gegebenheiten anpassbar

Optimierung

• Modell basiert auf Zyklus zwei

⇒ Optimierungsmöglichkeiten dieses Zyklus bleiben bestehen

• Gradientenaufstiegsverfahren kann sehr langwierig sein

⇒ Anpassung der Schrittweite

• Modellierung basiert rein auf Modellannahmen

⇒ Datenerhebung zur Kontrolle

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