Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Globale Abschätzungen für konforme Abbildungen bezüglich einer Riemannschen Metrik

Satz 1 (Innere Abschätzung)

Bezüglich der Metrik

(1) $ds^{2}=g_{jk}(x^{1},x^{2})\,dx^{j}dx^{k}=g_{11}(x^{1},x^{2})\,(dx^{1})^{2}+2g_{12}(x^{1},x^{2})\,dx^{1}dx^{2}+g_{22}(x^{1},x^{2})\,(dx^{2})^{2}$

mit den Koeffizienten

(2) $g_{jk}=g_{jk}(x^{1},x^{2})\in C^{1+\alpha }(E,\mathbb {R} )$ für $j,k=1,2$; $g_{12}(x^{1},x^{2})=g_{21}(x^{1},x^{2})$ in der Einheitskreisscheibe $E$

sowie

(3) $\lambda |\xi |^{2}\leq g_{jk}(x^{1},x^{2})\xi ^{j}\xi ^{k}\leq {\frac {1}{\lambda }}|\xi |^{2}$ für alle $\xi =(\xi ^{1},\xi ^{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ und $(x^{1},x^{2})\in E$ mit $\alpha ,\lambda \in (0,1)$

sei ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v):{\overline {B}}\to {\overline {E}}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$ ein gewichtet konformer, positiv orientierter $C^{2}$-Diffeomorphismus mit

(4) $x_{u}^{j}(u,v)g_{jk}(x^{1}(u,v),x^{2}(u,v))x_{v}^{k}(u,v)=0$ in $B$,

(5) $x_{u}^{j}(u,v)g_{jk}(x^{1},x^{2})x_{u}^{k}=x_{v}^{j}(u,v)g_{jk}(x^{1},x^{2})x_{v}^{k}$ in $B$,

(6) ${\mathfrak {x}}(0,0)=(0,0)^{*}.$

Dann gibt es zu jedem $r\in (0,1)$ ein $\Theta =\Theta \left(r,\lambda ,\gamma \left({\frac {r+1}{2}}\right)\right)>0$ und ein $\Lambda =\Lambda \left(r,\lambda ,\alpha ,\gamma \left({\frac {r+1}{2}}\right)\right)<+\infty$, so dass

(7) $J_{\mathfrak {x}}(u,v)={\frac {\partial (x^{1},x^{2})}{\partial (u,v)}}\geq \Theta$ für alle $(u,v)\in B_{r}$

und

(8) $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{2+\alpha }(B_{r},\mathbb {R} ^{2})}\leq \Lambda$

erfüllt ist. Ferner ist diese Abbildungsklasse gleichgradig stetig.

Beweis

Wir folgen den Überlegungen im Beweis von Satz 2 aus §5. Wegen

(9) ${\frac {\lambda ^{2}}{2}}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}\leq {\frac {\partial (x^{1},x^{2})}{\partial (u,v)}}\leq {\frac {1}{2\lambda ^{2}}}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}$

erhalten wir zunächst

(10) $D({\mathfrak {x}})\leq {\frac {2}{\lambda ^{2}}}\iint \limits _{B}{\frac {\partial (x^{1},x^{2})}{\partial (u,v)}}\,dudv={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}.$

Damit können wir wie in Teil 1 des o. a. Beweises den Stetigkeitsmodul in ${\overline {B}}$ abschätzen. Aus (3),

(11) $\Delta x^{l}+\Gamma _{jk}^{l}(x_{u}^{j}x_{u}^{k}+x_{v}^{j}x_{v}^{k})=0$ in $B,\quad l=1,2$

mit den Christoffelsymbolen

(12) $\Gamma _{jk}^{l}:={\frac {1}{2}}(g_{ki,x^{j}}+g_{ij,x^{k}}+g_{jk,x^{i}}),\quad j,k,l=1,2$

und

(13) $\gamma (r):=\max _{j,k=1,2}\|g_{jk}\|_{C^{1+\alpha }({\overline {E_{r}}})}$

leiten wir für beliebiges $r\in (0,1)$ die DUGL

(14) $|\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}$ in $B_{\frac {r+1}{2}}$

mit $a=a\left(\lambda ,\gamma \left({\frac {r+1}{2}}\right)\right)\in (0,+\infty )$ her. Dann schätzen wir $|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|$ in $B_{r+\varepsilon }$ ($\varepsilon >0$ hinreichend klein) nach oben a-priori ab und können zu einer linearen DUGL übergehen. Schließlich erhalten wir wegen (9) wie in Teil 3 und 4 des o. a. Beweises die Konstante $\Theta$ aus (7). Mit potentialtheoretischen Abschätzungen folgt dann noch (8).

q.e.d.

Satz 2 (Globale Abschätzung)

Zu der Metrik $ds^{2}$ aus (1)-(3) mit den Koeffizienten $g_{jk}(x^{1},x^{2})\in C^{1+\alpha }({\overline {E}},\mathbb {R} ),j,k=1,2$ betrachten wir den gewichtet konformen, positiv orientierten $C^{2}$-Diffeomorphismus

(15) ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)=(x^{1}(u,v),x^{2}(u,v))^{*}:{\overline {B}}\to {\overline {E}}\in C^{2}(B,\mathbb {R} ^{2})\cap C^{0}({\overline {B}},{\overline {E}}).$

aus (4), (5) und (6). Dann folgt ${\mathfrak {x}}\in C^{2+\alpha }({\overline {B}},\mathbb {R} ^{2})$ und wir haben die a-priori-Abschätzungen

(16) $J_{\mathfrak {x}}(u,v)\geq \Theta$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}$

und

(17) $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{2+\alpha }({\overline {B}},\mathbb {R} ^{2})}\leq \Lambda$

mit den Konstanten $\Theta =\Theta (\lambda ,\alpha ,\gamma (1))>0$ und $\Lambda =\Lambda (\lambda ,\alpha ,\gamma (1))<+\infty$ und der in (13) erklärten Funktion.

Beweis

1. Auf der Kreislinie $\partial E$ betrachten wir das tangentiale Vektorfeld

${\mathfrak {t}}(x^{1},x^{2}):=(-x^{2},x^{1})^{*}:\partial E\to \mathbb {R} ^{2}$

und das konstante Vektorfeld ${\mathfrak {e}}=(1,0)^{*}$. Ferner sei

${\mathfrak {a}}(x^{1},x^{2})=(a^{1}(x^{1},x^{2}),a^{2}(x^{1},x^{2}))^{*}:\partial E\to \mathbb {R} ^{2}$

ein Vektorfeld der Länge 1 bzgl. $ds^{2}$, d. h. es gilt

(18) $a^{j}(x^{1},x^{2})g_{jk}(x^{1},x^{2})a^{k}(x^{1},x^{2})=1$ auf $\partial E$.

Wir wählen ${\mathfrak {a}}(x^{1},x^{2})$ so, dass dessen orientierter Winkel zum Tangentialvektor ${\mathfrak {t}}(x^{1},x^{2})$ in der Riemannschen Metrik mit dem Euklidischen Winkel zwischen ${\mathfrak {e}}$ und ${\mathfrak {t}}(x^{1},x^{2})$ übereinstimmt. Mit

${\mathfrak {b}}(x^{1},x^{2})=(b^{1}(x^{1},x^{2}),b^{2}(x^{1},x^{2}))^{*}:\partial E\to \mathbb {R} ^{2}$

erklären wir nun das Einheitsvektorfeld orthogonal zu ${\mathfrak {a}}(x^{1},x^{2})$ in der Riemannschen Metrik $ds^{2}$ und gemäß

(19) $\det({\mathfrak {a}}(x^{1},x^{2}),{\mathfrak {b}}(x^{1},x^{2}))={\begin{vmatrix}a^{1}(x^{1},x^{2})&b^{1}(x^{1},x^{2})\\a^{2}(x^{1},x^{2})&b^{2}(x^{1},x^{2})\end{vmatrix}}>0$ auf $\partial E$

orientiert. Für die gewichtet konforme Abbildung ${\mathfrak {x}}(u,v)$ erhalten wir dann die freie Randbedingung

(20) ${\bigl (}{\mathfrak {x}}_{u}(w),{\mathfrak {x}}_{v}(w){\bigr )}=\nu (w){\bigl (}{\mathfrak {a}}({\mathfrak {x}}(w)),{\mathfrak {b}}({\mathfrak {x}}(w)){\bigr )},\quad w\in \partial B$

mit einer Funktion $\nu (w):\partial B\to (0,+\infty )$. Schließlich finden wir noch eine Funktion $\varphi =\varphi (x^{1},x^{2}):\partial E\to \mathbb {R} \in C^{1+\alpha }(\partial E)$, so dass

(21) ${\begin{pmatrix}a^{1}(x^{1},x^{2})&b^{1}(x^{1},x^{2})\\a^{2}(x^{1},x^{2})&b^{2}(x^{1},x^{2})\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\cos \varphi (x^{1},x^{2})&-\sin \varphi (x^{1},x^{2})\\\sin \varphi (x^{1},x^{2})&\cos \varphi (x^{1},x^{2})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}*&0\\**&*\end{pmatrix}}$

auf $\partial E$ erfüllt ist.

2. Wir verwenden nun die Schwarzsche Integralformel, nämlich

(22) $F(z):={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}\varphi (e^{it})\,dt,\quad z=x^{1}+ix^{2}\in E$

mit dem in Teil 1 erklärten $\varphi \in C^{1+\alpha }(\partial E)$. Die Funktion $F(z)$ ist holomorph in $E$ und man zeigt mit potentialtheoretischen Methoden

(23) $F(z)\in C^{1+\alpha }({\overline {E}},\mathbb {C} ),\quad \|F\|_{C^{1+\alpha }({\overline {E}})}\leq C(\alpha )\|\varphi \|_{C^{1+\alpha }(\partial E)}.$

Weiter erfüllt $F$ die Randbedingung

(24) $\operatorname {Re} \,F(z)=\varphi (z)$ für alle $z\in \partial E$.

Für die Funktion

(25) $f(z):=\exp\{iF(z)\},\quad z\in {\overline {E}}$

der Klasse $C^{1+\alpha }({\overline {E}},\mathbb {C} \setminus \{0\})$ finden wir somit die Randbedingung

(26) $f(z)=\varrho (z)e^{i\varphi (z)},\quad z\in \partial E$

mit der positiven reellen Funktion

(27) $\varrho (z):=e^{-\operatorname {Im} \,F(z)},\quad z\in \partial E.$

3. Für die Funktion $y(w):=x_{w}^{1}(w)f({\mathfrak {x}}(w)):{\overline {B}}\to \mathbb {C}$ ermitteln wir aus (26) die Randbedingung

${\begin{aligned}y(w)&=x_{w}^{1}(w)f({\mathfrak {x}}(w))={\frac {1}{2}}\left(x_{u}^{1}(w)-ix_{v}^{1}(w)\right)\varrho ({\mathfrak {x}}(w))e^{i\varphi ({\mathfrak {x}}(w))}\\&={\frac {\varrho ({\mathfrak {x}}(w))}{2}}\left(x_{u}^{1}(w)-ix_{v}^{1}(w)\right)\left(\cos \varphi ({\mathfrak {x}}(w))+i\sin \varphi ({\mathfrak {x}}(w))\right)\end{aligned}}$

für alle $w\in \partial B$ und mit (20), (21) folgt

(28) ${\begin{aligned}\operatorname {Im} \,y(w)&={\frac {\varrho ({\mathfrak {x}}(w))}{2}}\left(x_{u}^{1}(w)\sin \varphi ({\mathfrak {x}}(w))-ix_{v}^{1}(w)\cos \varphi ({\mathfrak {x}}(w))\right)\\&={\frac {\nu (w)\varrho ({\mathfrak {x}}(w))}{2}}\left(a^{1}({\mathfrak {x}}(w))\sin \varphi ({\mathfrak {x}}(w))-b^{1}({\mathfrak {x}}(w))\cos \varphi ({\mathfrak {x}}(w))\right)\\&=0\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } w\in \partial B.\end{aligned}}$

Weiter berechnen wir

$y_{\overline {w}}=x_{w{\overline {w}}}^{1}f(x^{1},x^{2})+x_{w}^{1}f_{x^{1}}(x^{1},x^{2})x_{\overline {w}}^{1}+x_{w}^{1}f_{x^{2}}(x^{1},x^{2})x_{\overline {w}}^{2}$ in $B$.

Wir erhalten die DUGL

(29) $|y_{\overline {w}}(w)|\leq a|y(w)|^{2},\quad w\in B$

mit einer Konstante $a=a(\lambda ,\alpha ,\gamma (1))\in (0,+\infty )$.

4. Wir transformieren wie in §3 die Kreisscheibe $E$ auf die obere Halbebene $\mathbb {C} ^{+}$ mittels $g:\mathbb {C} ^{+}\to E$ und spiegeln gemäß

(30) ${\hat {\mathfrak {x}}}(w)=({\hat {x}}^{1}(w),{\hat {x}}^{2}(w)):={\begin{cases}{\mathfrak {x}}\circ g(w),&\operatorname {Im} \,w>0\\{\mathfrak {x}}\circ g({\overline {w}}),&\operatorname {Im} \,w<0\end{cases}}.$

Aus (10) folgt nun eine Wachstumsbedingung für das Dirichletintegral von ${\hat {\mathfrak {x}}}(w)$, wie sie in §2 beschrieben ist. Hierzu verwenden wir das Courant-Lebesgue-Lemma, schätzen mit der isoperimetrischen Ungleichung den Flächeninhalt durch die Länge der Randkurve ab und erhalten dann wegen (14) eine Wachstumsabschätzung für das Dirichletintegral.
Wie in §2 schätzen wir nun die Oszillation von ${\hat {\mathfrak {x}}}(w)$ auf Kreisen im Innern ab. Mit den dort verwendeten Bezeichnungen erhalten wir

(31) $2\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}|\operatorname {Re} \,({\hat {x}}_{w}^{j}(w)\,dw)|=\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}|d{\hat {x}}_{w}^{j}(w)|\leq \int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}|d{\hat {\mathfrak {x}}}(w)|\leq {\frac {C(\lambda )}{\sqrt {-\log \vartheta }}}$ für $j=1,2$.

Nun gibt es von $ds^{2}$ abhängige Funktionen $\varrho ^{\pm }=\varrho ^{\pm }(x^{1},x^{2}):\mathbb {C} ^{+}\to \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$, so dass

(32) ${\hat {x}}_{w}^{2}(w)=\varrho ^{\pm }({\hat {\mathfrak {x}}}(w)){\hat {x}}_{w}^{1}(w)$ für $w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ mit $\pm \operatorname {Im} \,w>0$

erfüllt ist. Somit folgt

$2\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}|\operatorname {Re} \,({\hat {x}}_{w}^{1}(w)\,dw)|+2\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}|\operatorname {Re} \,({\hat {x}}_{w}^{2}(w)\,dw)|\leq {\frac {2C(\lambda )}{\sqrt {-\log \vartheta }}},$

was

(33) $\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}|{\hat {x}}_{w}^{1}(w)\,dw|\leq {\frac {{\tilde {C}}(\lambda )}{\sqrt {-\log \vartheta }}}$

impliziert.

5. Betrachten wir nun die gespiegelte Ableitungsfunktion

(34) $z(w):={\begin{cases}y\circ g(w)=x_{w}^{1}(g(w))f({\hat {\mathfrak {x}}}(w)),&\operatorname {Im} \,w>0\\{\overline {y}}\circ g({\overline {w}})=x_{\overline {w}}^{1}(g({\overline {w}})){\overline {f}}({\hat {\mathfrak {x}}}(w)),&\operatorname {Im} \,w<0\end{cases}},$

so ist $z$ wegen der Randbedingung (28) stetig. Mit Hilfe von (33) und (23) erhält man dann eine Abschätzung für das Cauchyintegral von $z(w)$ wie in §2 angegeben. Mit der Methode von Satz 1 aus §3 finden wir nun wegen (29) eine Konstante ${\tilde {\Lambda }}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\gamma (1))<+\infty$, so dass

(35) $\|y\|_{C^{1+\beta }(e{\overline {B}})}\leq {\tilde {\Lambda }}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\gamma (1))$ für alle $\beta \in (0,1)$

richtig ist. Potentialtheoretische Methoden liefern

(36) $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{2+\alpha }({\overline {B}},\mathbb {R} ^{2})}\leq \Lambda$

mit einer a-priori-Konstante $\Lambda =\Lambda (\lambda ,\alpha ,\gamma (1))$. Mit den Beweismethoden von Satz 2 aus §5 erhalten wir eine Konstante $\Theta =\Theta (\lambda ,\alpha ,\gamma (1))>0$ mit

(37) $J_{\mathfrak {x}}(u,v)\geq \Theta$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}$.

Dies vervollständigt den Beweis des Satzes.

q.e.d.