Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester/Schuelerprojekt

Thema

Modellierung einer zweidimensionalen Treffer-Wahrscheinkichkeitsdichte für ein Dartspiel und Übertragbarkeit dessen auf Umweltkatastrophen.

Änderungen

Anders als geplant habe ich statt einer Dartscheibe auf ein Blatt Papier gezielt. Das Blatt ist ein guter Ersatz für die Dartscheibe, da es ungefähr die gleiche Größe hat und sich die Bewegung beim Werfen, genau wie bei einer Dartscheibe, auf die Mitte richtet und von dort aus nach außen streut.

Beschreibung der Durchführung

Ich habe zwei Versuche durchgeführt, bei denen ich mit einem kleinen Gegenstand auf die Mitte eines Blatt Papiers gezielt habe. Das Papier war 27 x 49cm groß und ich habe ein Diagramm mit Abständen von 5cm darauf gezeichnet.

Versuch 1

Beim ersten Versuch warf ich, auf einem Stuhl sitzend, aus einer Entfernung von ungefähr 2 Metern 1- und 5-Centmünzen auf das Blatt, welches ich auf den Boden gelegt hatte. Die Stellen an denen die Münzen landeten kennzeichnete ich mit jeweils einem Kreuz.

Versuch 2

Für den zweiten Versuch nutzte ich meinen Kopierchip, der ungefähr der Größe einer 2€-Münze entspricht. Ich saß beim Werfen wieder auf einem Stuhl und ohne viel Abstand zum Blatt, das vor mir auf einem Tisch lag. Diesmal kennzeichnete ich die Stellen mit Kreisen, um die beiden Versuche voneinander unterscheiden zu können.

Auswertung

Um die Versuche schließlich auswerten zu können habe ich die Anzahl der Treffer jedes Kästchens angegeben. Später wurde mir dabei geholfen mit diesen Daten zwei Histogramme zu erstellen.

Ergebnisanalyse

Versuch 1

Im ersten Histogramm sieht man, dass die Würfe ziemlich gestreut sind. Obwohl ich versucht habe die Mitte zu treffen, sind die meisten meiner Würfe im umliegenden Bereich gelandet. Dennoch lässt sich in der Mitte die größte Ansammlung an Treffern erkennen.

Versuch 2

Das Ergebnis des zweiten Versuchs sieht etwas anders aus, was vermutlich daran liegt, dass ich aus einer kleineren Entfernung geworfen habe als zuvor, und der Gegenstand schwerer war, nicht sprang und durch seine unrunde Form nicht rollte. Die meisten Treffer sind in der Mitte gelandet und in den Kästchen davor und dahinter. Ein paar Mal ist der Kopierchip auch leicht rechts neben der Mitte liegen geblieben.

Mathematisches Modell

Das Ziel dieser Arbeit war, von einer experimentellen Durchführung auf eine Dichtefunktion zu schließen. Dazu habe ich die Cauchy-Verteilungen verwendet.

Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine Funktion, bei der die Werte um den Punkt, den sie angeben gleichmäßig abfallen. Die Funktionsvorschrift lautet:

 $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Testet man verschiedene x-Werte aus, so ergibt sich:

*  $f(x=0)={\frac {1}{1+0^{2}}}={\frac {1}{1+0}}=1$ 
*  $f(x=1)={\frac {1}{1+1^{2}}}={\frac {1}{1+1}}=0,5$ 
*  $f(x=-1)={\frac {1}{1+(-1)^{2}}}={\frac {1}{1+1}}=0,5$ 
*  $f(x=2)={\frac {1}{1+2^{2}}}={\frac {1}{1+4}}=0,2$ 
*  $f(x=-2)={\frac {1}{1+(-2)^{2}}}={\frac {1}{1+4}}=0,2$

Eigenschaften

Ihr höchster Punkt liegt bei 1 und der tiefste leicht über 0. Der Graph ist nie im unteren Bereich, weil das x in der Funktion je einmal mit sich selbst multipliziert wird, was zu einem immer positiven Ergebnis führt.

Die Funktion auf der Abbildung spiegelt sich. Diese Spiegelung ist entstanden, weil jeder x-Wert einmal als positiver, und als negativer Wert vorkommt. Z.B. gibt es zum Wert "x=1" das Gegenstück "x=-1". "0" ist der einzige Wert, den man nicht negativ und positiv darstellen kann. Daher gibt es nur den Wert "x=0".

Übertragen ins Dreidimensionale

Dabei verknüpft man eindimensionale Verteilungen in je x- und y-Richtung. Man erhält die Vorschrift:

 $f(x,y)={\frac {1}{(1+x^{2})\cdot (1+y^{2})}}$

 $f(x=1,y=0)={\frac {1}{(1+1^{2})}}\cdot {\frac {1}{(1+0^{2})}}={\frac {1}{1+1}}\cdot {\frac {1}{1}}=0.5\cdot 1=0.5$

Darstellung der Cauchy-Funktion im dreidimensionalen Raum

Nutzen und Eignung

Man kann mit der Cauchy-Verteilung Trefferwahrscheinlichkeiten gut darstellen, weil sie fließende Übergänge gut simulieren kann und somit auch die Möglichkeiten mit einbezieht, die um den beschriebenen Punkt herum liegen.

Für dieses Experiment ist die Cauchy-Verteilung gut geeignet, weil sie eine Verbindung zwischen den Treffern herstellen kann, statt nur die einzelnen Punkte anzugeben. Denn es ist nicht sicher, ob weitere Würfe genau an den Stellen landen würden an denen sie es wärend der Versuche sind. Aber es ist dennoch wahrscheinlich, dass sie im selben Bereich landen würden.

Verschiebung und Skalierung von einer Cauchy-Verteilung

Verschiebung

Man kann 'Graphen' der Cauchy-Verteilung in einen anderen Bereich verschieben. Damit verschiebt sich auch die Spitze des 'Berges'. Dies ist notwendig, um alle Punkte im Koordinatensystem abdecken zu können.

Um die Höhe des verschobenen Berges auszurechnen nutzt man die Vorschrift:

 $f(x,y)={\frac {1}{(1+(x-x_{0})^{2})\cdot (1+(y-y_{0})^{2})}}$

Beispiel

Bei einer Verschiebung um beispielswesie $x_{0}=1$ und $y_{0}=2$ ergibt sich somit:

 $f(x,y)={\frac {1}{(1+(x-1)^{2})\cdot (1+(y-2)^{2})}}$

Berechnet man nun die Höhe der Funktion / des Berges an der neuen Zentrum Stelle $x=1$ und $y=2$ , so erhält man:

 $f(1,2)={\frac {1}{(1+(x-1)^{2})\cdot (1+(y-2)^{2})}}={\frac {1}{1\cdot 1}}={\frac {1}{1}}=1$

Die Verschiebung war erfolgreich, denn die Spitze des Berges ist aus ihrer vorherigen Position x=0 und y=0 in die neue Position x=1 und y=2 gewechselt.

Darstellung einer verschobenen Cauchy-Verteilung

Skalierung

Bei der Skalierung verändert man Höhenangaben. Dies ist nützlich, wenn man die unterschiedlichen Trefferhäufigkeiten in den Quadraten mathematisch repräsentieren möchte.

Die Funktionsvorschrift einer skalierten Funktion lautet:

 $f(x,y)={\frac {a}{(1+x^{2})\cdot (1+y^{2})}}$

Normalerweise entspricht $a$ immer dem Wert 1:

 $f(0,0)={\frac {1}{(1+x^{2})\cdot (1+y^{2})}}={\frac {1}{1\cdot 1}}=1$

Um eine bestimmte Höhe auszurechnen, muss die Formel mit der entsprechenden Zahl multipliziert werden. Z.B.: Höhe: 8

 $f(x=0,y=0)=8\cdot {\frac {1}{(1+x^{2})\cdot (1+y^{2})}}=8\cdot 1=8$

Aus dieser Funktion ergibt sich eine Cauchy-Verteilung mit der maximalen Höhe von 8

Umsetzung der Modellierung

Jedem Kästchen des Histogramms wird eine Funktion zugeordnet. Die Funktionen werden, von der Mitte der Darstellung ausgehend, auf den Mittelpunkt der Quadrate verschoben. Dann wird die Funktion mit der Anzahl der Treffer im jeweiligen Quadrat skaliert, um ihre Höhe anzugeben.

Alle Funktionen werden dann im Anschluss addiert. Im unteren Bild ist zu sehen, wie sich die Überschneidungen der Berge addieren.

Überlagerung von zwei Cauchy-Verteilungen

Ergebnisse

HTML-Animationen in GitHub https://jonahschuster.github.io/praktikum_nina_2026/

Übertragbarkeit des Modells auf Umweltkatastrophen

Das Modell lässt sich auch auf Umweltkatastrophen übertragen, wie z.B. auf Erdbeben. An Stelle der 'Treffer' würden die Quellen für den errichteten oder zu erwartenden Schaden eines Erdbebens kartiert werden.

Aus den je nach dem zu erwartenden oder schon gegebenen Messwerten kann eine Karte konstruiert werden, die den Histogrammen von oben ähnelt. Anders als dort, entsprechen den Werten in den Quadraten dann die Messwerte oder Schadenswerte (statt einer Trefferanzahl).

Ab dann bleibt der Modellierungsansatz gleich. Bei Bedarf kann der Bereich, in dem die 'Berge' abfallen anders gestaltet werden, d.h. sie können flacher oder drastischer abfallen.

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