Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Grundlagen Sek II

Integralrechnung[Bearbeiten]

Nutzen: Berechnung des Flächeninhalts zwischen einer Funktion und der x-Achse
Vorgehensweise: Stammfunktion bilden
Sonderfall: Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnen (Differenzfunktion bilden)

Bestimmung Stammfunktion Polynomfunktion[Bearbeiten]

Polynomfunktion dritten Grades: $g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
Stammfunktion: $G(x)={\frac {a}{4}}x^{4}+{\frac {b}{3}}x^{3}+{\frac {c}{2}}x^{2}+dx+e$

Kettenregel für Integrale mit innerer linearer Funktion[Bearbeiten]

$\int f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)$

Bestimmung Stammfunktion Sinusfunktion[Bearbeiten]

Sinusfunktion $f(x)=a\sin(b(x-c))+d$
Stammfunktion: $F(x)=-{\frac {a}{b}}\cos(b(x-c))+dx+e$

Regressionskurve[Bearbeiten]

Nutzen: funktionalen Zusammenhang zwischen mehreren Variablen feststellen / beschreiben
Ziel: Funktion finden, die den Zusammenhang zwischen zwei Größen möglichst gut beschreibt
häufige Anwendung in der Praxis: Zusammenhang von Messdaten beschreiben, weitere Werte schätzen
Beispiel: Gerade (linearer Zusammenhang)
Anwendung in der Modellierung: computergestützt und von Hand

Bedeutung der Parameter bei der Sinusfunktion[Bearbeiten]

Form der Sinusfunktion: $f(x)=a\sin(b(x-c))+d$
bekannte Punkte: $Max$ (lokales Maximum) und $Min$ (lokales Minimum)
Schreibweise: $x_{Max}$ , $x_{Min}$ , $y_{Max}$ , $y_{Min}$ bezeichnen x- bzw. y-Koordinaten der Punkte

Parameter a[Bearbeiten]

Bedeutung: Amplitudenhöhe (Streckung / Stauchung entlang der y-Achse)
Standard-Sinusfunktion: y-Koordinaten der Extrempunkte bei -1 und 1, Amplitudenhöhe $a=1$
Allgemein: $a={\frac {y_{Max}-y_{Min}}{2}}$

Parameter b[Bearbeiten]

Bedeutung: Periodizität (Streckung / Stauchung entlang der x-Achse)
Bezeichnung Periodenlänge: $p$
Standard-Sinusfunktion: Periodenlänge $p=2\pi$ , Periodizität $b=1$
Allgemein: Periodenlänge $p=2\cdot (x_{Max}-x_{Min})$ , Periodizität $b={\frac {2\pi }{p}}$

Parameter c[Bearbeiten]

Bedeutung: Verschiebung der Funktion entlang der x-Achse an ( $c<0$ : Verschiebung nach rechts)
Standard-Sinusfunktion: $c=0$ , Nullstelle bei $x=0$ (in der Mitte zwischen einem Minimum und einem Maximum)
Allgemein: $c={\frac {x_{Max}-x_{Min}}{2}}$ ( $Max$ und $Min$ aufeinanderfolgende Extrempunkte)
alternativ: um $\pm p$ verschobenen Werte für c möglich (wegen Periodizität)

Abbildung Parameter c[Bearbeiten]

Parameter d[Bearbeiten]

Bedeutung: Verschiebung der Sinusfunktion entlang der y-Achse ( $d>0$ : Verschiebung nach oben)
Standard-Sinusfunktion: $d=0$ , Wendepunkte bei $y=0$ , Extrema bei $y=\pm 1$
Allgemein: $d={\frac {y_{Max}-y_{Min}}{2}}+y_{Min}$ (bestimmt y-Koordinate der Wendepunkte)

Parameter d = 2

Quadratische Abweichung[Bearbeiten]

Seien $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ Messwerte und ${\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}},...,{\overline {x_{n}}}$ zugehörige Mittelwerte. Berechnung der quadratischen Abweichung: $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x_{i}}})^{2}$

Matrizenschreibweise beim Lösen eines LGS[Bearbeiten]

Übertragung eines LGS in die Matrixschreibweise $A\cdot x=b$ $A\cdot x=b$
- Koeffizienten einer Funktion in eine Zeile schreiben (Koeffizientenmatrix)
- Spaltenvektor der Variablen: $x$
- Spaltenvektor der rechten Seite des LGS: $b$

Beispiel[Bearbeiten]

$A\cdot x={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}=b$

Erweiterte Koeffizientenmatrix[Bearbeiten]

Vektor $b$ wird an Koeffizientenmatrix $A$ angehängt

$\left({\begin{matrix}A\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}b\\\end{matrix}}\right.\right)=$ $\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{matrix}}\right.\right)$