Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Einführung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik

Satz 1 (Stabilitätssatz für konforme Abbildungen)

Die Metrik $ds^{2}$ aus (1), (2), (3) in §7 erfülle in Bezug auf eine Metrik

(1) $dr^{2}=\varrho (x^{1},x^{2})\delta _{jk}\,dx^{j}dx^{k}$ in ${\overline {E}},\quad \varrho (x^{1},x^{2}):{\overline {E}}\to (0,+\infty )\in C^{1+\alpha }({\overline {E}})$

die Ungleichung

(2) $\|g_{jk}-\varrho \delta _{jk}\|_{C^{1+\alpha }({\overline {E}})}<\delta ,\quad j,k=1,2$

mit einem hinreichend kleinen $\delta =\delta (\alpha ,\varrho )>0$. Dann gibt es einen gewichtet konformen Diffeomorphismus ${\mathfrak {x}}(u,v)=(x^{1}(u,v),x^{2}(u,v))\in C^{2+\alpha }({\overline {B}},{\overline {E}})$, welcher (4), (5), (6) aus §7 genügt. Die Metrik $ds^{2}$ erscheint dann in der isothermen Form

(3) $ds^{2}=\sigma (u,v)(du^{2}+dv^{2})$ in ${\overline {B}},\quad \sigma (u,v)>0$ in ${\overline {B}}$.

Satz 2 (Uniformisierungssatz)

Zu jeder Riemannschen Metrik $ds^{2}$ aus (1), (2), (3) in §7 mit den Koeffizienten $g_{jk}\in C^{1+\alpha }({\overline {E}}),j,k=1,2$ gibt es einen Diffeomorphismus ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)=\in C^{2+\alpha }({\overline {B}},{\overline {E}})$ mit (4), (5), (6) aus §7, welcher $ds^{2}$ in die isotherme Form

(4) $ds^{2}=\sigma (u,v)(du^{2}+dv^{2})$ in ${\overline {B}}$

mit dem Oberflächenelement $=\sigma (u,v)\in C^{1+\alpha }({\overline {B}},(0,+\infty ))$ überführt.

Beweis

Wir deformieren die Metrik $ds^{2}$ in die Euklidische Metrik mittels

$ds^{2}(\tau ):=g_{jk}^{(\tau )}(x^{1},x^{2})\,dx^{j}dx^{k}$ in ${\overline {E}},\quad 0\leq \tau \leq 1$ mit $g_{jk}^{(\tau )}(x^{1},x^{2}):=(1-\tau )\delta _{jk}+\tau g_{jk}(x^{1},x^{2}),\quad (x^{1},x^{2})\in {\overline {E}},\quad j,k=1,2$.

Für $\tau =0$ ist die Metrik $ds^{2}(0)=\delta _{jk}\,dx^{j}dx^{k}$ schon isotherm. Mit Hilfe von Satz 1 können wir dann ein maximales $\tau ^{*}\in (0,1]$ finden, so dass alle Metriken $d^{2}(\tau ),0\leq \tau <\tau ^{*}$ in die isotherme Form überführt werden können. Mit Satz 2 aus §7 sehen wir nun ein, dass auch die Metrik $ds^{2}$ in die isotherme Form überführt werden kann mit einem Diffeomorphismus ${\mathfrak {x}}\in C^{2+\alpha }({\overline {B}},{\overline {E}})$ mit (4), (5), (6) aus §7. Wäre nun $\tau ^{*}<1$, so könnten wir nach Satz 1 auch die Metriken $ds^{2}(\tau )$ für $\tau ^{*}\leq \tau <\tau ^{*}+\varepsilon$ mit hinreichend kleinem $\varepsilon >0$ in die isotherme Form bringen. Da aber $\tau ^{*}\in (0,1]$ maximal gewählt war, muss $\tau ^{*}=1$ gelten. Folglich ist

$ds^{2}=ds^{2}(1)=g_{jk}(x^{1},x^{2})\,dx^{j}dx^{k}$

in der angegebenen Weise in die isotherme Form überführbar.

q.e.d.