Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Vektoren

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Definiton

Dreidimensionale Punkte im Raum werden durch $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten in der Form $P(x|y|z)$ angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung

${\vec {OP}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet. In der Physik wird der Verbindungsvektor zwischen Ursprung und Punkt $P$ als Ortsvektor mit ${\vec {r}}$ bezeichnet.

Ein Vektor besitzt

• Eine Länge, die auch als Betrag bezeichnet wird. $|{\vec {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
  
• Eine Richtung, die durch einen Einheitsvektor (einen Vektor der Länge Eins) angegeben wird. ${\hat {e}}_{r}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}$, $|{\hat {e}}_{r}|=1$

Grundlegende Operationen

Vektoren lassen sich komponentenweise addieren und subtrahieren

${\vec {a}}\pm {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\pm {\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}\pm b_{x}\\a_{y}\pm b_{y}\\a_{z}\pm b_{z}\end{pmatrix}}$

Geometrisch entspricht die Addition einer Aneinanderreihung der Vektoren. Die Differenz gibt an, welcher Vektor von der Spitze von ${\vec {b}}$ zu der Spitze von ${\vec {a}}$ führt.

Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl $\lambda \in \mathbb {R}$ multiplizieren

$\lambda \cdot {\vec {p}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \cdot x\\\lambda \cdot y\\\lambda \cdot z\end{pmatrix}}\quad \quad |\lambda \cdot {\vec {p}}|=|\lambda |\cdot |{\vec {p}}|$

Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von $\lambda$.

Skalarprodukt

Der Winkel $\phi$ zwischen zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ lässt sich durch das Skalarpodukt

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \operatorname {cos} (\phi )$

bestimmen. Damit kann auch der Betrag durch

${\vec {p}}\cdot {\vec {p}}=|{\vec {p}}|^{2}\quad \Rightarrow \quad |{\vec {p}}|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}$

ausgedrückt werden.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprdoukt zweier Vektoren ist durch

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-b_{x}a_{y}\end{pmatrix}}$

definiert. Es steht senkrecht auf den beiden Vektoren und sein Betrag gibt die Fläche des aufgespannten Parallelogramms an. Wird der Vektor ${\vec {a}}$ mit dem Daumen und der Vektor ${\vec {b}}$ mit dem Zeigefinger der rechten Hand identifiziert, dann zeigt ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ in Richtung des Mittelfingers. Dies ist die Rechte-Hand-Regel.

Das Kreuzprodukt erfüllt eine Hand voll Regeln.

• Antisymmetrie ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}$
• Linearität ${\vec {a}}\times (\lambda {\vec {b}}+\mu {\vec {c}})=\lambda ({\vec {a}}\times {\vec {b}})+\mu ({\vec {a}}\times {\vec {c}})$
• Jacobi-Identität ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}$
• BAC-CAB-Regel ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilkel Vektor gefunden werden.