Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Modellierungszyklus 2b

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Ziele: Modellierung medizinischer Aspekte[Bearbeiten]

  • Anpassung des Rucksacks an die Form eines menschlichen Rückens
  • zweidimensionale Darstellung der Rückenform mit Sinus- / Polynomfunktionen
  • Bestimmung von Form und Volumen des Polsters zur Ausfüllung des Raumes zwischen Rücken und Rucksack (optimale Druckverteilung ermöglichen)

Modellierung der Rückenform[Bearbeiten]

  • Abbildung eines menschlichen Skeletts als Grundlade der Modellierung
  • Bestimmung der Funktionen computer-gestützt und von Hand (im Unterricht umsetzbar)

Skelett ohne Punkte

Modellierung einer Sinus-Funktion[Bearbeiten]

Computer-gestützte Modellierung[Bearbeiten]

  • Beschreibung des Verlaufs des Rückens in GeoGebra durch zwölf Punkte im Intervall [20,75]
  • Befehl "TrendSin" erstellt eine Regressionskurve der Form
  • Ergebnis:
Sinusfunktion mit Punkten [1]
Sinusfunktion mit Punkten [1]

Modellierung von Hand I[Bearbeiten]

  • Form: (in der Schule üblich)
  • zur Bestimmung der Parameter nötig: lokale Extrempunkte im Intervall [20,75] ( und )
  • Parameter a (Amplitudenhöhe):
  • Periodenlänge :
  • Parameter b (Periodizität):

Modellierung von Hand II[Bearbeiten]

  • Parameter c (Verschiebung in x-Richtung):
    • Berechnung durch weitere Extremstellen und
    • Wendepunkt der Sinuskurve: in der Mitte zwischen diesen beiden Extremstellen ()
  • Parameter d (Verschiebung in y-Richtung):

Modellierung von Hand: Ergebnis[Bearbeiten]

Sinusfunktion von Hand [2]
Sinusfunktion von Hand [2]

Modellierung einer Polynomfunktion[Bearbeiten]

Computer-gestützte Modellierung[Bearbeiten]

  • Befehl "TrendPoly" berechnet das Regressionspolynom n-ten Grades zu ausgewählten Punkten
  • hier: n = 3, Punkte entlang des Rückens
  • Ergebnis:
Polynomfunktion mit Punkten [3]
Polynomfunktion mit Punkten [3]

Modellierung von Hand I[Bearbeiten]

  • Form:
  • bekannte Punkte:
    • Extrempunkte und
    • zwei weitere, beliebige Punkte am Rücken, hier: Randpunkte und
  • Einsetzen der Wertepaare in Funktionsgleichung liefert lineares Gleichungssystem in den Parametern

Modellierung von Hand II[Bearbeiten]

Modellierung von Hand III[Bearbeiten]

In eine Matrix übertragen ergibt sich:

Modellierung von Hand IV[Bearbeiten]

Lösungsvektor dieses Gleichungssystems:

Modellierung von Hand: Ergebnis[Bearbeiten]

Polynomfunktion von Hand [4]
Polynomfunktion von Hand [4]

Modellierung von Hand: Rechenfehler[Bearbeiten]

  • am Ende des Semesters bemerkt: Rechenfehler in der Lösung des LGS
  • weitere Modellierung erfolgt mit den ursprünglichen Werten
  • korrekter Lösungsvektor:

Abweichungen[Bearbeiten]

Berechnung der quadratischen Abweichungen der modellierten Funktionen von den gegebenen Punkten A bis L (gerundet):

Modellierung des Polsters[Bearbeiten]

Beschreibung und Annahmen[Bearbeiten]

  • Ziel: Schulranzen an die Rückenform anpassen
  • dazu: Raum zwischen Rücken und Rückseite des Rucksacks mit Polster ausfüllen
  • Annahmen zur Bestimmung von Form und Volumen des Polsters:
    • Rückseite des Rucksacks: gerade Fläche, waagrecht zur x-Achse, liegt an der höchsten Stelle des Rückens an
    • Form des Rückens: zweidimensionale Funktion (keine Beachtung von Höhenunterschieden am Rücken in seitlicher Richtung)
  • beachte: Funktionen in GeoGebra in realistischem Maßstab bestimmt

Berechnungen I[Bearbeiten]

  • Berechnung der Maxima der vier Funktionen im Intervall [20,75]
    • an diesen Stellen: Rucksack berührt Rücken
  • Modellierung der Rückseite des Rucksacks als konstante Gerade parallel zur x-Achse auf der jeweiligen Höhe
    • folglich: Rucksackfunktion immer größer oder gleich der zugehörigen Rückenfunktion (für Integrale relevant)

Berechnungen II[Bearbeiten]

  • Integralrechnung: Fläche zwischen Rucksackfunktionen und zugehörigen Rückenfunktionen bestimmen
  • Abbildung: , und
Integral der Funktion f1 [5]
Integral der Funktion f1 [5]


Berechnungen III[Bearbeiten]

Ergebnisse I[Bearbeiten]

Fläche zwischen Rucksack und Rücken:

Ergebnisse II[Bearbeiten]

  • durchschnittliche Schulterbreite von Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren (siehe Rohdaten):
    • keine Berücksichtigung von Unterschieden zwischen Jungen und Mädchen
  • durchschnittliche Schulterbreite als Rucksackbreite und Breite des Polsters gesetzt
  • Volumen des Polsters bei den unterschiedlichen Funktionen:

Bewertung[Bearbeiten]

Bewertung I[Bearbeiten]

  • Vergleich der Funktionsvorschriften von und bzw. und :
    • Vorfaktoren zwischen computer-gestützter und händischer Modellierung sehr ähnlich

Bewertung II[Bearbeiten]

  • Bewertung der Vorgehensweise für diese Problemstellung durch berechnete Abweichungen:
    • Sinus-Funktionen und besser geeignet (weniger Abweichung von den gegebenen Punkten als Polynomfunktionen und )
    • computer-gestützt modellierte Funktion : nur leicht geringere Abweichungen als (von Hand)
    • relativ geringer Rechenaufwand bei der Bestimmung der Sinus-Funktion von Hand, gutes Ergebnis (Verfahren gut geeignet)
    • (sehr große Abweichung der von Hand modellierten Polynomfunktion , hohen Rechenaufwand (Verfahren ungeeignet))

Optimierung[Bearbeiten]

Optimierung I[Bearbeiten]

  • vereinfachende Annahme: Form des Rückens nur in vertikaler Richtung beschrieben (Höhenunterschiede in horizontaler Richtung nicht beachtet)
    • Realität: Höhenunterschiede in horizontaler Richtung vorhanden (z.B. durch Position der Wirbelsäule und der Rippen)
    • Zyklus 3: dreidimensionale Modellierung der Rückenform

Optimierung II[Bearbeiten]

  • Berechnung des Polstervolumens mit einem Mittelwert für Schulterbreite von Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren
    • keine Beachtung von Unterschieden der Schulterbreite von Mädchen und Jungen und Veränderung der Schulterbreite mit Wachstum
    • Optimierung: getrennte Modellierung von Rucksäcken für Mädchen und Jungen, evtl. verstellbare Rückenhöhe

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