Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen/Mathematische Grundlagen

Mathematische Grundlagen[Bearbeiten]

Sekundarstufe 1[Bearbeiten]

Zufallsexperiment, Ergebnismenge, Ereignis[Bearbeiten]

Als Zufallsexperiment wird ein realer Vorgang bezeichnet, bei dem die Durchführung unter festgelegten Bedingungen erfolgt, die Menge der möglichen Ergebnisse schon zuvor bekannt ist, das tatsächliche Ergebnis einer Durchführung allerdings nicht. Die Ergebnismenge, meist mit Omega bezeichnet, stellt dabei die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments dar, wobei bei jeder Durchführung dann auch genau eines der Elemente der Ergebnismenge eintritt. Bestimmte Teilmengen von Omega können als Ereignisse bezeichnet werden. Elementarereignisse beinhalten jeweils nur ein Element aus der Ergebnismenge, ganz Omega wird als sicheres Ereignis und die leere Menge wird als unmögliches Ereignis bezeichnet. Man sagt, dass ein Ereignis eintritt, wenn bei der Durchführung des Zufallsexperiments ein Ergebnis eintritt, das Element dieser Teilmenge ist. Bei einem Zufallsexperiment ist dann das Ziel, jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen zu können.

Absolute und relative Häufigkeit

Als absolute Häufigkeit eines Ereignisses A (kurz: $h_{n}(A)$ ) wird die Anzahl der Durchführungen bezeichnet, bei denen das Ereignis A eingetreten ist.
Dagegen stellt die relative Häufigkeit eines Ereignisses A (kurz: $r_{n}(A)$ ) das Verhältnis aus der absoluten Häufigkeit und der Anzahl der Durchführungen $n$ dar. Es gilt also $r_{n}(A)={\frac {h_{n}(A)}{n}}$ .

Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Das Empirische Gesetz der großen Zahlen bezieht sich auf die relative Häufigkeit eine Ereignisses und sagt aus, dass sich die relative Häufigkeit bei wachsender Versuchszahl nεN stabilisiert. Dabei ist zu beachten, dass das Empirische Gesetz der großen Zahlen eine Erfahrungstatsache und nicht mathematisch beweisbar ist.

Sekundarstufe 2[Bearbeiten]

Binomialverteilte Zufallsvariable

Eine binomialverteilte Zufallsvariabel liegt vor, wenn ein Zufallsexperiment unabhängig voneinander und unter identischen Bedingungen n-mal durchgeführt wird. Die Zufallsvariabel Z gibt hier die Anzahl der Versuche an, in denen ein bestimmtes Ereignis, dass die Wahrscheinlichkeit p hat, eintritt. Dabei ist die Bildmenge der Zufallsvariabel abzählbar, da jedes Ereignis in einer natürlichen Zahl angegeben werden kann. Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit sieht wie folgt aus: n ∈ ℕ (Versuchszahl) und p ∈[0, 1] (Wahrscheinlichkeit), falls Z(Ω) = {0,…,n}: P(Z = k) = ${\binom {n}{k}}$ •p^k • (1-p)^n-k für alle k ∈ {0,…,n}

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariabel mit Versuchszahl n ∈ ℕ und Trefferwahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] wird wie folgt ermittelt: E (Z) = n • p
Dabei gibt der Erwartungswert die zu erwartende Trefferanzahl in Abhängigkeit der jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeit und der Versuchszahl an.

Varianz

Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariabel mit Versuchszahl n ∈ ℕ und Trefferwahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] wird wie folgt ermittelt: V (Z) = n • p • (1 - p)
Durch die Varianz wird die zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert angegeben. Eine große Varianz sagt somit aus, dass viele Daten vom Erwartungswert abweichen. Man spricht dann von einer großen Streuung der Daten. Umgekehrt sagt eine kleine Varianz, dass die Werte nur in geringem Maß vom Erwartungswert abweichen. Die Daten haben also eine geringe Streuung.

Standardabweichung

Um die Standardabweichung zu ermitteln, muss lediglich die Wurzel der Varianz berechnet werden. Die Formel lautet also:
σ(Z)= ${\sqrt {V(Z)}}$ ∈[0, ∞)
Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariabel ist ein Streumaß, das Auskunft über die zu erwartenden Abweichungen vom Erwartungswert gibt. Durch das Ziehen der Wurzel wird das Quadrieren aus der Berechnung der Varianz (Standardformel zur Berechnung der Varianz: V(Z) := E( (Z - E(Z))² ) ∈[0, ∞) ) ausgeglichen.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Um praktische Regeln der Normalverteilung nutzen zu können, kann man eine binomialverteilte Zufallsvariabel mit Versuchszahl n ∈ ℕ und Trefferwahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] durch die Normalverteilung approxximieren. Für ein "großes" n gilt dann für alle k, l ∈ {1,…,n-1} mit k ≤ l:
P(X=l) ≈ Φ ${\frac {(l+o.5-np)}{\sqrt {np(1-p)}}}$ - Φ ${\frac {(l-o.5-np)}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Als Faustregel gilt hier, dass dies bei n•p•(1-p) = V(x) ≥ 9 in der Praxis eine ausreichend gute Näherung ist.

σ-Regeln der Normalverteilung

Für μ = Erwartungswert und σ = Standardabweichung gilt:
P (|Z-μ| ≤ ${\frac {1}{2}}$ σ) = 2•Φ( ${\frac {1}{2}}$ )-1 ≈ 0.3829
P (|Z-μ| ≤ σ) = 2•Φ(1) - 1 ≈ 0.6827
P (|Z-μ| ≤ 2•σ) = 2•Φ(2) - 1 ≈ 0.9545
P (|Z-μ| ≤ 3•σ) = 2•Φ(3) - 1 ≈ 0.9973
Durch die σ-Regeln kann man die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse angeben, die in einem σ-Intervall vom Erwartungswert entfernt liegen. Geht man zum Beispiel vom Erwartungswert eine Standardabweichung nach rechts und eine nach links, liegt die Wahrscheinlichkeit für alle Werte in diesem σ-Intervall bei ungefähr 68,27 %.

Uni-Niveau[Bearbeiten]

Funktionen für Flächen in Abhängigkeit der Zeit

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