Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester/Thema 2

Thema: "CO2-Reduktion durch optimale Baumpflanzung"

Beschreibung des Modellierungsthemas

In dem Projekt "CO₂-Reduktion durch optimale Baumbepflanzung" wird die optimale Stadtbaumbepflazung Berlins modelliert mit dem Ziel, unter Berücksichtigung von Kosten und Realitätsnähe, eine möglichst hohe CO₂-Aufnahme zu erreichen.

Das Projekt orientiert sich an den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen, insbesondere an SDG 3 (Gesundheit und Wohlergehen), SDG 11 (Nachhaltige Städte und Gemeinden) und SDG 13 (Maßnahmen zum Klimaschutz). Ausgehend von der Auswahl geeigneter Baumarten, die sowohl an die klimatischen Bedingungen Berlins angepasst sind, als auch eine hohe CO₂-Speicherfähigkeit besitzen, werden unterschiedliche Modellierungszyklen durchgeführt. Diese reichen von vereinfachten Annahmen auf dem Niveau der Sekundarstufe 1 bis hin zu komplexeren linearen Optimierungsmodellen auf universitärem Niveau. Dabei werden reale Datengrundlagen wie das Berliner Baumkataster und der Flächennutzungsplan genutzt, um möglichst realitätsnahe Ergebnisse zu erzielen. Im Verlauf der Modellierung werden neben der maximal möglichen Anzahl neu zu pflanzender Bäume auch die dabei entstehenden Kosten sowie die langfristige CO₂-Aufnahme im Zeitraum von 54 Jahren, in dem die Bäume zwischen 8 und 62 Jahre alt sind, betrachtet. Aufbauend auf diesen Ergebnissen werden Optimierungsprobleme formuliert, die sowohl ökologische Zielgrößen (CO₂-Bindung ) als auch ökonomische Zielgrößen (Kostenminimierung) berücksichtigt. Anschließend wird das Modell durch zusätzliche Nebenbedingungen erweitert, um Aspekte wie Biodiversität und Flächenbedarf einzubeziehen und so eine möglichst realistische Handlungsempfehlung für eine nachhaltige Stadtbaumbepflanzung zu entwickeln. Abschließend wird ein Ausblick über die möglichen zukünftigen Entwicklungen formuliert.

Gruppenteilnehmer

1. Selina Tekbas (SL)
2. Alia Susann Weindel (SL)
3. Snezhana Slesarenko (SL)

Zielsetzung des Modellierungsthemas

Ziel des Projekts ist es, mithilfe linearer Optimierung eine nachhaltige Stadtbaumbepflanzung in Berlin zu gestalten, um eine möglichst hohe CO₂-Bindung bei möglichst geringen Kosten zu erreichen. Dabei sollen ökologische, ökonomische und räumliche Aspekte miteinander verknüpft werden, um möglichst realitätsnahe Ergebnisse zu erzielen.

Zu Beginn wird ein vereinfachtes Modell entwickelt, welches eine erste Abschätzung der maximal möglichen Anzahl neu zu pflanzender Bäume erlaubt. Es soll ein grundlegendes Verständnis der zugrunde liegenden Zusammenhänge ermöglichen. Im nächsten Schritt soll das Modell durch Einbeziehung realer Daten, um den bestehenden Baumbestand verfeinert werden. Aufbauend auf diesen Ergebnissen soll mithilfe der linearen Optimierung die Zusammensetzung der Baumarten, Eiche und Buche, so bestimmt werden, dass eine möglichst hohe CO₂-Aufnahme erreicht wird, während die entstehenden Kosten minimiert werden. Währenddessen werden die Grenzen rein mathematischer Optima aufgezeigt. Daher werden im nächsten Schritt zusätzliche Nebenbedingungen wie z.B. Mindestanteile einzelner Baumarten, definiert. Zudem wird die Optimierung um eine weitere Baumart, die Lärche, ergänzt. Dadurch soll verdeutlicht werden, wie die Berücksichtigung von Biodiversität und realistischeren Rahmenbedingungen die Ergebnisse beeinflussen. Insgesamt zeigt das Projekt auf, wie mithilfe von einfachen bis hin zu komplexen Modellen, die unterschiedlichen Faktoren, die bei einer Stadtbaumbepflanzung wichtig sind, berücksichtigt werden können.

Mögliche Fragen und Diskussionsansätze:

• Können zusätzliche Stadtbäume in Berlin zu einer bemerkbaren CO₂-Reduktion beitragen?
• Welche Rolle spielen dabei Flächenverfügbarkeit, Kosten und Biodiversität?
• Wie verändern zusätzliche Nebenbedingungen das Optimierungsergebnis?
• Wie realitätsnahe sind mathematisch errechnete Optima?

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen [1]

Abbildung 1: Nachhaltigkeitsziele

• SDG 3 (Good Health and Well-Being) : Bessere Luftqualität, weniger Belastung durch bessere Atmung
• SDG 11 (Sustainable Cities and Communities): Leben in einer Großstadt nachhaltig gestalten
• SDG 13 (Climate Action) : Hohe CO₂-Belastung der Städte wird ausgeglichen

Datenerhebung

Ermittlung des Baumbestands und -verteilung

• Zur Ermittlung des Baumbestands wurde der Baumkataster verwendet.
• Zur Ermittlung der Flächenverteilung wurde der Flächennutzungsplan Berlins verwendet.

Ermittlung passender Baumfamilien

• Eigenschaften, um in typisch deutschen Städten ideal wachsen zu können

Robust, trockenkonform, hitzebeständig, flächensparend und schädlingsfest

• Eigenschaften, um CO₂ optimal aufnehmen zu können

Groß / expansiv und langlebig

• Zutreffende Baumfamilien

Quercus (Eiche) Fagus (Buche) Larix (Lärche)

Ermittlung der Lebenszeit-CO₂-Bilanz

Mithilfe eines Rechners wurden die Daten für das Gespeicherte CO₂ über die Lebenszeit der Baumfamilien erhoben

Abbildung 2: Gespeichertes CO2 Quercus

Abbildung 3: Gespeichertes CO2 Fagus

Abbildung 4: Gespeichertes CO2 Larix

Ermittlung der Kosten der Baumpflanzung

Mithilfe der Baumschule Lorenz von Ehren schätzen wir die Kosten (in €) folgendermaßen ein:

$Kosten=Transport(800)+Pflanzung(500)+Schutzgitter(200)+Pflege(150)+Kaufkosten(k)$

-Das Einpflanzen (inklusive Pflege) einer $8$ Jahre alte Eiche kostet ungefähr $2.900$ €

-Das Einpflanzen (inklusive Pflege) einer $8$ Jahre alten Buche kostet ungefähr $3.200$ €

-Das Einpflanzen (inklusive Pflege) einer $8$ Jahre alten Lärche kostet ungefähr $3.150$ €

Modellierungszyklus 0 (Level: Sek I)

Dieser Modellierungszyklus dient als Vorüberlegung. Es wird die Situation modelliert, in der die Stadt Berlin mit der maximal möglichen Anzahl an Bäumen bepflanzt wird. Dabei wird die Unterscheidung zwischen Straßenbäumen und Bäumen an sonstigen Grünanlagen getroffen.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus 0 angenommen mit dem Ziel die Modellierung auf dem Niveau der Sekundarstufe I durcharbeiten zu können:

Voraussetzungen allgemein:

• Einpflanzung acht Jahre alter Bäume/Sätzlinge
• An den Straßen werden nur Eichen als Stadtbäume betrachtet, wobei weitere Grünanlagen mit Buchen bepflanzt werden sollen
• Kosten Eiche: $2.900$ €
• Kosten Buche: $3.200$ €

Voraussetzungen Straßenbäume:

• Es wird vorausgesetzt, dass alle Straßen Berlins zur Verfügung stehen. Das Berliner Straßennetz umfasst rund $5.350$ km.
• Man nimmt an, dass der Boden ohne Leitungsumlegungen oder Verarbeitungen genutzt werden kann.

Voraussetzungen sonstige Grünflächen:

• Die Stadt Berlin verfügt über $5.337$ ha an Grün- und Erholungsanlagen und über $1.095$ ha an Friedhöfen.
• Wir gehen schätzungsweise davon aus, dass wir die Grün- und Erholungsanlagen zu $50\%$ und die Friedhöfen zu $25\%$ mit Bäumen bepflanzen können.
• Zwischen den Straßenbäumen gehen wir von einem Abstand von $10$ m aus und bei der Bepflanzung von sonstigen Grünflächen gehen wir von einer kreisförmigen Fläche mit einem Durchmesser von $2$ m, also einem Radius von $1$ m pro Baum aus.

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen

Anzahl der Bäume an Straßenrändern:

${\frac {5.350m\cdot 2}{10m}}=1.070$

Das entspricht insgesamt 1.070 Bäumen

Anzahl der Bäume in sonstigen Grünanlagen:

Fläche pro Baum:

$A=\pi \cdot (1m)^{2}\approx 3,142m^{2}$

Verfügbare Fläche Grün- und Erholungsanlagen:

$5.337ha\cdot 0,5=2.668,5ha=2.668,5\cdot 10.000m^{2}=26.685.000m^{2}$

Verfügbare Fläche Friedhöfe:

$1.095ha\cdot 0,25=273,75ha=2.737.500m^{2}$

Verfügbare Fläche insgesamt:

$26.685.000m^{2}+2.737.500m^{2}=29.422.500m^{2}$

Das entspricht einer Gesamtfläche von 29.422.500 Quadratmetern

Anzahl der Bäume:

${\frac {29.422.500m^{2}}{3,142m^{2}}}$ $\approx 9.365.472,63$

Das entspricht insgesamt 9.365.472 Bäumen

Kosten der Baumpflanzung:

$1070\cdot 2.900\,{\text{€}}+9.365.472\cdot 3.200\,{\text{€}}\approx 30.000.000.000\,{\text{€}}$

Die Kosten liegen insgesamt bei 30 Milliarden €

Ergebnisse 0

Im Modellierungszyklus 0 wird ein Ergebnis von insgesamt $9.366.542$ Bäumen erzielt, welches für Kosten von ungefähr $30$ Mrd. € sorgt.

Diskussion

Die hier durchgeführte Modellierung nutzt nur einfache arithmetische Mittel zur Berechnung der Baumanzahl. Das erzielte Ergebnis ist sehr unrealistisch. In diesem Zyklus geht man davon aus, dass keine Bäume in Berlin existieren und auch die Flächenabschätzungen sind nicht genau genug. Um dieses Problem zu umgehen, wird die Idee der Stadtbaumpflanzung in weiteren Zyklen verschärft.

Modellierungszyklus 1 (Level: Sek II)

Im Modellierungszyklus 1 wird der Fokus von einer rein theoretischen Betrachtung auf eine datenbasierte Analyse des tatsächlichen Baumbestandes der Stadt Berlin gelenkt. Ziel ist es hierbei mithilfe realer Daten eine möglichst realitätsnahe Abschätzung der noch verfügbaren Flächen zu erreichen. Es sollen dabei alle bereits in Berlin vorhandenen Bäume berücksichtigt werden und damit die maximal mögliche Anzahl noch zu pflanzender Bäume bestimmt werden.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus I angenommen mit dem Ziel die Modellierung auf dem Niveau der Sekundarstufe II durcharbeiten zu können:

• Voraussetzung 1: Alle bereits erwähnten Voraussetzungen aus Modellierungszyklus 0
• Voraussetzung 2: Zahlen und Fakten (Baumkataster Berlin)

• Voraussetzung 3: Flächenarten (Flächennutzungsplan Berlin)

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen

Ausgehend von dem Baumkataster Berlins werden die genauen Baumkoordinaten verwendet, um mithilfe einer Dichtefunktion den aktuellen Baumbestand Berlins darzustellen und mögliche Baumpflanzungsflächen zu ermitteln. In der hier erstellten Dichtefunktion wird die punktuelle Anzahl an Bäumen gegen die geographischen Koordinaten aufgetragen. Somit kann die Baumdichte abgeschätzt werden

Abbildung 5: Die Baumverteilung in Berlin mit den geographischen Koordinaten

Um die Anzahl der Bäume in verschiedene Bereiche einzuteilen, wird die Dichtefunktion in Rechtecke eingeteilt.

Abbildung 6: Die Baumverteilung in Berlin eingeteilt in Rechtecke

In nächsten Schritt wurde der Flächennutzungsplan der Stadt Berlin in R Studio erstellt. Anschließend wurde dieser händisch in Rechtecke entsprechend den geographischen Koordinaten eingeteilt. Die Farben der Flächenarten wurden entsprechend ihrer Benutzung in den nachfolgenden Exceltabellen verwendet.

${\displaystyle }$

Abbildung 7: Flächennutzungsplan Berlin in R Studio erstellt und in Rechtecke unterteilt

Die Anzahl der Bäume in jedem Rechteck wurde aus der Dichtefunktion mit R Studio abgeleitet.

Danach wurden die Rechtecke mit der entsprechenden Anzahl an Bäumen in einer Exceltabelle festgehalten und sortiert. Dabei wurden die Rechtecke eingeklammert, die sich entweder außerhalb es Flächennutzungsplans befinden oder ausschließlich aus Gewässern und Waldflächen bestehen. Denn die Wälder werden bei der Stadtbaumpflanzung nicht berücksichtigt. Es wurden für alle Flächenarten Spalten festgelegt. Falls eine Flächenart in dem betrachteten Quadrat vorkommt, wurde es mit einer 1 in der entsprechenden Spalte vermerkt.

Abbildung 8: Verteilung der Bäume entsprechend der Nutzungsfläche für die Rechtecke 1-20 (aufsteigend sortiert)

Abbildung 9: Verteilung der Bäume entsprechend der Nutzungsfläche für die Rechtecke 21-41 (aufsteigend sortiert)

Abbildung 10: Verteilung der Bäume entsprechend der Nutzungsfläche für die Rechtecke 42-62 (aufsteigend sortiert)

Abbildung 11: Verteilung der Bäume entsprechend der Nutzungsfläche für die Rechtecke 63-83 (aufsteigend sortiert)

Abbildung 12: Verteilung der Bäume entsprechend der Nutzungsfläche für die Rechtecke 84-104 (aufsteigend sortiert)

Abbildung 13: Verteilung der Bäume entsprechend der Nutzungsfläche für die Rechtecke 105-123 (aufsteigend sortiert)

Mit den restlichen (nicht eingeklammerten) Rechtecken wurde die obere Schranke für die maximale Anzahl an Bäumen, die in Berlin noch gepflanzt werden können bestimmt. Dafür wurden zunächst einige Vorüberlegungen getroffen. Als erstes wurde der Anteil des Rechtecks ermittelt, der tatsächlich für die Bepflanzung nutzbar ist. Hierzu wurde derjenige Anteil des Rechtecks ermittelt, der sich zum einen auf dem Flächennutzungsplan befindet und zum anderen weder von den Wäldern noch von den Gewässern bedeckt ist. Dieser Anteil wurde in einer Spalte der Excel-Datei als der Koeffizient (K) festgehalten. Danach wurde erstmal das Rechteck mit der maximalen Baumbepflanzung betrachtet. Es wurde analysiert, aus welchen Flächenarten dieses besteht. Es setzt sich aus den Wohnbauflächen des Typs 1 und 2 zusammen. Laut den Erläuterung der Darstellung des FNP bildet diese Art der Fläche im Vergleich zu den anderen Flächenarten eher wenig Platz für die Baumpflanzung. Die Anzahl der Bäume in diesem Rechteck beträgt aufgerundet $24.000$ Bäume. Diese Anzahl wurde als Ziel (Z) für alle Rechtecke mit einer ähnlichen Flächennutzung festgelegt. Laut der Erläuterung zur Darstellung des Flächennutzungsplans sind dennoch die Wohnbauflächen des Typs 3 und 4 deutlich besser bepflanzbar und die Wohnbauflächen mit landschaftlicher Prägung noch besser. Dementsprechend wurde für die Rechtecke, die fast ausschließlich aus den Wohnbauflächen des Typs 3 und 4 ein Ziel von $25.000$ Bäumen pro Rechteck gesetzt. Für die Rechtecke in denen die Wohnbauflächen mit landschaftlicher Prägung dominieren liegt dieses Ziel bei $26.000$ Bäumen. Da sich die Rechtecke, die hauptsächlich von Grünflächen bedeckt sind vermutlich am besten bepflanzen lassen, wurde dort ein Ziel von $27.000$ Bäumen gewählt. Im Übrigen orientierte sich die Schätzung des Ziels an Bäumen pro Rechteck daran, welche Flächenarten welchen Anteil in diesem Rechteck bilden. Die möglichen zu pflanzenden Bäume pro Rechteck wurden demnach nach folgender Formel berechnet, wobei N die Anzahl der bereits vorhandenen Bäume pro Rechteck und B die maximale Anzahl an noch zu pflanzenden Bäumen ist:

$B=(Z-N)\cdot K$

Durch die Addition der einzelnen Rechtecke wurde die obere Schranke bestimmt.

Abbildung 14: Bestimmung der maximal noch zu pflanzenden Bäume Teil 1

Abbildung 15: Bestimmung der maximal noch zu pflanzenden Bäume Teil 2

Abbildung 16: Bestimmung der maximal noch zu pflanzenden Bäume Teil 3

Abbildung 17: Bestimmung der maximal noch zu pflanzenden Bäume Teil 4

Ergebnisse I

Unter Berücksichtigung der vorhandenen Baumanzahl, der jeweiligen Flächennutzung sowie realistischer Abschätzungen zur maximal möglichen Baumbepflanzung pro Rechteck konnte eine obere Schranke für die Anzahl zusätzlich pflanzbarer Bäume in Berlin ermittelt werden. Diese beträgt insgesamt $1.033.173$ neu pflanzbare Bäume. Dieses Ergebnis bildet die Grundlage für die weiteren Modellierungszyklen.

Diskussion

Die Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 zeigen, dass die Berücksichtigung realer Daten einen erheblichen Einfluss auf die Aussagekraft der Modellierung hat. Im Vergleich zum stark vereinfachten Modellierungszyklus 0 führt die Einbindung des bestehenden Baumbestands sowie der tatsächlichen Flächennutzung zu deutlich geringeren, aber realistischeren Ergebnissen. Das ermittelte Ergebnis liefert keine exakte Aussage, vor allem da es zu einem großen Teil auf Schätzungen beruht. Es handelt sich um eine obere Schranke, die als Orientierung für weitere Modellierung dient. In den folgenden Modellierungszyklen kann auf dieser Grundlage untersucht werden, wie die verfügbaren Flächen nun optimal genutzt werden können, etwa durch die gezielte Auswahl von Baumarten der die Berücksichtigung ökologischer Nebenbedingungen.

Modellierungszyklus II (Level:Universitätsniveau)

In diesem Modellierungszyklus II wird die optimale Bepflanzung von Eichen und Buchen linear optimiert, sodass maximal viel CO₂ aufgenommen wird und die Kosten dabei möglichst gering gehalten werden.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus II angenommen, mit dem Ziel die Modellierung auf dem Universitätsniveau durcharbeiten zu können:

• Voraussetzung 1: Die errechnete Zahl an neubepflanzbaren Bäumen in Berlin beträgt $1.033.173$ Bäume (siehe Modellierungszyklus 1)

• Voraussetzung 2: Die Bepflanzung einer 8 Jahre alten Eiche kostet $2.900$ €. Die Bepflanzung einer 8 Jahre alten Buche kostet $3.200$ € (siehe Ermittlung der Kosten der Baumbepflanzung)
• Voraussetzung 3: Die CO₂-Aufnahme lässt sich wie folgt Berechnen: $CO_{2}(8+T)-CO_{2}(8)$ für $T=15Jahre$

(siehe Datenerhebung - Ermittlung der Lebenszeit-CO₂-Bilanz)

• Voraussetzung 4: Es können $1.070$ neue Bäume an dem Straßennetz gepflanzt werden (siehe Modellierungszyklus 2). Aufgrund der Breite und CO₂-Bilanz entscheiden wir uns hier ausschließlich für die Einpflanzung von Eichen.

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen.

Die Entscheidungsvariablen:

$x$:= Anzahl der gepflanzten Eichen

$y$:= Anzahl der gepflanzten Buchen

Die Nebenbedingungen:

Zunächst wird die CO₂-Aufnahme der einzelnen Bäumen bis zum Alter von 23 Jahren ermittelt. Dies wird gemacht, indem die CO₂-Aufnahme der Bäume bis zum 8. Lebensjahr von der Gesamtaufnahme bis zum 23. Lebensjahr subtrahiert wird.

Eiche:

$CO_{2}(8)=40kg$; $CO_{2}(23)=180kg$ $\Delta CO_{2}=180kg-40kg=140kg$

Buche:

$CO_{2}(8)=39kg$; $CO_{2}(23)=150kg$ $\Delta CO_{2}=150kg-39kg=111kg$

$x\geq 1.070$

$y\geq 0$

$x+y\leq 1.033.173$

Die Zielfunktionen:

$Max;L=140x+111y$

Maximieren der CO2-Aufnahme

$Min;K=2.900x+3.200y$

Minimieren der Kosten

Alle zuvor gewonnenen Informationen wurden anschließend in GeoGebra eingetragen. Danach wurden die Variablen L und K so angepasst, dass das Ergebnis unmittelbar abgelesen werden kann.

Abbildung 18: Lineare Optimierung der optimalen Baumbepflanzung

Lösung II

Die Lösung erfolgt graphisch. Im Optimum beträgt der Wert von $y$ Null, während der Wert von $x$ $1.033.173$ beträgt.

Ergebnisse II

Ein Optimum wird für $x=1.033.173$ und $y=0$ erreicht

$L=140\cdot 1.033.173+111\cdot 0$

$L=144.644.220$

$K=2.900\cdot 1.033.173+3.200\cdot 0$

$K=2.996.291.700$

Interpretation II

Um maximal viel CO₂ aufnehmen zu können und dabei minimale Kosten zu behalten, dürfen ausschließlich Eichen gepflanzt werden. Dann werden in den 15 Jahren $144.644.220$ kg CO₂ aufgenommen, dafür kommen Kosten in Höhe von $2.996.291.700$ € auf.

Diskussion

In der durchgeführten Modellierung werden die Bepflanzung der Buche und Eiche in dem Zeitraum von 15 Jahre so modelliert, dass maximal viel CO₂ aufgenommen werden kann und dabei die Kosten möglichst gering gehalten werden. Hierbei stellt sich raus, dass die Eiche deutlich effektiver und kostengünstiger ist, weshalb beim linearen Optimieren ein Ergebnis rauskommt, bei welchem nur Eichen gepflanzt werden. Dieses Ergebnis ist mathematisch richtig aber realistisch nicht umsetzbar, ohne eine Monokultur heranzuzüchten. Um die Biodiversität zu fördern wird im weiteren Modellierungsverlauf eine weitere Baumart hinzugefügt und der Zeitraum der Untersuchung verlängert.

Modellierungszyklus III (Level: Universitätsniveau)

Im Modellierungszyklus III wird der Modellierungszyklus II um die Baumart Lärche erweitert und der betrachtete Zeitraum verlängert. Auf dieser Grundlage wird erneut die optimale Bepflanzung mit Eichen, Buchen und Lärchen bestimmt, sodass eine maximale CO₂-Aufnahme bei gleichzeitig möglichst geringen Kosten erreicht wird. Anschließend werden zusätzliche Nebenbedingungen eingeführt, die weiterhin eine hohe CO₂-Bindung und niedrige Kosten gewährleisten sollen, zugleich jedoch die Erhaltung der Biodiversität sicherstellen.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus III angenommen, mit dem Ziel die Modellierung auf dem Universitätsniveau durcharbeiten zu können:

• Voraussetzung 1: Die errechnete Zahl an neubepflanzbaren Bäumen in Berlin beträgt $1.033.173$ Bäume (siehe Modellierungszyklus 1)

• Voraussetzung 2: Die Bepflanzung einer 8 Jahre alten Eiche kostet $2.900$ €. Die Bepflanzung einer 8 Jahre alten Buche kostet $3.200$ €. Die Bepflanzung einer 8 Jahre alten Lärche kostet $3.150$ € (siehe Ermittlung der Kosten der Baumbepflanzung)
• Voraussetzung 3: Eine Eiche wird $10$ m breit, eine Buche wird $2$ m breit und eine Lärche wird $7$ m breit.
• Voraussetzung 4: Die CO₂-Aufnahme lässt sich wie folgt Berechnen: $CO_{2}(8+T)-CO_{2}(8)$ für $T=62$ Jahre (siehe Datenerhebung - Ermittlung der Lebenszeit-CO₂-Bilanz)
• Voraussetzung 5: Es können $1.070$ neue Bäume an dem Straßennetz gepflanzt werden (siehe Modellierungszyklus 2). Aufgrund der Breite und CO₂-Bilanz entscheiden wir uns hier ausschließlich für die Einpflanzung von Eichen.

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen.

Die Entscheidungsvariablen:

$x$:= Anzahl der gepflanzten Eichen

$y$:= Anzahl der gepflanzten Buchen

$z$:= Anzahl der gepflanzten Lärchen

Die Nebenbedingungen:

Zunächst wird die CO₂-Aufnahme der einzelnen Bäumen bis zum Alter von 70 Jahren ermittelt. Dies wird gemacht, indem die CO₂-Aufnahme der Bäume bis zum 8. Lebensjahr von der Gesamtaufnahme bis zum 70. Lebensjahr subtrahiert wird.

Eiche:

$CO_{2}(8)=45,13kg$; $CO_{2}(70)=1.237,33kg$ $\Delta CO_{2}=1.237,33kg-45,13kg=1.192,2kg$

Buche:

$CO_{2}(8)=39,31kg$; $CO_{2}(70)=1.240,84kg$ $\Delta CO_{2}=1.240,84kg-39,31kg=1.201,53kg$

Lärche:

$CO_{2}(8)=60.87kg$; $CO_{2}(70)=2.060,34kg$ $\Delta CO_{2}=2.060,34kg-60.87kg=1.999,47kg$

$x\geq 1.070$

$y\geq 0$

$z\geq 0$

$x+y+z\leq 1.033.173$

Die Zielfunktionen:

$Max;L=1.192,2x+1.201,53y+1.999,47z$

Maximieren der CO2-Aufnahme

$Min;K=2.900x+3.200y+3.150z$

Minimieren der Kosten

Ermittlung der Variablen

Wir berechnen für jede Baumart:

$Effizienz={\frac {CO2-Aufnahme}{Kosten}}$

$Eiche={\frac {1.192,2}{2.900}}=0,411{\frac {kg}{Euro}}$

$Buche={\frac {1.201,53}{3.200}}=0,376{\frac {kg}{Euro}}$

$Laerche={\frac {1.999,47}{3.150}}=0,635{\frac {kg}{Euro}}$

Bei der Lärche werden für eine hohe CO₂-Aufnahme die Kosten am geringsten gehalten

Zwischenlösung

Ein Optimum wird für $x=1.070$, $y=0$ und $z=1.032.103$ erreicht

$L=1.192,2\cdot 1.070+1.201,53\cdot 0+1.999,47\cdot 1.032.103$

$L=2.064.934.639$

$K=2.900\cdot 1.070+3.200\cdot 0+3.150\cdot 1.032.103$

$K=3.254.227.450$

Abbildung 19: Optimum der Kosten und CO2 Funktionen

In der Funktion wurden die beiden relevanten Baumarten gleichzeitig gegen die Kosten (in €) und der CO₂-Aufnahme (in kg) aufgetragen. Dabei stellen der violette und er blaue Punkt die beiden optimalen Stellen dar, welche einmal die Kostenfunktion optimieren und ein Mal die CO₂-Funktion optimieren. Da diese Modellierung hier die CO₂-Aufnahme bevorzugt, entscheidet man sich für dessen optimalen Punkt und dessen Baumartenverteilung.

Zwischendiskussion

Aufgrund der Effektivität der Lärche tritt erneut ein, dass das Optimum zum Pflanzen einer Monokultur führt, weshalb in der folgenden Erweiterung neue Nebenbedingungen eingeführt werden.

Erweiterung der Nebenbedingungen 1

Die bisherigen Ergebnisse werden um folgende Nebenbedingungen ergänzt, um Monokulturen zu umgehen und einer realistischeren Biodiversität beizutragen. Es wird bestimmt, dass von jeder Baumart am Ende mindestens $20\%$ vertreten sein muss. Da bereits berechnet wurde, dass die Lärche die effizientere Baumart ist, soll die Lärchenanzahl maximal $60\%$ der Gesamtanzahl betragen.

• $x\geq 0,20\cdot$($x+y+z$)$\Longleftrightarrow x\geq 0,25y+0,25z$
• $y\geq 0,20\cdot$($x+y+z$)$\Longleftrightarrow y\geq 0,25x+0,25z$

• $z\leq 0,60\cdot$($x+y+z$)$\Longleftrightarrow z\leq 1,5x+1,5y$

Ermittlung der Variablen

Da weiterhin gilt das die Lärche das meiste CO₂ aufnimmt für die geringsten Kosten entspricht hier das Optimum bei $x{\hat {=}}20\%,y{\hat {=}}20\%$ und $z{\hat {=}}60\%$

$Eichen:0,2\cdot 1.033.173=206.634,6$

$Buchen:0,2\cdot 1.033.173=206.634,6$

$Laerchen:0,6\cdot 1.033.173=619.903,8$

Zwischenlösungen

Mitthilfe der vorherigen Optimierung kommt man auf folgende Ergebnisse

$x=206.634,6$

$y=206.634,6$

$z=619.903,8$

Abgerundet ergibt das:

$x=206.634$

$y=206.634$

$z=619.903$

Damit lassen sich folgende Ergebnisse ausrechnen

$L=1.192,2\cdot 206.634+1.201,53\cdot 206.634+1.999,47\cdot 619.903$

$L=1.734.103.456$

$K=2.900\cdot 206.634+3.200\cdot 206.634+3.150\cdot 619.903$

$K=3.213.161.850$

Abbildung 20: Zuordnungen der Bäume zu den Kosten und CO2 (angepasste Biodiversität)

In dem Diagramm werden einzelne Kombinationmöglichkeiten der Baumarten unter der Beachtung der Biodiversität aufgezeichnet. Dabei entspricht der rote Punkt hier dem Optimum der Ergebnisse. Die Färbung kennzeichnet die CO₂-Aufnahme und bei Interaktion mit dem Diagramm, können ebenfalls die Kosten zu den einzelnen Zuordnungen abgelesen werden. Die Punkte haben eine klare Tendenz in die Richtung des Optimums gezeigt.

Zwischendiskussion

Der Fakt der Biodiversität wurde in die Rechnung miteinbezogen, weshalb zwar die Ergebnisse einen größeren Realitätsbezug haben. Jedoch wurden diese nicht mithilfe einer Optimierung errechnet, sondern geschätzt, weshalb die Ergebnisse der CO₂-Aufnahme sowie der Kosten weit vom Optimum entfernt sind. In diesem Fall muss eine weitere Nebenbedingung in Betracht gezogen werden.

Erweiterung der Nebenbedingungen 2

Die Nebenbedingungen:

Bisher wurde noch nicht berücksichtigst, dass die verschiedenen Baumarten verschiedene Kronendurchmesser besitzen und dadurch unterschiedlich viel Fläche beanspruchen. Durchmesser der Baumarten:

Eiche: $10m$

Buche: $2m$

Lärche: $7m$

Dadurch ergeben sich folgende Verhältnisse:

$y=5x$

$z={\frac {10}{7}}x$

Die vorherigen Nebenbedingungen gelten weiterhin, wodurch sich eine neue Optimierung ergibt. Dabei wird der Faktor der Biodiversität zunächst nicht beachtet.

Die Zielfunktionen:

$Max;L=1.192,2x+1.201,53y+1.999,47z$

Maximieren der CO2-Aufnahme

$Min;K=2.900x+3.200y+3.150z$

Minimieren der Kosten

Ermittlung der Variablen:

Die Ermittlung erfolgte durch RStudio und generierte folgende Ergebnisse:

$x=139.081$

$y=695.405$

$z=198.687$

Zwischenlösung

Das Optimum befindet sich bei $x=139.081$, $y=695.405$ und $z=198.687$.

Für unsere Funktionen ergeben sich folgende Lösungen:

$L=1.192,2\cdot 139.081+1.201,53\cdot 695.405+1.999,47\cdot 198.687$

$L=1.398.631.126$

$K=2.900\cdot 139.081+3.200\cdot 695.405+3.150\cdot 198.687$

$K=3.254.494.950$

Interpretation III

Wegen der hohen Effektivität der Lärche würde die optimale Baumbepflanzung bei $1.070$ Eichen und $1.032.103$ Lärchen liegen, was zu einer CO₂-Aufnahme von $2.064.934.639$ kg führen würde und $3.254.227.450$€ kosten würde. Um ein realistischeres Ergebnis zu erzielen wurde eine neue Grenze eingeführt, welche zu folgenden Ergebnissen führte: Bei der Bepflanzung von $206.634$ Eichen, $206.634$ Buchen und $619.903$ Lärchen werden $1.734.103.456$ kg CO₂ innerhalb von $62$ Jahren aufgenommen und entstehen Kosten in Höhe von $3.213.161.850$€. Hierbei ist zu erkennen, dass eine Aufrechterhaltung der Biodiversität die maximal mögliche CO₂-Aufnahme senkt. Wird jedoch der Faktor des Durchmessers hinzugerechnet, kommt es zu einer neuen Verteilung. Dabei sollen $139.081$ Eichen, $695.405$ Buchen und $198.687$ Lärchen angepflanzt werden.

Diskussion III

Das Ergebnis nach der Einführung einer Mindest- und Maximalgrenze von Bäumen entspricht nicht mehr einem mathematischen Optimum der CO₂-Aufnahme, was sich in dem Zwischenergebnis widerspiegelt, nimmt dafür aber auf eine realistischere Lösung Rücksicht. Um die Lineare Optimierung noch realistischer darzustellen wurde eine weitere Nebenbedingung des Durchmessers der einzelnen Baumarten eingeführt, weshalb es zu neuen Ergebnissen gekommen ist. Dies wäre in diesem Fall eine Verfeinerung der ersten Optimierung. Deshalb kommt es zu realistischeren Ergebnissen. Dabei ist zu beachten, dass $13,46\%$ Eichen, $67,31\%$ Buchen und $18,65\%$ Lärchen gepflanzt werden sollen, was sich in diesem Fall an die Mindestanzahl von $20\%$ jeder Baumart mathematisch annähert und optimiert. Um diese Optimierung noch weiter zu vertiefen, kann man nun die Anzahl der einzelnen Baumarten an die Mindestgrenze anpassen. Um die Biodiversität und evtl. die Zielfunktionen auszubessern, könnte man weitere Baumarten in die Rechnung miteinbeziehen und ähnliche Vorkehrungen treffen.

Zusammenfassung

In diesem Modell wurde untersucht, welchen Beitrag gezielte Stadtbaumbepflanzung zur Reduktion der CO₂-Belastung in der Stadt Berlin leisten kann. Ziel war es, mithilfe mathematischer Optimierung eine realistische Abschätzung der zusätzlich pflanzbaren Bäume zu entwickeln und diese mit Blick auf C0₂-Aufnahme und Kosten zu optimieren, sodass die Ergebnisse mit Blick auf die Biodiversität möglichst realitätsnah gestaltet werden. Der Modellierungsprozess wurde mithilfe mehrerer Zyklen durchgeführt, die sich in ihrem Anspruchsniveau und ihrer Realitätsnähe unterscheiden. Im Modellierungszyklus 0 wurde unter stark vereinfachten Annahmen eine theoretische Maximalabschätzung vorgenommen, welche verdeutlichte, dass rein flächenbasierte Modelle zu unrealistischen Ergebnissen führen. Aufbauend darauf wurde im Modellierungszyklus 1 der bestehende Baumbestand Berlins mithilfe realer Daten aus dem Baumkataster und dem Flächennutzungsplan entnommen und mithilfe einer Dichtefunktion und einer Rechteckeinteilung des Flächennutzungsplans analysiert. Durch Unterteilungen und Abschätzungen konnte eine obere Schranke von $1.033.173$ zusätzlich pflanzbaren Bäumen ermittelt werden. In den anschließenden Modellierungszyklen wurde diese obere Schranke als Grundlage für lineare Optimierungsmodelle verwendet. Zunächst wurden Eichen und Buchen hinsichtlich ihrer CO₂-Aufnahme und Kosten linear optimiert, wobei sich zeigte, dass eine mathematische Optimierung unter allein diesen Nebenbedingungen zu einer Monokultur führt. Durch die Erweiterung des Modells um die Baumart der Lärche und weiteren Nebenbedingungen wie Mindestanteile einzelner Baumarten und Flächenbedarf konnten realistischere und ökologisch sinnvollere Lösungen entwickelt werden. Das finale Modell zeigt, dass eine ausgewogene Baumartenverteilung zwar die maximale CO₂-Aufnahme reduziert, jedoch deutlich besser mit ökologischen Anforderungen wie der Biodiversität vereinbar ist. Für zukünftige Untersuchungen bieten sich zahlreiche Erweiterungen an.