Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Verschiebung des Perihels

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Erhaltungsgrößen

Kann die gesamte Kraft

$m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}({\vec {r}})(1+\varepsilon (r))={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {F}}_{\mathrm {S} }({\vec {r}})$

mit einer Störkraft in der Form

${\vec {F}}_{\mathrm {S} }=\varepsilon (r){\vec {F}}({\vec {r}})=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\varepsilon (r){\hat {e}}_{r}$

dargestellt werden, so ist die Kraft nach wie vor parallel zu ${\hat {e}}_{r}$ und der Drehimpuls ${\vec {J}}$ daher erhalten. Ebeneso lässt sich die potentielle Energie als ein Polynom in $r$ ausdrücken und die Energie $E$ ist damit auch erhalten (und somit sind auch $e$ und damit $|{\vec {A}}|$ erhalten).

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor ist hingegen nicht mehr erhalten und seine Änderung kann zu

${\dot {\vec {A}}}=m\alpha \varepsilon (r){\dot {\varphi }}\,{\hat {e}}_{\varphi }$

bestimmt werden.

Verschiebung

Da die Änderung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors ebenfalls in der Bewegungsebene stattfindet kann dessen durch einen Winkel $\psi$ relativ zur $x$-Achse bestimmt werden. Mit den Basisvektoren

${\hat {e}}_{A}={\begin{pmatrix}\cos {(\psi )}\\\sin {(\psi )}\end{pmatrix}}\quad \quad {\hat {e}}_{\psi }={\begin{pmatrix}-\sin {(\psi )}\\\cos {(\psi )}\end{pmatrix}}$

kann die Änderung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors auch durch

${\dot {\vec {A}}}={\dot {A}}\,{\hat {e}}_{A}+A{\dot {\psi }}\,{\hat {e}}_{\psi }$

ausgedrückt werden. Die momentane Änderung des Winkels $\psi$ kann also durch

${\dot {\psi }}={\frac {{\hat {e}}_{\psi }\cdot {\dot {\vec {A}}}}{A}}\approx {\frac {1}{e}}\varepsilon (r){\dot {\varphi }}\cos {(\varphi )}$

bestimmt werden. Bei der Näherung wurde davon ausgegangen, dass die Situation startend bei $\psi =0$ betrachtet wird und die Änderung klein genug ist, dass konstant $\psi =0$ gesetzt werden kann. (Dieser Ausdruck soll nur verwendet werden, um die Änderung über einen Umlauf zu ermitteln)

Innerhalb eines Umlaufs mit Umlaufdauer $T$ kann die endliche Verschiebung des Winkels

$\Delta \psi _{T}={\frac {1}{e}}\int _{0}^{2\pi }\varepsilon (r(\varphi ))\cos(\varphi )\,\,\mathrm {d} \varphi$

gefunden werden. Da der Laplace-Runge-Lenz-Vektor immer auf den Perihel zeigt entspricht diese Winkelverschiebung auch der Verschiebung des Perihels.

Näherung kleiner Exzentrizität

Wegen

$r(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {(\varphi )}}}$

ist der zu integrierende Ausdruck nicht analytisch lösbar. Stattdessen kann $\varepsilon (r)$ in $e\ll 1$ entwickelt werden, um einen analytischen Ausdruck zu erhalten. Auf diese Weise kann

$\Delta \psi _{T}=2\pi \cdot \left(-{\frac {a}{2}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial r}}\right)_{r=a}=360^{\circ }\cdot \left(-{\frac {a}{2}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial r}}\right)_{r=a}$

gefunden werden.

Bestimmen der Perihelverschiebung

Mit der zuvor gefundenen Störfunktion

$\varepsilon (r)=-{\frac {1}{2}}{\frac {m_{P}}{M}}\left({\frac {r}{d}}\right)^{3}$

kann die Perihelverschiebung in einem Umlauf durch

$\Delta \psi _{T}=360^{\circ }\cdot {\frac {3m_{P}}{4M}}\left({\frac {a}{d}}\right)^{3}$

bestimmt werden. Oft wird die Verschiebung in Bogensekunden pro Jahrhundert angegeben. Da der Merkur in einem Jahrhundert etwa 415 Umläufe absolviert muss also

$\Delta \psi _{\mathrm {100\,\,yr} }\approx 415\cdot \Delta \psi _{T}$

ermittelt und $1^{\circ }=3600''$ verwendet werden.

Die konkreten Rechnungen können in der Tabellenkalkulation zur Perihelverschiebung ausgeführt werden. Entgegen der gemessenen Perihelverschiebung von etwa $575''$ pro Jahrhundert ergeben sich nur etwa $390''$ pro Jahrhundert. Dies kann auf unzureichend genaue Näherungen zurückgeführt werden.