Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

§1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche

Satz 1 (Eulersche Formel für die Normalkrümmung)

Die Normalkrümmung der Fläche in Richtung ${\mathfrak {y}}=\cos \vartheta {\mathfrak {e}}_{1}(u,v)+\sin \vartheta {\mathfrak {e}}_{2}(u,v)$ wird gegeben durch

(1) $Q({\mathfrak {y}})=\kappa _{1}(u,v)\cos ^{2}\vartheta +\kappa _{2}(u,v)\sin ^{2}\vartheta .$

Ist $\kappa _{1}(u,v)\leq \kappa _{2}(u,v)$ erfüllt, so wird die Normalkrümmung in Richtung ${\mathfrak {e}}_{1}(u,v)$ minimiert und in Richtung ${\mathfrak {e}}_{2}(u,v)$ maximiert.

Definition 1

Einen Punkt ${\mathfrak {x}}(u,v)$ der Fläche ${\mathfrak {x}}$ nennen wir Nabelpunkt, falls $\kappa _{1}(u,v)=\kappa _{2}(u,v)$ erfüllt ist.

Definition 2

Wir erklären die Gaußsche Krümmung der Fläche als

(2) $K(u,v):=\kappa _{1}(u,v)\kappa _{2}(u,v)=\det W(u,v),\quad (u,v)\in \Omega .$

Unter der mittleren Krümmung verstehen wir

(3) $H(u,v):={\frac {1}{2}}(\kappa _{1}(u,v)+\kappa _{2}(u,v))={\frac {1}{2}}SpW(u,v),\quad (u,v)\in \Omega .$

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

Satz 1 (Rellich)

Eine gemäß

(1) ${\mathfrak {x}}_{u}\cdot {\mathfrak {x}}_{v}=0=|{\mathfrak {x}}_{u}|^{2}+|{\mathfrak {x}}_{v}|^{2}$ in $\Omega$

konform parametrisierte Fläche ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v):\Omega \to \mathbb {R} ^{3}$ hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung $H=H({\mathfrak {x}})$, wenn sie dem $H$-Flächensystem

(2) $\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=2H({\mathfrak {x}}){\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v}$

genügt.

Satz 2 (Lagrange-Gauß)

Der Graph $z=\zeta (x,y),(x,y)\in \Omega$ hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung $H=H(x,y,z)$, wenn $\zeta$ die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung

(3) ${\mathcal {M}}\zeta :=(1+\zeta _{y}^{2})\zeta _{xx}-2\zeta _{x}\zeta _{y}\zeta _{xy}+(1+\zeta _{x}^{2})\zeta _{yy}=2H({\mathfrak {x}}){\sqrt {1+|\nabla \zeta (x,y)|^{2}}}^{3}$ in $\Omega$

erfüllt.

§3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter)

Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)

Für die hyperbolische Differentialgleichung

(1) $0=a(x,y)\zeta _{xx}(x,y)+2b(x,y)\zeta _{xy}(x,y)+c(x,y)\zeta _{yy}(x,y)+d(x,y,\zeta (x,y),\nabla \zeta (x,y))$ in $\Omega$

mit

(2) $a(x,y)c(x,y)-b(x,y)^{2}<0$ in $\Omega$

gibt es eine Variablentransformation

$\xi =\xi (x,y),\eta =\eta (x,y)\in C^{2}({\mathcal {U}}(x_{0},y_{0})),$

$\xi _{0}=\xi (x_{0},y_{0}),\quad \eta _{0}=\eta (x_{0},y_{0}),\quad {\frac {\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}}\neq 0$ in ${\mathcal {U}}(x_{0},y_{0})$

mit der Umkehrabbildung $x=x(\xi ,\eta ),y=y(\xi ,\eta )\in C^{2}({\mathcal {U}}(\xi _{0},\eta _{0}))$

mit

$Q(\xi )=0=Q(\eta )$ in ${\mathcal {U}}(x_{0},y_{0})$.

Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform

(3) $z_{\xi \eta }(\xi ,\eta )=-\left.\left\{{\frac {1}{B(x,y)}}D(x,y,z,p,q)\right\}\right|_{x=x(\xi ,\eta ) \atop y=y(\xi ,\eta )}$

und die Parametertransformation $x=x(\xi ,\eta ),y=y(\xi ,\eta )$ genügt dem System

(4) $y_{\xi }-\lambda ^{+}x_{\xi }=0,\quad y_{\eta }-\lambda ^{-}x_{\eta }=0$

erster Ordnung.

Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)

Die quasilineare Differentialgleichung

(5) ${\begin{matrix}{\mathcal {L}}\zeta (x,y)&:=&a(x,y,\zeta (x,y)\nabla \zeta (x,y))\zeta _{xx}(x,y)+2b(\ldots )\zeta _{xy}(x,y)+c(\ldots )\zeta _{yy}(x,y)\\&&+d(x,y,\zeta (x,y)\nabla \zeta (x,y))=0\quad in\ \Omega ,\end{matrix}}$

welche gemäß

$a(x,y)c(x,y)-b(x,y)^{2}<0$ in $\Omega$

hyperbolisch bezüglich ihrer Lösung $z=\zeta (x,y)$ ist, kann durch die lokale Parametertransformation auf die charakteristischen Parameter äquivalent überführt werden in das System erster Ordnung

(6) $y_{\xi }-\lambda ^{+}x_{\xi }=0,\quad y_{\eta }-\lambda ^{-}x_{\eta }=0$

(6) $p_{\xi }+\lambda ^{-}q_{\xi }+{\frac {d}{a}}x_{\xi }=0,\quad p_{\eta }+\lambda ^{+}q_{\eta }+{\frac {d}{a}}x_{\eta }=0$

(6) $z_{\xi }-px_{\xi }-qy_{\xi }=0.$

Für die Funktion ${\mathfrak {y}}(\xi ,\eta ):=(x(\xi ,\eta ),y(\xi ,\eta ),z(\xi ,\eta ),p(\xi ,\eta ),q(\xi ,\eta ))$ ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung

(7) ${\mathfrak {y}}_{\xi \eta }(\xi ,\eta )={\mathfrak {h}}_{\xi \eta }(\xi ,\eta ,{\mathfrak {y}}(\xi ,\eta ),{\mathfrak {y}}_{\xi }(\xi ,\eta ),{\mathfrak {y}}_{\eta }(\xi ,\eta )),$

wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen $x_{\xi },y_{\xi },\ldots ,p_{\eta },q_{\eta }$ ist.

Beweis

1. Ausgehend von einer Lösung (6) wollen wir die Gültigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zunächst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (6) wegen

${\begin{pmatrix}x_{\xi }&x_{\eta }\\y_{\xi }&y_{\eta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\xi _{x}&\xi _{y}\\\eta _{x}&\eta _{y}\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {\partial (x,y)}{\partial (\xi ,\eta )}}{\begin{pmatrix}\eta _{y}&-\xi _{y}\\-\eta _{x}&\xi _{x}\end{pmatrix}}$

die Beziehungen

$\eta _{x}+\lambda ^{+}\eta _{y}=0,\quad \xi _{x}+\lambda ^{-}\xi _{y}=0.$

Somit folgt

$z_{xx}=p_{x}=p_{\xi }\xi _{x}+p_{\eta }\eta _{x}=-\left(\lambda ^{-}q_{\xi }+{\frac {d}{a}}x_{\xi }\right)\xi _{x}-\left(\lambda ^{+}q_{\eta }+{\frac {d}{a}}x_{\eta }\right)\eta _{x}$

$=-(\lambda ^{+}+\lambda ^{-})(q_{\xi }\xi _{x}+q_{\eta }\eta _{x})-\lambda ^{+}\lambda ^{-}(q_{\xi }\xi _{y}+q_{\eta }\eta _{y})-{\frac {d}{a}}=-{\frac {2b}{a}}z_{yx}-{\frac {c}{a}}z_{yy}-{\frac {d}{a}},$

woraus sich $az_{xx}+2bz_{xy}+cz_{yy}+d=0$ ergibt.

2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (6), in denen nur $\xi$-Ableitungen vorkommen, nach $\eta$ und umgekehrt, so erhalten wir

(8) $-\lambda ^{+}x_{\xi \eta }+y_{\xi \eta }=\ldots$

(8) $-\lambda ^{-}x_{\xi \eta }+y_{\xi \eta }=\ldots$

(8) ${\frac {d}{a}}x_{\xi \eta }+p_{\xi \eta }+\lambda ^{-}q_{\xi \eta }=\ldots$

(8) ${\frac {d}{a}}x_{\xi \eta }+p_{\xi \eta }+\lambda ^{+}q_{\xi \eta }=\ldots$

(8) $-px_{\xi \eta }-qy_{\xi \eta }+z_{\xi \eta }=\ldots$

Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von $x,y,z,p,q$. Wir fassen (8) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $x_{\xi \eta },y_{\xi \eta },z_{\xi \eta },p_{\xi \eta },q_{\xi \eta }$ auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nicht singulär wegen

(9) ${\begin{vmatrix}-\lambda ^{+}&1&0&0&0\\-\lambda ^{-}&1&0&0&0\\{\frac {d}{a}}&0&0&1&\lambda ^{-}\\{\frac {d}{a}}&0&0&1&\lambda ^{+}\\-p&-q&1&0&0\end{vmatrix}}=-4{\frac {b^{2}-ac}{a^{2}}}\neq 0.$

Somit können wir das System (8) in der Form (7) auflösen.

q.e.d.

§5 Die Riemannsche Integrationsmethode

Definition 1

Die Funktion $v(\xi ,\eta )=:R(\xi ,\eta ;x,y)$ heißt Riemannsche Funktion, falls folgendes gilt:

1. $v$ genügt der Differentialgleichung ${\mathcal {M}}v=0$ in $T(x,y)$.
2. Wir haben $v(x,y)=R(x,y;x,y)=1$.
3. Längs ${\widehat {BP}}$ gilt $-v_{y}+av=0$ bzw. $v(x,\eta )=\exp \left\{\int \limits _{y}^{\eta }a(x,t)\,dt\right\}$.
4. Längs ${\widehat {PA}}$ gilt $-v_{x}+bv=0$ bzw. $v(\xi ,y)=\exp \left\{\int \limits _{x}^{\xi }b(t,y)\,dt\right\}$.

Satz 1 (Riemannsche Integrationsmethode)

Eine Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung ${\mathcal {L}}u(\xi ,\eta )=h(\xi ,\eta )$ kann mit Hilfe ihrer Riemannschen Funktion $R(\xi ,\eta ;x,y)$ wie folgt durch ihre Cauchydaten dargestellt werden: Für $P=(x,y)$ gilt

$u(P)=u(A)R(A;P)-\iint \limits _{T(x,y)}R(\xi ,\eta ;P)h(\xi ,\eta )\,d\xi d\eta +\int \limits _{\Gamma (x,y)}{\Bigl \{}-(R_{\eta }(\xi ,\eta ;P)h(\xi ,\eta )+auR)\nu _{1}+(Ru_{\xi }+bRu)\nu _{2}{\Bigr \}}\,d\sigma .$

§6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem

Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)

Sei eine Lösung ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)=(x_{1}(u,v),\ldots ,x_{n}(u,v)):B\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{3}(B,\mathbb {R} ^{n})$ des Differentialgleichungsproblems

(1) $\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)={\mathfrak {F}}(u,v,{\mathfrak {x}}(u,v),{\mathfrak {x}}_{u}(u,v),{\mathfrak {x}}_{v}(u,v)),\quad (u,v)\in B$

mit der reellanalytischen rechten Seite

(2) ${\mathfrak {F}}:{\mathcal {O}}\to \mathbb {R} ^{n}$

bzw.

(3) ${\mathfrak {F}}={\mathfrak {F}}(u,v,z_{1},\ldots ,z_{n},p_{1},\ldots ,p_{n},q_{1},\ldots ,q_{n}):{\mathcal {O}}\to \mathbb {C} ^{n}\in C^{1}({\mathcal {O}},\mathbb {C} ^{n})$

mit

(4) ${\mathfrak {F}}_{\overline {u}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {v}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {z_{1}}}\equiv \ldots \equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {z_{n}}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {p_{1}}}\equiv \ldots \equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {p_{n}}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {q_{1}}}\equiv \ldots \equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {q_{n}}}\equiv 0$

gegeben. Dann ist ${\mathfrak {x}}$ reellanalytisch in $B$.

Beweis

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gehen wir aus von einer Lösung ${\mathfrak {x}}=\mathbf {x} (\alpha ,\gamma ):B\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{3}(B,\mathbb {R} ^{n})$ des Differentialgleichungssystems

(5) $\mathbf {x} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\gamma )+\mathbf {x} _{\gamma \gamma }(\alpha ,\gamma )=\mathbf {F} (\alpha ,\gamma ,\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ),\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\gamma ))$ in $B$.

Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem

(6) ${\begin{matrix}-\mathbf {x} _{\beta \beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )+\mathbf {x} _{\gamma \gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\mathbf {x} ,-i\mathbf {x} _{\beta },\mathbf {x} _{\gamma }){\text{ in }}{\mathcal {B}}',\\\mathbf {x} (\alpha ,0,\gamma )=\mathbf {x} (\alpha ,\gamma ){\text{ in }}B,\\\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=i\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ){\text{ in }}B\end{matrix}}$

zum Parameter $\alpha$. Hierbei ist ${\mathcal {B}}'\subset \mathbb {R} ^{3}$ eine geeignete offene Menge mit $B\subset {\mathcal {B}}'$. Gemäß §4 hat (6) eine lokal eindeutige Lösung $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma )$, da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus $B$ herausführen. Wir bemerken, dass die Lösung differenzierbar vom Parameter $\alpha$ abhängt. Es sei nun $u:=\alpha +i\beta$. Wir können nun den Operator

${\frac {\partial }{\partial {\overline {u}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}+i{\frac {\partial }{\partial \beta }}\right)$

auf die Differentialgleichung in (6) anwenden. Wir erhalten dann für die Funktion

$\mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma )=(y_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ),\ldots ,y_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )):=\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )$

das Differentialgleichungssystem

(7) $-\mathbf {y} _{\beta \beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )+\mathbf {y} _{\gamma \gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl \{}\mathbf {F} _{z_{j}}y_{j}-i\mathbf {F} _{p_{j}}y_{j,\beta }+\mathbf {F} _{q_{j}}y_{j,\gamma }{\Bigr \}}$ in ${\mathcal {B}}'$.

Offenbar ist wegen (6)

(8) $\mathbf {y} (\alpha ,0,\gamma )={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,0,\gamma )+i\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma ))={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma )+ii\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ))=0$ in $B$

richtig. Weiter berechnen wir mit (6) und (5)

$\mathbf {y} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )+i\mathbf {x} _{\beta \beta }(\alpha ,0,\gamma ))$

$={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )+i\mathbf {x} _{\gamma \gamma }(\alpha ,0,\gamma )-i\mathbf {F} (\alpha ,0,\gamma ,\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{\alpha },\mathbf {x} _{\gamma }))={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )-i\mathbf {x} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\gamma ))$

$={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}(\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )-i\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ))=0$ in $B$,

also

(9) $\mathbf {y} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=0$ in $B$.

Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (7)–(9) ist eindeutig lösbar durch $\mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv 0$ in ${\mathcal {B}}'$ und es folgt

(10) $\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv 0$ in ${\mathcal {B}}'$.

2. Wir setzen nun $\mathbf {x}$ von ${\mathcal {B}}'$ auf ${\mathcal {B}}\subset \mathbb {C} ^{2}$ fort. Dazu lösen wir das Cauchysche Anfangswertproblem

(11) ${\begin{matrix}\mathbf {x} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-\mathbf {x} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\mathbf {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{\alpha },-i\mathbf {x} _{\delta }){\text{ in }}{\mathcal {B}},\\\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ){\text{ in }}{\mathcal {B}}',\\\mathbf {x} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=i\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ){\text{ in }}{\mathcal {B}}'.\end{matrix}}$

Die Lösung hängt differenzierbar von den Parametern $\beta ,\gamma$ ab und höhere Regularität folgt wieder wie in §4. Wir betrachten zunächst die Funktion

$\mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(y_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),\ldots ,y_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )):=\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ).$

Diese genügt wegen (11) dem hyperbolischen System

(12) $\mathbf {y} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-\mathbf {y} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl \{}\mathbf {F} _{z_{j}}y_{j}+\mathbf {F} _{p_{j}}y_{j,\alpha }-i\mathbf {F} _{q_{j}}y_{j,\delta }{\Bigr \}}$ in ${\mathcal {B}}$

und erfüllt wegen (10) die Anfangsbedingungen

(13) $\mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=0$ in ${\mathcal {B}}'$

und

(14) $\mathbf {y} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\beta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=i{\frac {\partial }{\partial \gamma }}\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=0$ in ${\mathcal {B}}'$.

Aus (12) – (14) folgt $\mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=0$ in ${\mathcal {B}}$ bzw.

(15) $\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0$ in ${\mathcal {B}}$.

Schließlich untersuchen wir die Funktion

$\mathbf {z} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(z_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),\ldots ,z_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )):=\mathbf {x} _{\overline {v}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),$

welche wegen (11) dem folgenden Differentialgleichungssystem genügt:

(16) $\mathbf {z} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-\mathbf {z} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl \{}\mathbf {F} _{z_{j}}z_{j}+\mathbf {F} _{p_{j}}z_{j,\alpha }-i\mathbf {F} _{q_{j}}z_{j,\delta }{\Bigr \}}$ in ${\mathcal {B}}$.

Wir berechnen für $\mathbf {z}$ die Anfangsbedingungen

(17) $\mathbf {z} (\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )+ii\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ))=0$ in ${\mathcal {B}}'$

und

(18) $\mathbf {z} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\gamma \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))={\frac {\partial }{\partial \gamma }}{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)-i\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=0$ in ${\mathcal {B}}'$,

wobei wir (11) und (5) benutzt haben. Gleichung (5) gilt nämlich wegen (10) auch in ${\mathcal {B}}'$. Aus (16) – (18) schließen wir nun $\mathbf {z} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0$ in ${\mathcal {B}}$ bzw.

(19) $\mathbf {x} _{\overline {v}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0$ in ${\mathcal {B}}$.

Wir haben also die Lösung $\mathbf {x} =22$ von (5) zu einer Funktion $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ):{\mathcal {B}}\to \mathbb {C} ^{n}$ fortgesetzt, die wegen (15) und (19) holomorph in den Variablen $u=\alpha +i\beta$ und $v=\gamma +i\delta$ ist. Somit ist

$\mathbf {x} (\alpha ,\gamma )=\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\big |}_{\beta =\delta =0}$

reell analytisch in $\alpha$ und $\gamma$.

q.e.d.