Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Die Uniformisierungsmethode bei quasilinearen elliptischen Differentialgleichungen und das Dirichletproblem

Voraussetzung D₁:

Das beschränkte Gebiet $\Omega \subset \Omega _{0}:={\Bigl \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:4h_{0}^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 1{\Bigr \}}$ habe eine reguläre $C^{2+\alpha }$-Kurve $\partial \Omega$ als Berandung, deren Krümmung $\kappa (x,y)\geq 2h_{0}$ für alle $(x,y)\in \partial \Omega$ erfüllt. Weiter sei $(0,0)\in \Omega$ richtig.

Voraussetzung D₂:

Auf dem Kreiszylinder

${\mathcal {Z}}:={\Bigl \{}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:(x,y)\in \Omega _{0}{\Bigr \}}$

erklären wir die mittlere Krümmung

$H=H(x,y,z):{\mathcal {Z}}\to \mathbb {R} \in C^{1+\alpha }({\mathcal {Z}})$

mit den folgenden Eigenschaften:

• Es gibt ein $z_{0}\in \mathbb {R}$ und ein $H_{0}\in [-h_{0},+h_{0}]$, so dass die folgende Bedingung erfüllt ist:

(1) $H(x,y,z)=H_{0}$ für alle $(x,y,z)\in {\mathcal {Z}}$ mit $z\leq z_{0}$.

• Es gilt

(2) ${\frac {\partial }{\partial z}}H(x,y,z)\geq 0$ für alle $(x,y,z)\in {\mathcal {Z}}$.

• Wir haben schließlich

(3) $|H(x,y,z)|\leq h_{0}$ für alle $(x,y,z)\in {\mathcal {Z}}$.

Definition 1

Zu stetiger Höhendarstellung $g:\partial \Omega \to \mathbb {R} \in C^{0}(\partial \Omega ,\mathbb {R} )$ betrachten wir eine Lösung $z=\zeta (x,y)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ des Dirichletproblems ${\mathcal {P}}(g)$ der nichtparametrischen Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung

(4) ${\mathcal {M}}\zeta (x,y):=(1+\zeta _{y}^{2})\zeta _{xx}-2\zeta _{x}\zeta _{y}\zeta _{xy}+(1+\zeta _{x}^{2})\zeta _{yy}=2H(x,y,\zeta (x,y))\left(1+|\nabla \zeta (x,y)|^{2}\right)^{\frac {3}{2}}$ in $\Omega$

und

(5) $\zeta (x,y)=g(x,y)$ für alle $(x,y)\in \partial \Omega$.

Wir setzen noch

$\|g\|_{C^{0}(\partial \Omega )}:=\sup _{(x,y)\in \partial \Omega }|g(x,y)|.$

Definition 2

Eine nicht konstante Lösung des Systems

${\begin{matrix}\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=2H({\mathfrak {x}}(u,v)){\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v}(u,v)\ in\ B,\\|{\mathfrak {x}}_{u}(u,v)|^{2}-|{\mathfrak {x}}_{v}(u,v)|^{2}=0={\mathfrak {x}}_{u}\cdot {\mathfrak {x}}_{v}(u,v)\ in\ B\end{matrix}}$

nennen wir eine $H$-Fläche. Diese heißt verzweigungspunktfrei, falls

$E(u,v):=|{\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v}(u,v)|>0$ für alle $(u,v)\in B$

richtig ist.

Satz 1 (Graphenkompaktheit)

Unter den Voraussetzungen D₁ und D₂ seien die Randverteilungen $g_{k}\in C^{0}(\partial \Omega ,\mathbb {R} )$ für $k=1,2,\ldots$ gegeben, zu denen jeweils eine Lösung $\zeta _{k}\in {\mathcal {P}}(g_{k})$ existiere. Ferner konvergiere die Folge $\{g_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ gleichmäßig auf $\partial \Omega$ gegen

$g(x):=\lim _{k\to \infty }g_{k}\in C^{0}(\partial \Omega ,\mathbb {R} ).$

Dann hat auch ${\mathcal {P}}(g)$ eine Lösung $\zeta$.

Beweis

1. Wie in

(6) $f=f(u,v):{\overline {B}}\to {\overline {\Omega }}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$ diffeomorph, $f(0,0)=(0,0)$

und

(7) ${\mathfrak {x}}(u,v):=(f(u,v),\zeta (f(u,v))),\quad (u,v)\in {\overline {B}}$

führen wir mittels der uniformisierenden Abbildungen $f_{k}=f_{k}(u,v):{\overline {B}}\to {\overline {\Omega }}$ in die Graphen $\zeta _{k}$ konforme Parameter ein und erhalten die verzweigungspunktfreien $H$-Flächen

(8) ${\mathfrak {x}}_{k}(u,v):=(f_{k}(u,v),\zeta _{k}(f_{k}(u,v)))=:(f_{k}(u,v),z_{k}(u,v)),\quad (u,v)\in {\overline {B}}.$

Diese Folge hat ein gleichmäßig beschränktes Dirichletintegral. Mit dem Courant-Lebesgue-Lemma in Verbindung mit dem geometrischen Maximumprinzip von E. Heinz zeigt man, dass die Funktionenfolge $\{{\mathfrak {x}}_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ gleichgradig stetig in ${\overline {B}}$ ist. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli können wir eine auf ${\overline {B}}$ gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen, die wegen §2 Satz 2 gegen eine $H$-Fläche

(9) ${\mathfrak {x}}(u,v)=(f(u,v),z(u,v)):{\overline {B}}\to \mathbb {R} ^{3}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$

konvergiert.

2. Da ${\mathfrak {x}}_{k}$ konform parametrisiert ist, können wir die dritte Komponente eliminieren, d. h.

(10) $|\nabla z_{k}(u,v)|^{2}\leq |\nabla f_{k}(u,v)|^{2}$ in $B$ für $k=1,2,\ldots$.

Wir erhalten dann die Folge ebener Abbildungen

(11) ${\begin{matrix}f(u,v):{\overline {B}}\to {\overline {\Omega }}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}}){\text{ diffeomorph}},\\|\Delta f_{k}(u,v)|\leq c_{1}|\nabla f_{k}(u,v)|^{2}{\text{ in }}B,\\f_{k}(0,0)=(0,0),\\D(f_{k})\leq c_{2}\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } k=1,2,\ldots \end{matrix}}$

mit Konstanten $c_{1},c_{2}$ und dem Dirichletintegral $D(f_{k})$ von $f_{k}$. Nach der Verzerrungsabschätzung von E. Heinz aus §5 gibt es für jedes $r\in (0,1)$ ein $\Theta (c_{1},c_{2},r)>0$, so dass in $B_{r}:=\{(u,v)\in B:u^{2}+v^{2}<r^{2}\}$ die Ungleichung

(12) $|\nabla f_{k}(u,v)|\geq \Theta (c_{1},c_{2},r)$ für alle $(u,v)\in B_{r}$

erfüllt ist. Hierbei haben wir im Beweis von Satz 2 aus §5 das Bildgebiet $B$ durch $\Omega$ zu ersetzen. Wegen (12) finden wir für die Grenzabbildung

(13) $|\nabla f(u,v)|>0$ in $B$

und die $H$-Fläche ${\mathfrak {x}}$ aus (9) ist verzweigungspunktfrei.

3. Für die Normale ${\mathfrak {X}}(u,v)$ an ${\mathfrak {x}}(u,v)$ betrachten wir die Hilfsfunktion

(14) $\phi (u,v):={\mathfrak {X}}(u,v)\cdot {\mathfrak {e}}\geq 0,\quad (u,v)\in B$

mit ${\mathfrak {e}}:=(0,0,1)$. Setzen wir

$q(u,v):=2\left(2EH({\mathfrak {x}})^{2}-EK-E(\nabla H({\mathfrak {x}})\cdot {\mathfrak {X}})\right),$

so gilt zusammen mit (2) die Differentialungleichung

(15) $\Delta \phi (u,v)+q(u,v)\phi (u,v)\leq 0$ in $B$.

Multiplikation mit einer negativen Testfunktion liefert nach Integration die schwache Differentialungleichung

(16) $\iint \limits _{B}{\Bigl \{}\nabla \phi (u,v)\cdot \nabla \psi (u,v)-q(u,v)\phi (u,v)\psi (u,v){\Bigr \}}\,dudv\geq 0$ für alle $\psi \in C_{0}^{\infty }(B)$ mit $\psi \geq 0$in $B$.

Da der Beweis der Moserschen Ungleichung auch für Lösungen solcher Differentialungleichungen gültig bleibt, haben wir für die Funktion $\phi$ das Prinzip der eindeutigen Fortsetzung zur Verfügung. Danach muss $\phi$ auf $B$ verschwinden, insofern auch nur eine Nullstelle in $B$ auftritt. Da aber $\phi \equiv 0$ in $B$ offenbar ausgeschlossen ist, folgt

$\phi (u,v)>0$ für alle $(u,v)\in B$

und schließlich

(17) $J_{f}(u,v):={\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}>0$ in $B$.

Somit ist $f:{\overline {B}}\to {\overline {\Omega }}$ ein Diffeomorphismus der Klasse $C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$, wenn wir noch folgendes beachten: Die Randabbildung $f|_{\partial B}$ ist zunächst schwach monoton, kann aber keine Konstanzintervalle aufweisen. Sonst würde mit Hilfe der Konformitätsrelationen und dem Ähnlichkeitsprinzip leicht ${\mathfrak {x}}_{w}(w)\equiv 0$ in $B$ hergeleitet, was natürlich unmöglich ist. Mit

$\zeta (x,y):=z\left(f^{-1}(x,y)\right),\quad (x,y)\in {\overline {\Omega }}$

erhalten wir schließlich eine Lösung von ${\mathcal {P}}(g)$.

q.e.d.

Satz 2 (Graphenregularität)

Sei $\zeta \in {\mathcal {P}}(g)$ eine Lösung zur Randverteilung $g\in C^{2+\alpha }(\partial \Omega ,\mathbb {R} )$ unter den Voraussetzungen D₁ und D₂. Dann folgt $\zeta =\zeta (x,y)\in C^{2+\alpha }({\overline {\Omega }})$.

Beweis

Wir betrachten wieder die $H$-Fläche ${\mathfrak {x}}(u,v)=(f(u,v),\zeta (f(u,v))),(u,v)\in {\overline {B}}$ der Regularitätsklasse $C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$. Dann folgt ${\mathfrak {x}}\in C^{2+\alpha }({\overline {B}})$. Über die Jacobische der uniformisierenden Abbildung wissen wir bereits

$J_{f}(u,v)>0$ in $B$

und wir wollen nun diese Ungleichung auch auf $\partial B$ nachweisen. Sei $w_{0}\in \partial B$ beliebig gewählt und $x_{0}:=x(w_{0}),y_{0}:=y(w_{0})$ erklärt. Dann können wir durch eine Verschiebung des Gebietes $\Omega \subset \Omega _{0}$ erreichen, dass $(x_{0},y_{0})\in \partial \Omega _{0}$ erfüllt ist. Nach dem Hopfschen Randpunktlemma haben wir in Polarkoordinaten $w=re^{i\vartheta }$ für die Hilfsfunktion $\phi$ die Ungleichung

(18) $0<{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\Big |}_{w_{0}}=(xx_{r}+yy_{r}){\Big |}_{w_{0}}.$

Da $\phi (\vartheta ):=\phi (\cos \vartheta ,\sin \vartheta )$ in $\vartheta _{0}$ das Maximum annimmt, folgt

(19) $0={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \phi }{\partial \vartheta }}{\Big |}_{\vartheta _{0}}=(xx_{\vartheta }+yy_{\vartheta }){\Big |}_{w_{0}}.$

In (18) lesen wir ab, dass $w_{0}$ kein Verzweigungspunkt ist,

(20) $|{\mathfrak {x}}_{\vartheta }(w_{0})|^{2}=|{\mathfrak {x}}_{r}(w_{0})|^{2}>0.$

Ferner gibt es ein $K>0$, so dass

$z_{\vartheta }^{2}\leq K(x_{\vartheta }^{2}+y_{\vartheta }^{2}).$

Aus (19) und (20) folgt

(21) $0<(x_{\vartheta }^{2}+y_{\vartheta }^{2}+z_{\vartheta }^{2}){\Big |}_{w_{0}}\leq (1+K)(x_{\vartheta }^{2}+y_{\vartheta }^{2}){\Big |}_{w_{0}}$

bzw.

(22) $(x_{\vartheta }^{2}+y_{\vartheta }^{2}){\Big |}_{w_{0}}>0.$

Benutzen wir nun, dass die Abbildung $f$ positiv orientiert ist, so finden wir wegen (19) ein $\lambda >0$ mit

$x_{\vartheta }(w_{0})=-\lambda y(w_{0}),\quad y_{\vartheta }(w_{0})=\lambda x(w_{0}).$

Es folgt

$(x_{r}y_{\vartheta }-x_{\vartheta }y_{r}){\Big |}_{w_{0}}=\lambda (xx_{r}+yy_{r}){\Big |}_{w_{0}}$

bzw.

$J_{f}(w_{0})>0.$

Also ist $f:{\overline {B}}\to {\overline {\Omega }}$ ein $C^{2+\alpha }({\overline {B}})$-Diffeomorphismus und die Funktion <math\zeta(x, y) := z\left( f^{-1}(x, y) \right), (x, y) \in \overline{\Omega}</math> gehört zur Klasse $C^{2+\alpha }({\overline {\Omega }})$.

Satz 3 (Quasilineares Dirichletproblem)

Unter den Voraussetzungen D₁ und D₂ hat für alle Randwerte $g\in C^{0}(\partial \Omega ,\mathbb {R} )$ das Dirichletproblem ${\mathcal {P}}(g)$ für die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung genau eine Lösung.

Beweis

Wegen der Bedingung (1) können wir einen sphärischen Graphen $\eta (x,y):{\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} \in C^{2+\alpha }({\overline {\Omega }})$ der mittleren Krümmung $H_{0}$ finden, so dass die Differentialgleichung (4) zu den Randwerten

$f(x,y):=\eta (x,y),\quad (x,y)\in \partial \Omega$

erfüllt wird. Zu der Familie von Randwerten

(23) $g_{\lambda }(x,y):=f(x,y)+\lambda (g(x,y)-f(x,y)),\quad (x,y)\in \partial \Omega$

mit $0\leq \lambda \leq 1$ und $g\in C^{2+\alpha }(\partial \Omega ,\mathbb {R} )$ lösen wir das Problem ${\mathcal {P}}(g_{\lambda })$. Für $\lambda =0$ ist das bereits erfolgt und die Lösbarkeit ist eine offene und nach Satz 1 eine abgeschlossene Eigenschaft. Folglich ist ${\mathcal {P}}(g_{\lambda })$ für alle $0\leq \lambda \leq 1$ lösbar und insbesondere ${\mathcal {P}}(g)$ hat eine Lösung $\zeta \in C^{2+\alpha }({\overline {\Omega }})$. Mit Satz 1 sehen wir dann sofort die Lösbarkeit des Dirichletproblems auch für stetige Randwerte ein. Die Eindeutigkeit wurde bereits in §2 von Kapitel VI gezeigt.

q.e.d.