Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Zweikörperproblem

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Formulierung des Problems

Zwei Körper der Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ bewegen sich nur unter Einfluss der gegenseitigen Gravitation. Nach dem Newton'schen Gravitationsgesetz können die Bewegungsgleichungen

$m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{2}}}{\frac {{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|}}$

$m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{2}}}{\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}}$

aufgestellt werden. Zur Anschaulichkeit kann Masse $m_{1}$ als Sonne und $m_{2}$ als Planet aufgefasst werden. Der entsprechende Grenzwert im Sonnensystem kann durch $m_{1}\gg m_{2}$ erreicht werden.

Koordinatenwechsel

Um die Bewegungsgleichungen allgemein zu lösen werden die Gesamtmasse

$M=m_{1}+m_{2}$

und die reduzierte Masse

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\quad \Rightarrow \quad \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

sowie der Schwerpunkt

$M{\vec {R}}=m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}$

und der Relativvektor

${\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$

definiert. Im für das Sonnensystem relevanten Grenzfall entspricht $M$ der Masse der Sonne, $\mu$ der Masse des Planeten, ${\vec {R}}$ dem Schwerpunkt der Sonne und ${\vec {r}}$ dem Vektor des Planeten.

Mit den Bewegungsgleichungen können so

$M{\ddot {\vec {R}}}={\vec {0}}$

und

$\mu {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

gefunden werden. Der Schwerpunkt führt damit eine geradlinig gleichförmige Bewegung aus und kann als gelöst betrachtet werden.

Für die Relativbewegung wird die Abkürzung $\alpha =Gm_{1}m_{2}$ und der Einheitsvektor ${\hat {e}}_{r}={\frac {\vec {r}}{r}}$ eingeführt, um die noch zu lösende Bewegungsgleichung auf die Form

$\mu {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}({\vec {r}})=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {e}}_{r}$

zu bringen.

Drehimpulserhaltung

Da die Kraft in der Bewegungsgleichung parallel zu ${\hat {e}}_{r}$ ist, muss der Drehimpuls ${\vec {J}}={\vec {r}}\times (\mu {\dot {\vec {r}}})$ erhalten sein. Damit findet die Bewegung in einer festen Ebene statt und es können Zylinderkoordinaten

${\vec {r}}=r\,{\hat {e}}_{s}\quad \quad {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}\,{\hat {e}}_{s}+r{\dot {\varphi }}\,{\hat {e}}_{\varphi }$

gewählt werden. Der Drehimpuls kann dann durch

${\vec {J}}=J\,{\hat {e}}_{z}=mr^{2}{\dot {\varphi }}\,{\hat {e}}_{z}$

dargestellt werden.

Energieerhaltung

Die einwirkende Kraft ${\vec {F}}({\vec {r}})-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {e}}_{r}$ kann durch das Potential $U(r)=-{\frac {\alpha }{r}}$ über

${\vec {F}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} r}}{\hat {e}}_{r}$

dargestellt werden. Damit ist die Energie

$E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\vec {r}}}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\vec {r}}}^{2}-{\frac {\alpha }{r}}$

eine Erhaltungsgröße. Mit dem Ortsvektor in Zylinderkoordinaten und dem erhaltenen Drehimpuls $J$ lässt sich die Energie auch durch

$E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {J^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {\alpha }{r}}={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)$

darstellen. Damit kann die Relativbewegung durch die Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ im Potential

$U_{\mathrm {eff} }(r)={\frac {J^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {\alpha }{r}}$

beschrieben werden. Hieraus lässt sich über ein "kompliziertes" Integral die Lösung bestimmen. Stattdessen kann aber eine weitere Erhaltungsgörße verwendet werden.

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor

Aus dem Impuls ${\vec {p}}=\mu \,{\vec {\dot {r}}}$ und dem Drehimpuls ${\vec {J}}$ lässt sich die Größe

${\vec {A}}={\vec {p}}\times {\vec {J}}-m\alpha \,{\hat {e}}_{r}$

konstruieren. Es handelt sich um einen konstanten (nachrechnen!) ${\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}$ Vektor, der in der Ebene der Bewegung liegt. Er zeichnet damit eine Achse im Koordinatensystem aus. Er wird als Laplace-Runge-Lenz-Vektor bezeichnet.

Wird der Ortsvektor auf den Laplace-Runge-Lenz-Vektor projiziert, so kann mit dem Winkel $\varphi$ zwischen den Vektoren der Ausdruck

${\vec {A}}\cdot {\vec {r}}=Ar\cos {(\varphi )}=J^{2}-\mu \alpha r\quad \Rightarrow \quad r(\varphi )={\frac {J^{2}/\mu \alpha }{1+{\frac {A}{\mu \alpha }}\cos {(\varphi )}}}$

gefunden werden. Mit

$e={\frac {A}{\mu \alpha }}$

und

$a(1-e^{2})={\frac {J^{2}}{\mu \alpha }}$

entspricht dies aber dem Ausdruck

$r(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {(\varphi )}}}$

einer Ellipse. Da $\varphi =0$ in diesem Ausdruck dem Perihel entspricht, aber gleichzeitig für die Parallelität von ${\vec {r}}$ und ${\vec {A}}$ steht, beschreibt der Laplace-Runge-Lenz-Vektor einen Vektor, der vom Ursprung aus aufgetragen immer zum Perihel zeigt.

Über den Betrag des Laplace-Runge-Lenz-Vektors

$A=2\mu J^{2}E+\mu ^{2}\alpha ^{2}$

lässt sich die Exzentrizität durch die Energie der Relativbewegung

$e={\sqrt {1+{\frac {2EJ^{2}}{\mu \alpha ^{2}}}}}$

bestimmen. (Für gebundene Bewegungen, wie die der Planeten im Sonnensystem, ist die Energie $E$ negativ und damit $0<e<1$) ${\displaystyle }$

Siehe auch

• Weiteres lässt sich in den Wikipedia-Artikeln Newtonsches Zweikörperproblem und Laplace-Runge-Lenz-Vektor einsehen.
• In der GeoGebra-Datei eines Binärsystems ist die Geometrie eines Binärsystems mit dem Massenverhältnis ${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {1}{2}}$ zu sehen.