Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Modellierungszyklus 2a

Ziele

Optimierung des Modells

• aus ökonomischer Sicht
  • Optimierung der Form, damit Material- und Kostenreduzierung
• in Bezug auf die Gewichtsanordnung
• in Bezug auf die Rückenbreite Jugendlicher

Vorgehensweise

• Optimierung des Quader-Modells aus Zyklus 1
• Hauptwerkzeug: Geogebra
  • 3D- und 2D-Konstruktionen
• Zunächst Neuanordnung der Gegenstände und Drehmomentberechnung
• Danach Anpassung der Form

Abbildung: Neue Anordnung der Gegenstände

Anordnung Gegenstände

Neue Anordnung der Gegenstände:

• Stapelung von Gegenständen
• Trennung des Hefte- und Bücherstapels
• Flasche und Schirm in Außentaschen
• Einbeziehen der Rückenbreite Jugendlicher
  • Bei 12-16 jährigen Mädchen durschn. 37,24 cm
  • Hier Breite ohne Flasche und Schirm: 23,7 cm
  • Breite mit Flasche und Schirm: 36,7 cm

Hebel und Drehmoment

• Einteilung der Grundfläche in 4 Abschnitte
• Berechnung erfolgt wie in Zyklus 1
• Vergleich:
  • Zyklus 1, Modell 2: 9,529 Nm
  • Zyklus 2: 5,869 Nm

Abblidung: Hebel und Drehmoment

Konstruktion der Schnittpunkte

• Konstruktion von Geraden aus Eckpunkten der Gegenstände
• Schnittpunkte der Geraden mit der Seitenfläche (Ebene)

Seitenansicht des Rucksacks

Modellierung der Seitenansicht

• Schnittpunkte der Seitenfläche werden in zweidimensionale Datei übertragen
• Optimierung der oberen Kante des Rucksacks durch Parabeln oder Exponentialfunktionen, die durch Parameter an die Punkte angepasst werden
  • allgemeine Form Parabel: $t(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$
  • Parabel mit angepassten Parametern: $t(x)=-0,1\cdot x^{2}+1,2\cdot x+32$
  • allgemeine Form Exponentialfunktion: $w(x)=a_{2}\cdot e^{b_{2}\cdot x}+c_{2}$
  • Exponentialfunktion mit angepassten Parametern: $w(x)=-0,1\cdot e^{0,26\cdot x}+32,5$

Flächenberechnung durch Integration

• Fläche (Integral) soll so klein wie möglich werden
  • Fläche unter Gerade ($f(x)=32$): $592\,cm^{2}$
  • Fläche unter Parabel: $586,3\,cm^{2}$
  • Fläche Parabel ohne Spitze: $557,5\,cm^{2}$
  • Fläche Exponentialfunktion: $554,43\,cm^{2}$
• damit Entscheidung für die Exponentialfunktion

Modell

Materialkosten

• Schon berechnet ist eine Seitenfläche durch Integration, die noch verdoppelt wird
• Noch zu berechnen: restliche Flächen, die alle rechteckig sind
• Seitenlänge der oberen Kante (Exponentialfunktion) erhält man durch Geogebra-Befehl "Länge"
• Gesamtfläche $3395,58\,cm^{2}$ oder $0,339558\,m^{2}$
• Mit Einbeziehen der Nahtzugabe von 1cm: $0,3977\,m^{2}$
• Damit liegen die Materialkosten (mit durchschnittlichen Preisen von Zyklus 1) bei 2,67 €
  • Vergleich Materialkosten Zyklus 1, Modell 1: 3,05 €

Bewertung und Optimierung

• Neue Anordnung ist sehr platzsparend
• Drehmoment ist im Vergleich zu Zyklus 1 nahezu halbiert -> Last ist besser verteilt für den Rücken der Schüler*innen
• Auch das Abrunden des Rucksacks durch die Exponentialfunktion ist platz-,material- und kostensparend

• Nicht beachtet sind zusätzliche Kosten, die durch die Seitentaschen entstehen
• Nicht berücksichtigt wurde die Rückenform -> Zyklus 2b

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