Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Modellierungszyklus 2b
Ziele: Modellierung medizinischer Aspekte[Bearbeiten]
- Anpassung des Rucksacks an die Form eines menschlichen Rückens
- zweidimensionale Darstellung der Rückenform mit Sinus- / Polynomfunktionen
- Bestimmung von Form und Volumen des Polsters zur Ausfüllung des Raumes zwischen Rücken und Rucksack (optimale Druckverteilung ermöglichen)
Modellierung der Rückenform[Bearbeiten]
- Abbildung eines menschlichen Skeletts als Grundlade der Modellierung
- Bestimmung der Funktionen computer-gestützt und von Hand (im Unterricht umsetzbar)
Modellierung einer Sinus-Funktion[Bearbeiten]
Computer-gestützte Modellierung[Bearbeiten]
- Beschreibung des Verlaufs des Rückens in GeoGebra durch zwölf Punkte im Intervall [20,75]
- Befehl "TrendSin" erstellt eine Regressionskurve der Form
- Ergebnis:
Modellierung von Hand I[Bearbeiten]
- Form: (in der Schule üblich)
- zur Bestimmung der Parameter nötig: lokale Extrempunkte im Intervall [20,75] ( und )
- Parameter a (Amplitudenhöhe):
- Periodenlänge :
- Parameter b (Periodizität):
Modellierung von Hand II[Bearbeiten]
- Parameter c (Verschiebung in x-Richtung):
- Berechnung durch weitere Extremstellen und
- Wendepunkt der Sinuskurve: in der Mitte zwischen diesen beiden Extremstellen ()
- Parameter d (Verschiebung in y-Richtung):
Modellierung von Hand: Ergebnis[Bearbeiten]
Modellierung einer Polynomfunktion[Bearbeiten]
Computer-gestützte Modellierung[Bearbeiten]
- Befehl "TrendPoly" berechnet das Regressionspolynom n-ten Grades zu ausgewählten Punkten
- hier: n = 3, Punkte entlang des Rückens
- Ergebnis:
Modellierung von Hand I[Bearbeiten]
- Form:
- bekannte Punkte:
- Extrempunkte und
- zwei weitere, beliebige Punkte am Rücken, hier: Randpunkte und
- Einsetzen der Wertepaare in Funktionsgleichung liefert lineares Gleichungssystem in den Parametern
Modellierung von Hand II[Bearbeiten]
Modellierung von Hand III[Bearbeiten]
In eine Matrix übertragen ergibt sich:
Modellierung von Hand IV[Bearbeiten]
Lösungsvektor dieses Gleichungssystems:
Modellierung von Hand: Ergebnis[Bearbeiten]
Modellierung von Hand: Rechenfehler[Bearbeiten]
- am Ende des Semesters bemerkt: Rechenfehler in der Lösung des LGS
- weitere Modellierung erfolgt mit den ursprünglichen Werten
- korrekter Lösungsvektor:
Abweichungen[Bearbeiten]
Berechnung der quadratischen Abweichungen der modellierten Funktionen von den gegebenen Punkten A bis L (gerundet):
Modellierung des Polsters[Bearbeiten]
Beschreibung und Annahmen[Bearbeiten]
- Ziel: Schulranzen an die Rückenform anpassen
- dazu: Raum zwischen Rücken und Rückseite des Rucksacks mit Polster ausfüllen
- Annahmen zur Bestimmung von Form und Volumen des Polsters:
- Rückseite des Rucksacks: gerade Fläche, waagrecht zur x-Achse, liegt an der höchsten Stelle des Rückens an
- Form des Rückens: zweidimensionale Funktion (keine Beachtung von Höhenunterschieden am Rücken in seitlicher Richtung)
- beachte: Funktionen in GeoGebra in realistischem Maßstab bestimmt
Berechnungen I[Bearbeiten]
- Berechnung der Maxima der vier Funktionen im Intervall [20,75]
- an diesen Stellen: Rucksack berührt Rücken
- Modellierung der Rückseite des Rucksacks als konstante Gerade parallel zur x-Achse auf der jeweiligen Höhe
- folglich: Rucksackfunktion immer größer oder gleich der zugehörigen Rückenfunktion (für Integrale relevant)
Berechnungen II[Bearbeiten]
- Integralrechnung: Fläche zwischen Rucksackfunktionen und zugehörigen Rückenfunktionen bestimmen
- Abbildung: , und
Berechnungen III[Bearbeiten]
Ergebnisse I[Bearbeiten]
Fläche zwischen Rucksack und Rücken:
Ergebnisse II[Bearbeiten]
- durchschnittliche Schulterbreite von Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren (siehe Rohdaten):
- keine Berücksichtigung von Unterschieden zwischen Jungen und Mädchen
- durchschnittliche Schulterbreite als Rucksackbreite und Breite des Polsters gesetzt
- Volumen des Polsters bei den unterschiedlichen Funktionen:
Bewertung[Bearbeiten]
Bewertung I[Bearbeiten]
- Vergleich der Funktionsvorschriften von und bzw. und :
- Vorfaktoren zwischen computer-gestützter und händischer Modellierung sehr ähnlich
Bewertung II[Bearbeiten]
- Bewertung der Vorgehensweise für diese Problemstellung durch berechnete Abweichungen:
- Sinus-Funktionen und besser geeignet (weniger Abweichung von den gegebenen Punkten als Polynomfunktionen und )
- computer-gestützt modellierte Funktion : nur leicht geringere Abweichungen als (von Hand)
- relativ geringer Rechenaufwand bei der Bestimmung der Sinus-Funktion von Hand, gutes Ergebnis (Verfahren gut geeignet)
- (sehr große Abweichung der von Hand modellierten Polynomfunktion , hohen Rechenaufwand (Verfahren ungeeignet))
Optimierung[Bearbeiten]
Optimierung I[Bearbeiten]
- vereinfachende Annahme: Form des Rückens nur in vertikaler Richtung beschrieben (Höhenunterschiede in horizontaler Richtung nicht beachtet)
- Realität: Höhenunterschiede in horizontaler Richtung vorhanden (z.B. durch Position der Wirbelsäule und der Rippen)
- Zyklus 3: dreidimensionale Modellierung der Rückenform
Optimierung II[Bearbeiten]
- Berechnung des Polstervolumens mit einem Mittelwert für Schulterbreite von Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren
- keine Beachtung von Unterschieden der Schulterbreite von Mädchen und Jungen und Veränderung der Schulterbreite mit Wachstum
- Optimierung: getrennte Modellierung von Rucksäcken für Mädchen und Jungen, evtl. verstellbare Rückenhöhe
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- ↑ Bild im Hintergrund: File:Ischial spine - 01 - lateral view.png - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ischial_spine_-_01_-_lateral_view.png
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