Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Modellierungszyklus 1

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Ziele[Bearbeiten]

  • Modellierung von Gegenständen mit einfachen geometrischen Formen und Körpern
  • Modellierung des Schulranzens als Quader
  • Anforderung: Schulranzen muss alle Gegenstände beinhalten können
  • Überlegungen zu Material und Materialkosten
  • Betrachtung physikalischer Eigenschaften

Ermittlung der inhaltlichen Anforderungen an den Schulranzen[Bearbeiten]

  • Berechnung eines Durchschnittswertes für Schulbücher und Hefte mit Stundenplänen und Messwerten
  • Ergebnis:
    • Schulbücher: Quader mit Maßen 26 x 20 x 8 (in cm), Gewicht 3883 g
    • Hefte und Arbeitshefte: Quader mit Maßen 32 x 21 x 3 (in cm), Gewicht 1004 g
  • Annahme: Bücher und Hefte als ein Quader betrachtet (Maße 32 x 21 x 11 (in cm), Gewicht 4887 g)
  • weitere Gegenstände: Mäppchen, Zirkel, Taschenrechner, Hausaufgabenheft, Brotdose, Flasche, Schirm

Tabellen: inhaltliche Anforderungen[Bearbeiten]

Beispiel Montag Klasse 8 Beispiel Wochentage Klasse 8

Vorgehensweise bei der Modellierung[Bearbeiten]

  • GeoGebra: Anordnung der Grundflächen der Gegenstände in der Ebene (nebeneinander)
    • Abmessungen des Schulranzens: Maxima von Länge und Breite
  • GeoGebra: Werkzeug "Zum Prisma extrudieren" zur Erstellung von Prismen (Zylinder und Quader)
    • Abmessung des Schulranzens: Maximum der Höhe (hier: Bücherstapel mit 32 cm)

Modell 1[Bearbeiten]

  • Maße des Quaders: 21 x 24,16 x 32 (in cm)
Modell 1 Zyklus 1 in 3D

Teilmodelle in Modell 1[Bearbeiten]

  • Drei Modelle nach Position der Schulbücher
    • Modell 1a: Bücher am Rücken
    • Modell 1b: Bücher an der Vorderseite des Schulranzens
    • Modell 1c: Bücher seitlich
  • keine Berücksichtigung der Rückengröße von Jugendlichen
Modelle 1a-1c in 2D
Modelle 1a-1c in 2D

Physikalische Betrachtungen[Bearbeiten]

  • Einteilung der Modelle 1a-c in jeweils drei Abschnitte
  • Berechnung der Drehmomente der einzelnen Abschnitte
    • Annahme: Kraft wirkt jeweils auf einen Punkt am Ende des Abschnitts
  • Ergebnisse:
    • Modell 1a: 10,190 Nm
    • Modell 1b: 14,282 Nm
    • Modell 1c: 10,726 Nm

Interpretation der physikalischen Betrachtungen[Bearbeiten]

  • Drehmoment in Modell 1b am größten wegen großem Radius beim Bücherstapel
    • Konsequenz: geringe Belastung des Rückens bei Platzierung der schweren Gegenstände nah am Rücken
  • keine Beachtung seitlich wirkender Kräfte (vermutlich bei Modell 1c besonders stark vorhanden)
    • Konsequenz: ungleichmäßige Anordnung der Gegenstände führt zu ungleichmäßiger Belastung der Schultern

Modell 2[Bearbeiten]

  • andere Anordnung der Gegenstände in der Ebene
  • Ziel: Tiefe des Rucksack minimieren (dafür mehr Breite)
  • keine Berücksichtigung der Rückengröße von Jugendlichen
  • Ausrichtung des Rucksacks: Bücher am Rücken (vgl. Modell 1)

Maße von Modell 2[Bearbeiten]

  • Maße des Quaders: 27,2 x 19 x 32 (in cm)
Modell 2 Zyklus 1 in 3D

Vergleich mit Modell 1[Bearbeiten]

  • Drehmoment:
    • Modell 1a: 10,190 Nm
    • Modell 2: 9,529 Nm
  • Interpretation: weniger Tiefe führt zu geringerem Radius, daher Drehmoment geringer

Materialverbrauch[Bearbeiten]

  • Oberfläche des Schulranzens (mit 1cm Nahtzugabe):
    • Modell 1:
    • Modell 2:

Materialkosten[Bearbeiten]

  • Anforderungen an das Material: Regendichte, Stabilität, angemessene Kosten
  • Material: Polyesterstoff mit Kennzeichnung "wasserdicht"
  • Vergleich von Stoffpreisen verschiedener Stoffhändler: durchschnittlich 6,71 € /
  • Materialkosten:
    • Modell 1: 3,05 €
    • Modell 2: 3,11 €
    • keine Beachtung von Mengenrabatten, Kosten für weiteres Material und Arbeitszeit

Bewertung und Optimierung[Bearbeiten]

  • Physikalische Aspekte:
    • schwere Gegenstände nah am Rücken platzieren
    • verfügbare Breite nutzen
  • noch zu untersuchen:
    • Einfluss einer Anordnung der Gegenstände übereinander
    • Rückengröße und -form von Jugendlichen
    • Bücher und Hefte getrennt modellieren
    • Modellierung des Rucksacks mit anderen Körpern
    • praktische Veränderungen, z.B. Seitentaschen

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