Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester/Thema 1

Thema

In diesem Projekt soll der perfekte Volleyballaufschlag mathematisch modelliert werden. Dabei geht es um die Frage wie die Flugkurve des Balls bei einem perfekten Aufschlag aussieht.

Projektteam

1. Helen Dahm
2. Carolin Regitz
3. Joey Becker

Anmerkungen Dozent: 
sehr schön ausgearbeitetes Portfolio, siehe aber meine Ergänzungen, Anmerkungen oder Fragen weiter unten.

Definition: Der perfekte Volleyballaufschlag

Der perfekte Aufschlag bezeichnet hier einen Aufschlag von oben, der in eine der hinteren Ecken des Feldes geht und kurz über die Netzkante fliegt. Durch einen solchen Aufschlag wird häufig direkt ein Punkt erzielt, wenn der Ball von keinem gegnerischen Spieler berührt wird und im Feld landet.

Nachhaltigkeitsziele (SDG)

🏥 SDG 3 (Good Health and Well-being)

Die regelmäßige Bewegung bei der Ballsportart Volleyball umfasst eine körperliche Aktivität, welche sowohl physische als auch psychische Gesundheit fördert [1]. Neben der eigenen Gesundheit trägt die Sportart zusätzlich zum allgemeinen Wohlergehen bei. Sowohl die Fitness und Motorik als auch die Koordination und das allgemeine körperliche Wohlbefinden, welche eine wichtige Grundlage für ein gesundes Leben in jedem Alter darstellen, werden verbessert [2].

Durch die mathematische Modellierung des perfekten Aufschlags kann der Volleyballaufschlag effizienter, gesünder und gelenkschonender gestaltet werden. Die Modellbildung unterstützt dabei, trainingswissenschaftliche Erkenntnisse in gesundheitsorientiertes Training, in Bezug auf den optimalen Winkel und die optimale Schlaghöhe, zu übersetzen.

🎓 SDG 4 (Quality Education)

Die Verknüpfung von Mathematik und Sport schafft für Schüler*innen einen handlungsorientierten und lebensnahen Zugang zu fachlichen Inhalten. Durch das Arbeiten mit realen Bewegungsabläufen werden mathematische Kompetenzen wie Problemlösen, Interpretieren, Anwenden und kritisches Analysieren gefördert.

Gleichzeitig entsteht fächerübergreifendes Lernen, das zeigt, wie unterschiedliche Disziplinen zusammenwirken und sich gegenseitig bereichern können. Die Orientierung an authentischen Situationen unterstützt nachhaltige und kompetenzorientierte Lernprozesse, wie sie in internationalen Bildungsstandards als Merkmal hochwertiger Bildung hervorgehoben werden. [3, 4]

Sehr gut und reflektiert ausgearbeitete SDGs, und generell schön umgesetze Formattierung

Datenerhebung und verwendete Werkzeuge

Zur Gewinnung der Messdaten wurden 24 Videoaufnahmen des Volleyballaufschlags aus einer festen Kameraposition aufgenommen. Dabei wurde die Weitwinkelfunktion des Handys benutzt, wodurch es zu leichten Verzerrungen kommt. Von den 24 Videos waren nur 15 brauchbar, aufgrund von Fehlern bei dem Aufschlag bzw. bei der Videoaufnahme.

Die Position des Balls in Abhängigkeit von der Zeit, sowie die Geschwindigkeit wurden mithilfe von Tracker bestimmt. Die Messdaten wurden in eine Excel-Tabelle übertragen, wobei die horizontalen Positionen des Balls und die jeweils zugehörigen vertikalen Höhen, sowie die Zeit erfasst wurden. Die gemessenen Werte dienen als empirische Basis der Modellierung und erlauben eine Bewertung der theoretischen Ergebnisse.

Verwendete Software:

• Tracker (Videoanalyse)
• Excel (Datenverarbeitung)
• Geogebra (Visualisierung)

Modellierungsansatz

Modellierungszyklus I: Im ersten Zyklus der Modellierung wird die Flugkurve eines Volleyballaufschlags idealisiert betrachtet. Die Bewegung des Balls wird dabei als parabelförmige Flugbahn beschrieben. Dazu wird eine ideale Parabelgleichung aufgestellt, in der die Rotation des Balls sowie der Luftwiderstand vernachlässigt werden.

Modellierungszyklus II: Im zweiten Modellierungszyklus wird eine Regressionskurve aus den Messdaten aufgestellt. Es wird eine realitätsnähere Modellierung durch quadratische Regression gewährleistet.

Modellierungszyklus III: Im erweiterten Modellierungszyklus wird die Flugkurve des Volleyballs unter Berücksichtigung des Luftwiderstands ermittelt.

Visualisierung der gemittelten Flugkurve

Um die Flugkurve des Volleyballs bei einem Aufschlag darzustellen, kann die Grafikfunktion in Excel genutzt werden. Damit kann die Höhe in Abhängigkeit zur Weite des Balls abgebildet werden. Zur Darstellung einer aus allen Aufschlägen gemittelten Kurve werden zunächst die einzelnen Werte, das heißt die Zeit, die x- und die y-Koordinaten mit der Mittelwert-Funktion in Excel gemittelt.

Da die Bälle unterschiedlich weit fliegen und dementsprechend die Flugkurven zu unterschiedlichen Zeitpunkten enden, müssen zunächst die einzelnen Tabellen alle auf dieselbe Länge gebracht werden, um richtig mitteln zu können. Dazu wird die Zeit verlängert, die Flugweite beibehalten und die Höhe bei Null belassen. Man erhält folgende Kurve:

Abbildung 1: Gemittelte Flugkurve des Volleyballs

Dokumentieren Sie hier auch alle Aufschlagsversuche (beispielswiese in ein Graf) und die Mittelwerte sowie die Standartabweichung der Versuche

Ist die obige Kurve als Kurve der Mittelwerte ermittelt oder wie genau ist diese bestimmt? Und wie verhält sich diese Kurve zu allen Versuchskurven? (graphische Darstellung)

Modellierungszyklus 1 a): Drei-Punkte-Methode

🎯 Ziel: Bestimmung einer Parabel durch drei charakteristische Punkte der Flugkurve

Im ersten Schritt wird versucht die Flugkurve des Volleyballs durch eine Parabel zu beschreiben die durch den Startpunkt, den Hochpunkt und den Endpunkt der Flugkurve verläuft. Aus diesen drei Punkten lässt sich eine quadratische Gleichung ermitteln die die Flugkurve des Balles beschreibt [5]. Die x- und y-Werte der Punkte lassen sich in folgender Geogebra-Datei ablesen.

Charakteristische Punkte

Charakteristische Punkte der Flugkurve

Punkt	Bezeichnung	x [m]	y [m]
Startwert	S	0	2,37
Scheitelpunkt (Hochpunkt)	H	6,57	3,93
Endwert	E	14,88	0

Herleitung

Wir nutzen hierfür die Normalform der Parabelgleichung:

(1) $y(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$

Durch Einsetzen der drei Punkte werden die einzelnen Parameter bestimmt.

Schritt 1: Einsetzen des Startwerts $S(0|2{,}37)$:

(2) ${\begin{aligned}2{,}37&=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\\\Rightarrow \quad c&=2{,}37\end{aligned}}$

Schritt 2: Einsetzen des Hochpunkts $H(6{,}57|3{,}93)$:

(3) $3{,}93=a\cdot 6{,}57^{2}+b\cdot 6{,}57+2{,}37$

Schritt 3: Einsetzen des Endwerts $E(14{,}88|0)$:

(4) $0=a\cdot 14{,}88^{2}+b\cdot 14{,}88+2{,}37$

Durch Auflösen der Gleichung (3) nach $b$ und anschließendes Einsetzen in Gleichung (4) ergeben sich folgende Werte für die Parameter $a$ und $b$:

Ergebnis:

${\begin{aligned}a&=-0{,}05\\b&=0{,}55\\c&=2{,}37\end{aligned}}$

Daraus folgt:

(5) ${y(x)=-0{,}05\cdot x^{2}+0{,}55\cdot x+2{,}37}$

Abbildung 2: Berechnete Drei-Punkte-Parabel (rot) im Vergleich mit unseren gemittelten Messpunkten

Bewertung

In der Grafik kann man die gemittelte Flugkurve der Aufschläge sehen die durch die eben berechnete quadratische Gleichung angenähert wird. Man kann erkennen, dass diese Gleichung die Flugkurve des Balles schon recht gut beschreibt, allerdings gegen Ende etwas ungenau wird.

Beobachtung: Im Folgenden wird versucht durch die Berücksichtigung von physikalischen Parametern wie Geschwindigkeit und Aufschlagwinkel eine bessere Annäherung an die Flugkurve des Balles zu finden.

Modellierungszyklus 1 b): Physikalische Parameter

Herleitung der relevanten Formel mit physikalischen Parametern

Zur Herleitung der Formel für die Flugkurve des Volleyballs müssen mehrere abhängige Faktoren berücksichtigt werden [6]. Beim Aufschlag fliegt der Volleyball mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ sowohl in die horizontale als auch in die vertikale Richtung. Die Horizontale beschreibt die Strecke entlang des Feldes, die der Ball zurücklegt, wobei die Vertikale sich auf die Höhe des Balles bezieht.

Für das Aufstellen der Formel wird zudem lediglich die Gravitationskraft, die den Ball zur Erde anzieht, berücksichtigt. Weitere Faktoren wie den Luftwiderstand werden für das Niveau der Sekundarstufe II nicht berücksichtigt. Zuerst werden die Gleichungen für die Anfangsgeschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung benötigt. Um diese zu berechnen benötigt man den Winkel $\alpha$.

Die Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung berechnet man dann mit den folgenden Gleichungen:

(1) $v_{0x}=v_{0}\cdot \cos(\alpha )$

(2) $v_{0y}=v_{0}\cdot \sin(\alpha )$

Beide Formeln liefern dabei die Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung zum Zeitpunkt $t=0$.

Bewegung in x-Richtung:

Die erste Kraft die wirkt ist die Kraft des Wurfs. Die zweite Kraft ist die Gravitationskraft, die nach unten, also in y-Richtung wirkt.

Bei der Bewegung in x-Richtung wirkt die Gravitationskraft also nicht. Das heißt in x-Richtung wirkt lediglich die Kraft des Wurfs. Daraus folgt für die Geschwindigkeit also:

(3) $v_{x}=v_{0x}$

Schließlich ergibt sich für die Strecke, die der geworfene Körper in $x$-Richtung zurücklegt:

(4) $x(t)=v_{0x}\cdot t$

Diese Formel beruht auf der Definition der gleichförmigen Bewegung mit $v_{x}=v_{0x}=konst$.

Bewegung in y-Richtung:

Für die Bewegung in y-Richtung muss die Gewichtskraft berücksichtigt werden, welche den Ball Richtung Erdboden zieht. Die Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab, da die Gewichtskraft auf den Ball wirkt und die Geschwindigkeit verringert, es gilt:

(5) $v_{y}(t)=v_{0y}-g\cdot t$

Die nun aufgestellte Formel muss noch erweitert werden, sodass die Anfangshöhe $h_{0}$, die Aufwärtsbewegung und die Abbremsung durch die Gewichtskraft berücksichtigt wird. Daraus ergibt sich dann:

(6) $y(t)=h_{0}+v_{0y}\cdot t-{\frac {1}{2}}g\cdot t^{2}$

Herleitung von y(x):

Das Ziel ist es nun, eine Formel in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten. Aus diesem Grund stellen wir die Formel (4) nach $t$ um:

(7) $t={\frac {x}{v_{0x}}}$

Setzt man nun dies in Gleichung (6) ein, erhält man:

(8) $y(x)=h_{0}+v_{0y}\cdot {\frac {x}{v_{0x}}}-{\frac {1}{2}}g\cdot \left({\frac {x}{v_{0x}}}\right)^{2}$

Durch umstellen in die Form $y=ax^{2}+bx+c$ erhält man eine Polynomfunktion 2. Grades in Abhängigkeit von $x$, den Geschwindigkeiten in $x$- und $y$-Richtung und der Starthöhe:

Flugbahngleichung mit physikalischen Parametern:

(9) $y(x)=-{\frac {g}{2v_{0x}^{2}}}\cdot x^{2}+{\frac {v_{0y}}{v_{0x}}}\cdot x+h_{0}$

Mathematische Herleitung der berechneten Kurve

Als Grundlage zur Erstellung der Funktion dienen die gemittelten Excel-Tabellen für die $x$- und $y$-Werte sowie die Geschwindigkeiten in $x$- und $y$-Richtung. Die Werte aus der Excel-Tabelle werden in Geogebra importiert. Für die Anfangsgeschwindigkeiten werden die Werte dem Programm Tracker entnommen, da es rechnerisch nicht möglich war, auf die Werte von Tracker zu kommen.

Welcher Wert von $|{\vec {v_{0}}}|$ wurde so ermittelt?

Um die Formeln (1) und (2) für die Gerschwindigkeitskomponenten $v_{0x},v_{0x}$ nutzen zu können, sodass die Geschwindigkeiten in $x$- und $y$-Richtung berechnet werden kann, muss zunächst der Abschlagswinkel $\alpha$ gefunden werden.

Zur Ermittlung des Winkels erstellen wir in Geogebra ein rechtwinkliges Dreieck zwischen dem zweiten und dritten Messpunkt der gemittelten Aufschlagskurve und erhalten $\alpha =24{,}23^{\circ }$.

Hinweis: Der erste Wert wurde nicht berücksichtigt, da dieser durch Abschlag mit der Hand ungenau ist und somit als Ausreißer angesehen wird.

Mit diesem Winkel können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Die Zahlenwerte werden hier unserem Excel-Dokument entnommen welches nebenan angehängt ist:

(10) $v_{0x}=|{\vec {v_{0}}}|\cos(\alpha )=12{,}23{\text{m/s}}$

(11) $v_{0y}=|{\vec {v_{0}}}|\sin(\alpha )=5{,}50{\text{m/s}}$

Die Werte für $v_{0x}=12{,}23$ und $v_{0y}=5{,}50$ können nun in Formel (9) eingesetzt werden. Daraus ergibt sich nun:

(12) $y(x)=-{\frac {9{,}81}{2\cdot 12{,}23^{2}}}\cdot x^{2}+{\frac {5{,}50}{12{,}23}}\cdot x+2{,}35$

(13) $y(x)=-0{,}033\cdot x^{2}+0{,}45\cdot x+2{,}35$

Wir erhalten folgende Parabel im Vergleich mit unseren Datenpunkten:

Abbildung 3: Berechnete Parabel mit Physikalischen Parametern (ohne Luftwiderstand) (grün) im Vergleich mit unseren gemittelten Messpunkten)

Vergleich der Modelle

Die berechnete Parabel (grün) im Vergleich mit der tatsächlichen Flugkurve (grau) und der Kurve die mit der Drei-Punkte Methode (rot) berechnet wurde, sehen nun wie folgt aus:

Abbildung 4: Vergleich der Drei-Punkte-Parabel (rot) mit der Parabel mit physikalisch berechneten Parametern (grün) und mit unseren gemittelten Messpunkten

Feststellung: Wir sehen dass diese berechnete Parabel nicht exakt der Flugkurve des Balls entspricht. Bis zu $x=9$ entspricht die Parabel fast exakt der tatsächlichen Flugkurve des Balles, aber danach driftet die tatsächliche Flugkurve stark nach unten ab.

Es ist davon auszugehen, dass durch die nicht Berücksichtigung verschiedener Parameter, wie beispielsweise dem Luftwiderstand, die Flugkurve mit dieser Methode nicht exakt angenähert werden kann.

Im Folgenden wird daher ein dritter Ansatz verfolgt.

Modellierungszyklus 2 (Uni-Niveau)

Ansatz: Quadratische Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate

Grundidee der Regression

Durch eine Regression versucht man eine mathematische Funktion zu finden, die möglichst gut durch die Punkte im Koordinatensystem verläuft, den systematischen Zusammenhang zwischen x und y beschreibt und Vorhersagen für neue x-Werte ermöglicht. Bei der quadratischen Regression suchen wir eine Parabel:

(1) $y=ax^{2}+bx+c$

Eine quadratische Funktion benötigt man, wenn die Daten eine gekrümmte Struktur zeigen, ein Maximum oder Minimum existiert oder physikalische Gesetze auf eine Parabel hindeuten, was bei dem Volleyballaufschlag der Fall ist.

Gegeben: $n$ Datenpunkte $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$

Gesucht: Eine Funktion $y(x)=ax^{2}+bx+c$

Für jeden Datenpunkt können wir den tatsächlich gemessenen Wert $y_{i}$ und den berechneten Wert (2) ${\hat {y}}_{i}=ax_{i}^{2}+bx_{i}+c$ bestimmen.

Die Differenz (3) $e_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}$ wird als Residuum oder Fehler bezeichnet.

Methode der kleinsten Quadrate

Ziel ist es eine Parabel zu finden, bei der die Fehler zu den tatsächlichen Werten möglichst klein sind. Das Problem dabei ist, dass man nicht einfach die Summe aller Fehler nehmen kann, da sich sonst positive und negative Fehler gegenseitig aufheben würden [vgl. 7, 8].

$\sum e_{i}$ könnte 0 sein, obwohl große Abweichungen existieren

Um das zu vermeiden, werden die Fehler quadriert. Auf diese Weise werden negative Fehler positiv und große Fehler stärker gewichtet als kleine.

Folgende Funktion soll minimiert werden:

(4) $S(a,b,c)=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}$

Einsetzen von Gleichung (2) ergibt:

(5) $S(a,b,c)=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)^{2}$

Die Funktion $S$ hängt von den drei Parametern $a,b,c$ ab. Man muss diejenigen Werte für $a,b,c$ finden, bei denen $S$ minimal ist.

Eine Funktion hat ein Extremum, wenn ihre Ableitung Null ist. Bei Funktionen mit mehreren Variablen gilt: Die Funktion hat ein Extremum, wenn alle partiellen Ableitungen gleichzeitig Null sind. Es muss also folgendes berechnet werden:

(6) ${\frac {\partial S(a,b,c)}{\partial a}}=0,\quad {\frac {\partial S(a,b,c)}{\partial b}}=0,\quad {\frac {\partial S(a,b,c)}{\partial c}}=0$

Im folgenden wird ${\partial S(a,b,c)}$ nur als ${\partial S}$ bezeichnet.

Partielle Ableitungen

Ausführliche Berechnung der partiellen Ableitungen (klicken zum Aufklappen)

Ableitung nach a:

Die Funktion S wird partiell nach $a$ abgeleitet:

${\frac {\partial S}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{n}2(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)\cdot (-x_{i}^{2})=-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)$

Die Ableitung wird gleich null gesetzt:

$-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)=0$

Teilen durch -2 ergibt:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)=0$

Ausmultiplizieren ergibt:

$\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}y_{i}-ax_{i}^{4}-bx_{i}^{3}-cx_{i}^{2})=0$

Die Summe kann aufgeteilt werden:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}y_{i}-a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-b\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}-c\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=0$

Umstellen ergibt:

$a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}+c\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}y_{i}\qquad {\text{(Gleichung 1)}}$

Ableitung nach b:

${\frac {\partial S}{\partial b}}=-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)=0$

Umformen ergibt:

$a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+c\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\qquad {\text{(Gleichung 2)}}$

Ableitung nach c:

${\frac {\partial S}{\partial c}}=-2\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)=0$

Ausmultiplizieren, teilen durch -2 und umformen ergibt:

$a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}+c\sum _{i=1}^{n}1=\sum _{i=1}^{n}y_{i}$

Da $\sum _{i=1}^{n}1=n$, folgt:

$a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}+cn=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\qquad {\text{(Gleichung 3)}}$

Gleichungssystem

Aus den Gleichungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

(7) ${\begin{aligned}a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}+c\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}y_{i}\\a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+c\sum _{i=1}^{n}x_{i}&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\\a\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+b\sum _{i=1}^{n}x_{i}+cn&=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\end{aligned}}$

Zur Vereinfachung des Gleichungssystems werden folgende Abkürzungen verwendet:

$S_{x}=\sum x_{i},\quad S_{x^{2}}=\sum x_{i}^{2},\quad S_{x^{3}}=\sum x_{i}^{3},\quad S_{x^{4}}=\sum x_{i}^{4}$

$S_{y}=\sum y_{i},\quad S_{xy}=\sum x_{i}y_{i},\quad S_{x^{2}y}=\sum x_{i}^{2}y_{i}$

Damit folgt für das Gleichungssystem:

(8) ${\begin{aligned}a\cdot S_{x^{4}}+b\cdot S_{x^{3}}+c\cdot S_{x^{2}}&=S_{x^{2}y}(I)\\a\cdot S_{x^{3}}+b\cdot S_{x^{2}}+c\cdot S_{x}&=S_{xy}(II)\\a\cdot S_{x^{2}}+b\cdot S_{x}+c\cdot n&=S_{y}(III)\end{aligned}}$

In Matrixform ergibt sich:

(9) ${\begin{pmatrix}S_{x^{4}}&S_{x^{3}}&S_{x^{2}}\\S_{x^{3}}&S_{x^{2}}&S_{x}\\S_{x^{2}}&S_{x}&n\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{x^{2}y}\\S_{xy}\\S_{y}\end{pmatrix}}$

Oder einfacher: $\mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {b}}$

wobei $\mathbf {A}$ die Koeffizientenmatrix, ${\vec {x}}$ der Vektor der Unbekannten und ${\vec {b}}$ der Ergebnisvektor ist.

Lösung durch Mittelwertbildung

Es gibt mehrere Wege dieses Gleichungssystem zu lösen. Zum einen könnte man den langen Weg einer Gauß Elimination gehen um auf eine Lösung zu kommen, zum anderen könnte man folgenden Weg einschlagen:

Die Gauss Elimination ist für eine Matrix 3x3 nicht allzu lang. 

Desweiteren müssen Sie die Formeln  für $a,b,c$ nicht unbedingt generell herleiten (das wurde bereits), sondern das Prinip verstehen und hier vereinfacht vorgehen,  wobei Sie vorerst die Koeffizientenmatrix numerisch bestimmen  (also die $S_{x},...$ usw, oder die Mittelwerte) zahlenmäßig bestimmen und beispielweise in Octave das lineare System eingeben und lösen, um  $a,b,c$ zu bestimmen.

Man kann die einzelnen Komponenten des Systems durch die Anzahl der Messwerte $(n)$ teilen um mit den Mittelwerten rechnen zu können:

• ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}={\frac {1}{n}}S_{x}$ (Mittelwert der $x$-Werte)
• ${\bar {y}}={\frac {1}{n}}\sum y_{i}={\frac {1}{n}}S_{y}$ (Mittelwert der $y$-Werte)
• ${\overline {x^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}^{2}={\frac {1}{n}}S_{x^{2}}$ (Mittelwert von $x^{2}$)
• ${\overline {x^{3}}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}^{3}={\frac {1}{n}}S_{x^{3}}$ (Mittelwert von $x^{3}$)
• ${\overline {x^{4}}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}^{4}={\frac {1}{n}}S_{x^{4}}$ (Mittelwert von $x^{4}$)
• ${\overline {xy}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}y_{i}={\frac {1}{n}}S_{xy}$ (Mittelwert von $xy$)
• ${\overline {x^{2}y}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}^{2}y_{i}={\frac {1}{n}}S_{x^{2}y}$ (Mittelwert von $x^{2}y$)

Dadurch verändern sich die Gleichungen des Gleichungssystems wie folgt:

(10) ${\begin{aligned}a\cdot {\overline {x^{4}}}+b\cdot {\overline {x^{3}}}+c\cdot {\overline {x^{2}}}&={\overline {x^{2}y}}(I)\\a\cdot {\overline {x^{3}}}+b\cdot {\overline {x^{2}}}+c\cdot {\overline {x}}&={\overline {xy}}(II)\\a\cdot {\overline {x^{2}}}+b\cdot {\overline {x}}+c&={\overline {y}}(III)\end{aligned}}$

Aus Gleichung $(III)$ kann man sofort den Koeffizienten $c$ in Abhängigkeit von den anderen beiden Koeffizienten $a$ und $b$ angeben:

(11) $c={\overline {y}}-a\cdot {\overline {x^{2}}}-b\cdot {\overline {x}}$

Ausführliche Herleitung der Lösungsformeln (klicken zum Aufklappen)

Diesen Ausdruck für $c$ setzt man nun in die zweite Gleichung ein:

$a\cdot {\overline {x^{3}}}+b\cdot {\overline {x^{2}}}+{\overline {x}}\cdot ({\overline {y}}-a\cdot {\overline {x^{2}}}-b\cdot {\overline {x}})={\overline {xy}}$

Die Terme werden zusammengefasst und nach den Unbekannten $a$ und $b$ geordnet:

$a({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})+b({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})={\overline {xy}}-{\overline {y}}\cdot {\overline {x}}$

Als Nächstes wird der Ausdruck für $c$ in die erste Gleichung eingesetzt:

$a\cdot {\overline {x^{4}}}+b\cdot {\overline {x^{3}}}+({\overline {y}}-a\cdot {\overline {x^{2}}}-b\cdot {\overline {x}})\cdot {\overline {x^{2}}}={\overline {x^{2}y}}$

Auch hier werden die Terme zusammengefasst:

$a({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})+b({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})={\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}{\overline {y}}$

Damit erhält man ein Gleichungssystem mit den Unbekannten $a$ und $b$:

${\begin{aligned}a({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})+b({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})&={\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}{\overline {y}}\\a({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})+b({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})&={\overline {xy}}-{\overline {x}}{\overline {y}}\end{aligned}}$

Die zweite Gleichung wird nach $b$ aufgelöst und man erhält:

$b={\frac {{\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}-a({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})}{{\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}}$

Dieser Ausdruck wird nun in die erste Gleichung eingesetzt:

$a({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})+({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})\cdot {\frac {{\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}-a({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})}{{\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}}={\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {y}}$

Beide Seiten werden mit $({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})$ multipliziert, um den Nenner zu beseitigen (Unter der Voraussetzung, dass diese Differenz ungleich 0 ist, was aber gegeben ist):

$a({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})+({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})[{\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}-a({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})]=({\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {y}})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})$

Nun werden alle Terme mit $a$ zusammengefasst:

$a[({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})-({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})^{2}]=({\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {y}})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})-({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})({\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}})$

Durch Division erhält man schließlich die explizite Berechnungsformel für $a$:

$a={\frac {({\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {y}})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})-({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})({\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}})}{({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})-({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})^{2}}}$

Zusammenfassung der Lösungsformeln

Nun wurden die Koeffizienten der Regressionsparabelgleichung durch die verschiedenen Mittelwerte unserer Messwerte dargestellt. Hier nochmal die Gleichungen der drei Koeffizienten untereinander:

(12) $a={\frac {({\overline {x^{2}y}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {y}})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})-({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})({\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}})}{({\overline {x^{4}}}-{\overline {x^{2}}}^{2})({\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2})-({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})^{2}}}$

(13) $b={\frac {{\overline {xy}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}-a({\overline {x^{3}}}-{\overline {x^{2}}}\cdot {\overline {x}})}{{\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}}$

(14) $c={\overline {y}}-a\cdot {\overline {x^{2}}}-b\cdot {\overline {x}}$

Numerische Berechnung

Die Berechnung der einzelnen Koeffizienten wird nun in sieben verwendete Produkte geteilt, in welche die Mittelwerte der Messdaten eingesetzt werden. Die Werte werden auf zwei Nachkommastellen gerundet, um die Berechnung übersichtlicher zu machen:

Berechnete Mittelwerte

Größe	Wert
${\overline {x}}$	8,97
${\overline {x^{2}}}$	101,85
${\overline {x^{3}}}$	1263,98
${\overline {x^{4}}}$	16434,66
${\overline {y}}$	2,59
${\overline {xy}}$	19,01
${\overline {x^{2}y}}$	178,73

Setzt man diese Werte nun für $a$ ein erhält man:

(15) $a={\frac {(178{,}73-101{,}85\cdot 2{,}59)(101{,}85-8{,}97^{2})-(1263{,}98-101{,}85\cdot 8{,}97)(19{,}01-8{,}97\cdot 2{,}59)}{(16434{,}66-101{,}85^{2})(101{,}85-8{,}97^{2})-(1263{,}98-101{,}58\cdot 8{,}97)^{2}}}$

Vereinfachen der Zwischenterme ergibt:

(16) $a={\frac {(-85{,}06)\cdot 21{,}39-350{,}39\cdot (-4{,}22)}{6061{,}24\cdot 21{,}39-350{,}39^{2}}}$

Die Berechnung von diesem Bruch ergibt den numerischen Wert von $a$:

(17) $a=-0{,}0499$

Setzt man nun den Wert für $a$ in die Gleichung von $b$ ein erhält man:

(18) $b={\frac {19{,}01-8{,}97\cdot 2{,}59-(-0{,}0499)\left(1263{,}98-101{,}85\cdot 8{,}97\right)}{101{,}85-8{,}97^{2}}}$

Berechnet man diesen Bruch erhält man den numerischen Wert für $b$:

(19) $b=0{,}621$

Jetzt fehlt nur noch der Koeffizient $c$, um die Gleichung der Regressionsparabel zu vervollständigen.

Man setzt $a$ und $b$ in die Gleichung von $c$ ein:

(20) $c=2{,}59-(-0{,}049)\cdot 101{,}85-0{,}621\cdot 8{,}97$

Damit ergibt sich $c=2{,}095$.

Endergebnis der Regression

Als Endergebnis für die Einzelnen Koeffizienten erhält man nun:

Finale Regressionsfunktion:

(21) ${{\hat {y}}(x)=-0{,}0499\cdot x^{2}+0{,}621\cdot x+2{,}095}$

Koeffizienten:

$a=-0{,}0499$

$b=0{,}621$

$c=2{,}095$

Setzt man diese Funktion nun in Geogebra ein und vergleicht sie mit den Datenpunkten sieht man, dass die Regressionsfunktion sich sehr gut an die Datenpunkte annähert.

Abbildung 5: Berechnete Regressionsparabel (blau) im Vergleich mit unseren gemittelten Messpunkten

Erweiterte Modellierung mit Luftwiderstand

Für fortgeschrittene Betrachtung: Einbeziehung des Luftwiderstands

Grundidee

Die Grundidee besteht darin, dass eine Beschleunigung ${\vec {a}}$ existiert, sobald Kräfte wirken.

Mit dem zweiten newtonschen Gesetz gilt daher:

${\text{(1)}}\quad {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$

Die auf den Gegenstand wirkenden Kräfte ${\vec {F}}$ lassen sich aufteilen in:

1. Die Gewichtskraft $F_{G}$ (abhängig von der Gravitation)
2. Den Luftwiderstand $F_{L}$ (wirkt entgegen der Bewegungsrichtung)

Für die Gewichtskraft gilt:

${\text{(2)}}\quad F_{G}=m\cdot g$

Der Luftwiderstand wird definiert durch:

${\text{(3)}}\quad F_{L}={\frac {1}{2}}\rho \cdot c_{w}\cdot A\cdot |{\vec {v}}|^{2}$

Korrigiert: $|{\vec {v}}|$ ($v$ ist hier Vector und $v^{2}$ macht somit Sinn nur als Skalarprodukt.

Hierbei ist $\rho$ die Luftdichte, $A$ die Angriffsfläche und $c_{w}$ der Luftwiderstandskoeffizient. Diese drei Werte können zu einer Konstante $K$ zusammengefasst werden.

Für die Gesamtgeschwindigkeit gilt:

${\text{(4)}}\quad |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$

Somit ergibt sich für die Gleichung des Luftwiderstands:

${\text{(5)}}\quad F_{L}=K\cdot |{\vec {v}}|^{2}=K\cdot (v_{x}^{2}+v_{y}^{2})$

Zerlegung in Komponenten

Die Bewegung kann in x- und y-Richtung zerlegt werden. Mit dem Winkel $\alpha$ zwischen Geschwindigkeitsvektor und x-Achse gilt:

${\text{(6)}}\quad \cos(\alpha )={\frac {v_{x}}{|{\vec {v}}|}}$

${\text{(7)}}\quad \sin(\alpha )={\frac {v_{y}}{|{\vec {v}}|}}$

Bewegungsgleichungen

Bewegung in x-Richtung

Für die Bewegungsgleichung in x-Richtung ergibt sich:

${\text{(8)}}\quad m\cdot (v_{x})'=-F_{L}\cdot \cos(\alpha )$

Durch Einsetzen von Gleichung (5) und (6) erhält man:

${\text{(9)}}\quad m\cdot (v_{x})'=-K\cdot |{\vec {v}}|^{2}\cdot {\frac {v_{x}}{|{\vec {v}}|}}$

Multipliziert man $|{\vec {v}}|^{2}$ mit dem Bruch, erhalten wir:

${\text{(10)}}\quad m\cdot (v_{x})'=-K\cdot |{\vec {v}}|\cdot v_{x}$

Division durch $m$ ergibt:

${\text{(11)}}\quad (v_{x})'=-{\frac {K\cdot |{\vec {v}}|\cdot v_{x}}{m}}$

Da $|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ ist, gilt:

${\text{(12)}}\quad (v_{x})'={\frac {-K\cdot {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\cdot v_{x}}{m}}$

Bewegung in y-Richtung

Für die Bewegungsgleichung in y-Richtung ergibt sich:

${\text{(13)}}\quad m\cdot (v_{y})'=-F_{L}\cdot \sin(\alpha )-F_{G}$

Durch Einsetzen von Gleichung (2), (5) und (7) erhält man:

${\text{(14)}}\quad m\cdot (v_{y})'=-K\cdot |{\vec {v}}|^{2}\cdot {\frac {v_{y}}{|{\vec {v}}|}}-m\cdot g$

Multipliziert man $|{\vec {v}}|^{2}$ mit dem Bruch, erhalten wir:

${\text{(15)}}\quad m\cdot (v_{y})'=-K\cdot |{\vec {v}}|\cdot v_{y}-m\cdot g$

Division durch $m$ ergibt:

${\text{(16)}}\quad (v_{y})'=-{\frac {K\cdot |{\vec {v}}|\cdot v_{y}-m\cdot g}{m}}$

Da $|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ ist, gilt:

${\text{(17)}}\quad (v_{y})'={\frac {-K\cdot {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\cdot v_{y}-m\cdot g}{m}}$

Die Änderung der horizontalen (12) wie auch der vertikalen Geschwindigkeit (17) ist von der Schnelligkeit des Balls abhängig, da sowohl $v_{x}$, als auch $v_{y}$ von der Zeit abhängen. Aus diesem Grund muss auf eine Numerische Lösung zurückgegriffen werden, bei der die Zeit in kleine Zeitabschnitte $t=0,01s$ eingeteilt wird. Zwischen zwei Zeitabschnitten ändert sich dadurch die Geschwindigkeit nur minimal. Daraus resultiert, dass sich die Position des Balls auf den betrachteten Zeitabschnitten auch nur minimal verändert.

Numerische Lösung

Betrachtet man einen Zeitschritt von $t_{n}$ zu $t_{n+1}$, welcher mit $\Delta t$ bezeichnet wird, so lässt sich die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{n+1}$ bestimmen, indem die Geschwindigkeitsänderung zur Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{n}$ addiert wird.

Welcher ist der mathematische Zusammenhang der Formeln (12) und (17) mit Formeln (18) und (19)?

Geschwindigkeiten

Für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{n+1}$ in x-Richtung gilt:

${\text{(18)}}\quad v_{x}(t_{n+1})={\frac {-K\cdot {\sqrt {v_{x}(t_{n})^{2}+v_{y}(t_{n})^{2}}}\cdot v_{x}(t_{n})\cdot \Delta t}{m}}+v_{x}(t_{n})$

Die Geschwindigkeit in y-Richtung zum Zeitpunkt $t_{n+1}$ berechnet sich wie folgt:

${\text{(19)}}\quad v_{y}(t_{n+1})={\frac {\left(-K\cdot {\sqrt {v_{x}(t_{n})^{2}+v_{y}(t_{n})^{2}}}\cdot v_{y}(t_{n})-m\cdot g\right)\cdot \Delta t}{m}}+v_{y}(t_{n})$

Für die Gesamtgeschwindigkeit ergibt sich:

${\text{(20)}}\quad v(t_{n+1})={\sqrt {v_{x}(t_{n+1})^{2}+v_{y}(t_{n+1})^{2}}}$

Positionen

Um die Flugkurve des Volleyballs zu bestimmen, muss die zurückgelegte Strecke in x- und y-Richtung für jedes Zeitintervall $\Delta t$ berechnet werden.

Für die Geschwindigkeit gilt:

${\text{(21)}}\quad v(t)={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Geschwindiglkeit ist die Veränderung der Strecke in einem Zeitinterval Länge $\Delta t$.

Dabei bezeichnet $\Delta s$ die zurückgelegte Strecke in der Zeitspanne $\Delta t$.

Umstellen der Formel ergibt:

${\text{(22)}}\quad \Delta s=v(t)\cdot \Delta t$

Somit ergeben sich folgende Gleichungen für die zurückgelegten Strecken in x- und y-Richtung nach einem Zeitschritt $\Delta t$ von $t_{n}$ zu $t_{n+1}$:

${\text{(23)}}\quad s_{x}(t_{n+1})=s_{x}(t_{n})+v_{x}(t_{n})\cdot \Delta t$

${\text{(24)}}\quad s_{y}(t_{n+1})=s_{y}(t_{n})+v_{y}(t_{n})\cdot \Delta t$

Rechnung

Gegebene Konstanten

Aus der Tabelle entnehmen wir folgende Werte:

Parameter	Symbol	Wert	Einheit
Anfangsgeschwindigkeit	$v_{0}$	13,41	m/s
Abschlagwinkel	$\alpha$	24,23° = 0,422893	rad
Zeitintervall	$\Delta t$	0,01	s
Masse des Volleyballs	$m$	0,27	kg
Gravitationskonstante	$g$	9,81	m/s²
Anfangshöhe	$h_{0}$	2,35	m
Luftdichte	$\rho$	1,2	kg/m³
Luftwiderstandskoeffizient	$c_{w}$	0,45	—
Angriffsfläche	$A$	0,0357	m²
Anfangsgeschwindigkeit (x)	$v_{x,0}$	12,23	m/s
Anfangsgeschwindigkeit (y)	$v_{y,0}$	5,5	m/s

Die Luftwiderstandskonstante $K$ berechnet sich zu:

$K={\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot c_{w}\cdot A=0{,}5\cdot 1{,}2\cdot 0{,}45\cdot 0{,}0357=0{,}009639$

Detaillierte Beispielrechnung

Folgende  Iterationberechnung ist automatisiert in Exzell implementiert und müssen nicht zahlenmäßig hier demonstriert werden, sonder nur 'algoritmisch': wie man vorgeht.

Schritt 0 → 1

Von $t_{0}=0{,}00{\text{ s}}$ zu $t_{1}=0{,}01{\text{ s}}$

Gegeben:

• $v_{x}(t_{0})=12{,}23{\text{ m/s}}$
• $v_{y}(t_{0})=5{,}5{\text{ m/s}}$
• $s_{x}(t_{0})=0{\text{ m}}$
• $s_{y}(t_{0})=2{,}35{\text{ m}}$

1. Berechnung der aktuellen Gesamtgeschwindigkeit:

$v(t_{0})={\sqrt {v_{x}(t_{0})^{2}+v_{y}(t_{0})^{2}}}={\sqrt {12{,}23^{2}+5{,}5^{2}}}={\sqrt {149{,}5729+30{,}25}}=13{,}409806{\text{ m/s}}$

2. Geschwindigkeit in x-Richtung (vgl. Gleichung 18):

$v_{x}(t_{1})={\frac {-K\cdot v(t_{0})\cdot v_{x}(t_{0})\cdot \Delta t}{m}}+v_{x}(t_{0})$

$v_{x}(t_{1})={\frac {-0{,}009639\cdot 13{,}409806\cdot 12{,}23\cdot 0{,}01}{0{,}27}}+12{,}23$

$v_{x}(t_{1})={\frac {-0{,}01580828}{0{,}27}}+12{,}23=-0{,}058549+12{,}23=12{,}171451{\text{ m/s}}$

3. Geschwindigkeit in y-Richtung (vgl. Gleichung 19):

$v_{y}(t_{1})={\frac {(-K\cdot v(t_{0})\cdot v_{y}(t_{0})-m\cdot g)\cdot \Delta t}{m}}+v_{y}(t_{0})$

$v_{y}(t_{1})={\frac {(-0{,}009639\cdot 13{,}409806\cdot 5{,}5-0{,}27\cdot 9{,}81)\cdot 0{,}01}{0{,}27}}+5{,}5$

$v_{y}(t_{1})={\frac {(-0{,}710914-2{,}6487)\cdot 0{,}01}{0{,}27}}+5{,}5={\frac {-3{,}359614\cdot 0{,}01}{0{,}27}}+5{,}5$

$v_{y}(t_{1})=-0{,}12443+5{,}5=5{,}375570{\text{ m/s}}$

4. Gesamtgeschwindigkeit (vgl. Gleichung 20):

$v(t_{1})={\sqrt {v_{x}(t_{1})^{2}+v_{y}(t_{1})^{2}}}={\sqrt {12{,}171451^{2}+5{,}375570^{2}}}=13{,}305675{\text{ m/s}}$

5. Position in x-Richtung (vgl. Gleichung 23):

$s_{x}(t_{1})=s_{x}(t_{0})+v_{x}(t_{0})\cdot \Delta t=0+12{,}23\cdot 0{,}01=0{,}1223{\text{ m}}$

6. Position in y-Richtung (vgl. Gleichung 24):

$s_{y}(t_{1})=s_{y}(t_{0})+v_{y}(t_{0})\cdot \Delta t=2{,}35+5{,}5\cdot 0{,}01=2{,}405{\text{ m}}$

Schritt 1 → 2

Von $t_{1}=0{,}01{\text{ s}}$ zu $t_{2}=0{,}02{\text{ s}}$

Gegeben:

• $v_{x}(t_{1})=12{,}171451{\text{ m/s}}$
• $v_{y}(t_{1})=5{,}375570{\text{ m/s}}$

1. Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit:

$v(t_{1})={\sqrt {v_{x}(t_{1})^{2}+v_{y}(t_{1})^{2}}}={\sqrt {12{,}171451^{2}+5{,}375570^{2}}}=13{,}305675{\text{ m/s}}$

2. Geschwindigkeit in x-Richtung:

$v_{x}(t_{2})={\frac {-0{,}009639\cdot 13{,}305675\cdot 12{,}171451\cdot 0{,}01}{0{,}27}}+12{,}171451=12{,}113635{\text{ m/s}}$

3. Geschwindigkeit in y-Richtung:

$v_{y}(t_{2})={\frac {(-0{,}009639\cdot 13{,}305675\cdot 5{,}375570-2{,}6487)\cdot 0{,}01}{0{,}27}}+5{,}375570=5{,}251935{\text{ m/s}}$

4. Position in x-Richtung:

$s_{x}(t_{2})=0{,}1223+12{,}171451\cdot 0{,}01=0{,}244015{\text{ m}}$

5. Position in y-Richtung:

$s_{y}(t_{2})=2{,}405+5{,}375570\cdot 0{,}01=2{,}458756{\text{ m}}$

Die Iteration wird fortgesetzt, bis der Ball den Boden berührt ($s_{y}<0$). In der begleitenden Excel-Tabelle sind alle berechneten Werte vollständig dokumentiert.

Ergebnis

Zusammenfassung der Simulationsergebnisse

Größe	Wert
Gesamtflugzeit	$t=1{,}42{\text{ s}}$
Maximale Wurfweite	$s_{x}=13{,}39{\text{ m}}$
Anfangshöhe	$s_{y}(0)=2{,}35{\text{ m}}$

Interpretation:

Die Berechnungen zeigen, dass der Luftwiderstand die Wurfweite im Vergleich zur idealen Wurfparabel (ohne Luftwiderstand) recht stark reduziert. Der Ball erreicht nach etwa 1,42 Sekunden eine horizontale Distanz von 13,39 Metern.

Im Folgenden ist der Aufschlag mit Beachtung des Luftwiderstands im Vergleich mit unseren Messpunkten dargestellt.

Abbildung 6: Berechnete Parabel mit Beachtung des Luftwiderstands im Vergleich zu unseren gemittelten Messpunkten

Es ist deutlich zu erkennen, dass der Luftwiderstand hier einen sehr großen Einfluss hat. Man kann auch erkennen, dass nur die Beachtung des Luftwiderstands bei einem Volleyballaufschlag nicht zur erwarteten Flugkurve führt. Dieses Ergebnis resultiert daraus, dass die Rotation nicht berücksichtigt wurde. Für ein noch genaueres Ergebnis müsste zusätzlich zum Luftwiderstand noch die Rotation des Balles berechnet werden.

Fazit

In unserem Projekt wurde der perfekte Volleyballaufschlag basierend auf verschiedenen Modellierungsansätzen analysiert.

Modellierungsansätze:

• Drei-Punkte-Methode
• Physikalische Parameter ohne Luftwiderstand
• Regressionskurve
• Physikalische Parameter mit Luftwiderstand

Die berechneten Flugkurven wurden jeweils mit unserer aus den gemittelten Messwerten bestimmten Flugkurve verglichen.

Abbildung 7: Berechnete Parabel mit Beachtung des Luftwiderstands im Vergleich zu den anderen berechneten Parabeln

Die Parabel mit physikalisch bestimmten Parametern (ohne Luftwiderstand) hier in grün. Die Parabel aus der Drei-Punkte-Methode hier in rot. Die Regressionsparabel aus der quadratischen Regression hier in lila. Die bestimmte Flugkurve mit Luftwiderstand hier in orange.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Flugkurve unseres Volleyballs am besten durch die Regressionsparabel beschrieben werden kann. Die Kurve schmiegt sich am meisten an die einzelnen Punkte der tatsächlichen Flugbahn das Balls an. Würde man zusätzlich zu dem Luftwiderstand noch die Rotation das Balls berücksichtigen, könnte man die tatsächliche Flugkurve des Volleyballs wahrscheinlich noch genauer darstellen.

Ein qualitativer Maß für die Passung der verschiedene Modelle wäre hier doch ein  Fehlermaß (zahlenmäßig) für den Unterschied der Modellkurven von der Versuchstkurve.
 Ein Experimentieren mit der Größe der Zeitschritte könnte ggf noch weitere Annäherung der Flugkurve mit Luftwiderstand an die realistische Kurve bringen.

Literatur

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[3] Lemke, Wilfried (05.08.2016): The Role of Sport in Achieving the Sustainable Development Goals [Website], abrufbar unter: https://www.un.org/en/chronicle/article/role-sport-achieving-sustainable-development-goals (letzter Zugriff: 01.02.2026)

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[5] de Brabandt, Ina (02.12.2015): Ermitteln der Parabelgleichung aus drei Punkten [Website], abrufbar unter: https://www.mathematik-oberstufe.de/analysis/qf/parabel-aus-3punkten.html (letzter Zugriff: 01.02.2026)

[6] Fendt, Walter (10.04.2003): Der schiefe Wurf [Website], abrufbar unter: https://www.walter-fendt.de/phys/mech/wurf.pdf (letzter Zugriff: 01.02.2026)

[7] Uni Mainz (o.J.): Methode der kleinsten Quadrate, abrufbar unter: https://wwwth.kph.uni-mainz.de/files/2019/01/least_square.pdf (letzter Zugriff: 02.02.2026)

[8] Grellmann, Martin (2022): Die Methode der kleinsten Quadrate für die lineare Regression [Website], abrufbar unter: https://martin-grellmann.de/die-methode-der-kleinsten-quadrate-fuer-die-lineare-regression#htoc-die-methode-der-kleinsten-quadrate (letzter Zugriff: 02.02.2026)