Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

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§1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche[Bearbeiten]

Satz 1 (Eulersche Formel für die Normalkrümmung)[Bearbeiten]

Die Normalkrümmung der Fläche in Richtung wird gegeben durch
(1)
Ist erfüllt, so wird die Normalkrümmung in Richtung minimiert und in Richtung maximiert.

Definition 1[Bearbeiten]

Einen Punkt der Fläche nennen wir Nabelpunkt, falls erfüllt ist.

Definition 2[Bearbeiten]

Wir erklären die Gaußsche Krümmung der Fläche als
(2)
Unter der mittleren Krümmung verstehen wir
(3)

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale[Bearbeiten]

Satz 1 (Rellich)[Bearbeiten]

Eine gemäß
(1) in
konform parametrisierte Fläche hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung , wenn sie dem -Flächensystem
(2)
genügt.

Satz 2 (Lagrange-Gauß)[Bearbeiten]

Der Graph hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung , wenn die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung
(3) in
erfüllt.

§3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter)[Bearbeiten]

Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)[Bearbeiten]

Für die hyperbolische Differentialgleichung
(1) in
mit
(2) in
gibt es eine Variablentransformation
in
mit der Umkehrabbildung
mit
in .
Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform
(3)
und die Parametertransformation genügt dem System
(4)
erster Ordnung.

Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)[Bearbeiten]

Die quasilineare Differentialgleichung
(5)
welche gemäß
in
hyperbolisch bezüglich ihrer Lösung ist, kann durch die lokale Parametertransformation auf die charakteristischen Parameter äquivalent überführt werden in das System erster Ordnung
(6)
(6)
(6)
Für die Funktion ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung
(7)
wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen ist.

Beweis[Bearbeiten]

1. Ausgehend von einer Lösung (6) wollen wir die Gültigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zunächst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (6) wegen

die Beziehungen

Somit folgt

woraus sich ergibt.

2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (6), in denen nur -Ableitungen vorkommen, nach und umgekehrt, so erhalten wir

(8)
(8)
(8)
(8)
(8)

Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von . Wir fassen (8) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nicht singulär wegen

(9)

Somit können wir das System (8) in der Form (7) auflösen.

q.e.d.

§4 Das Cauchysche Anfangswertproblem für quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung[Bearbeiten]

§5 Die Riemannsche Integrationsmethode[Bearbeiten]

Definition 1[Bearbeiten]

Die Funktion heißt Riemannsche Funktion, falls folgendes gilt:
  1. genügt der Differentialgleichung in .
  2. Wir haben .
  3. Längs gilt bzw. .
  4. Längs gilt bzw. .

Satz 1 (Riemannsche Integrationsmethode)[Bearbeiten]

Eine Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung kann mit Hilfe ihrer Riemannschen Funktion wie folgt durch ihre Cauchydaten dargestellt werden: Für gilt

§6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem[Bearbeiten]

Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)[Bearbeiten]

Sei eine Lösung des Differentialgleichungsproblems
(1)
mit der reellanalytischen rechten Seite
(2)
bzw.
(3)
mit
(4)
gegeben. Dann ist reellanalytisch in .

Beweis[Bearbeiten]

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gehen wir aus von einer Lösung des Differentialgleichungssystems

(5) in .

Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem

(6)

zum Parameter . Hierbei ist eine geeignete offene Menge mit . Gemäß §4 hat (6) eine lokal eindeutige Lösung , da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus herausführen. Wir bemerken, dass die Lösung differenzierbar vom Parameter abhängt. Es sei nun . Wir können nun den Operator

auf die Differentialgleichung in (6) anwenden. Wir erhalten dann für die Funktion

das Differentialgleichungssystem

(7) in .

Offenbar ist wegen (6)

(8) in

richtig. Weiter berechnen wir mit (6) und (5)

in ,

also

(9) in .

Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (7)–(9) ist eindeutig lösbar durch in und es folgt

(10) in .

2. Wir setzen nun von auf fort. Dazu lösen wir das Cauchysche Anfangswertproblem

(11)

Die Lösung hängt differenzierbar von den Parametern ab und höhere Regularität folgt wieder wie in §4. Wir betrachten zunächst die Funktion

Diese genügt wegen (11) dem hyperbolischen System

(12) in

und erfüllt wegen (10) die Anfangsbedingungen

(13) in

und

(14) in .

Aus (12) – (14) folgt in bzw.

(15) in .

Schließlich untersuchen wir die Funktion

welche wegen (11) dem folgenden Differentialgleichungssystem genügt:

(16) in .

Wir berechnen für die Anfangsbedingungen

(17) in

und

(18) in ,

wobei wir (11) und (5) benutzt haben. Gleichung (5) gilt nämlich wegen (10) auch in . Aus (16) – (18) schließen wir nun in bzw.

(19) in .

Wir haben also die Lösung von (5) zu einer Funktion fortgesetzt, die wegen (15) und (19) holomorph in den Variablen und ist. Somit ist

reell analytisch in und .

q.e.d.