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Es seien eine Menge
V
{\displaystyle V}
|
v
⟩
{\displaystyle |v\rangle }
K
{\displaystyle K}
+
{\displaystyle +}
⋅
{\displaystyle \cdot }
1
{\displaystyle 1}
Innere Verknüpfung
⊕
:
V
×
V
→
V
{\displaystyle \oplus :V\times V\to V}
Äußere Verknüpfung
⊗
:
K
×
V
→
V
{\displaystyle \otimes :K\times V\to V}
(
V
,
⊕
,
⊙
,
K
)
{\displaystyle (V,\oplus ,\odot ,K)}
Vektorraum , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind
(
V
,
⊕
,
0
)
{\displaystyle (V,\oplus ,0)}
Für beliebige
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle \lambda ,\mu \in K}
|
v
⟩
,
|
w
⟩
∈
V
{\displaystyle |v\rangle ,|w\rangle \in V}
1
⊙
|
v
⟩
=
|
v
⟩
{\displaystyle 1\odot |v\rangle =|v\rangle }
(
λ
⋅
μ
)
⊙
|
v
⟩
=
λ
⊙
(
μ
⊙
|
v
⟩
)
{\displaystyle (\lambda \cdot \mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot (\mu \odot |v\rangle )}
λ
⊙
(
|
v
⟩
⊕
|
w
⟩
)
=
λ
⊙
|
v
⟩
⊕
λ
⊙
|
w
⟩
{\displaystyle \lambda \odot (|v\rangle \oplus |w\rangle )=\lambda \odot |v\rangle \oplus \lambda \odot |w\rangle }
(
λ
+
μ
)
⊙
|
v
⟩
=
λ
⊙
|
v
⟩
⊕
μ
⊙
|
v
⟩
{\displaystyle (\lambda +\mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle \oplus \mu \odot |v\rangle }
Meistens werden die Innere und Äußerer Verknüpfung nicht gesondert von der additiven und Multiplikativen Verknüpfung auf
K
{\displaystyle K}
Es wird das Symbol der Äußeren Verknüpfung oft unterdrückt, so dass
λ
|
v
⟩
=
λ
⋅
|
v
⟩
=
λ
⊙
|
v
⟩
{\displaystyle \lambda |v\rangle =\lambda \cdot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle }
Manchmal wird die Abkürzende Schreibweise
λ
|
v
⟩
+
μ
|
w
⟩
=
|
λ
v
+
μ
w
⟩
{\displaystyle \lambda |v\rangle +\mu |w\rangle =|\lambda v+\mu w\rangle }
In diesem Kurs wird vor allem der Vektorraum
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}
K
=
C
{\displaystyle K=\mathbb {C} }
N
=
2
n
{\displaystyle N=2^{n}}
n
{\displaystyle n}
|
v
⟩
{\displaystyle |v\rangle }
|
v
⟩
=
(
v
0
v
1
⋮
v
N
−
1
)
v
0
,
v
1
,
…
,
v
N
−
1
∈
C
{\displaystyle |v\rangle ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}\quad \quad v_{0},v_{1},\dots ,v_{N-1}\in \mathbb {C} }
|
v
⟩
+
|
w
⟩
=
(
v
0
v
1
⋮
v
N
−
1
)
+
(
w
0
w
1
⋮
w
N
−
1
)
=
(
v
0
+
w
0
v
1
+
w
1
⋮
v
N
−
1
+
w
N
−
1
)
{\displaystyle |v\rangle +|w\rangle ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{N-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}+w_{0}\\v_{1}+w_{1}\\\vdots \\v_{N-1}+w_{N-1}\end{pmatrix}}}
λ
|
v
⟩
=
λ
(
v
0
v
1
⋮
v
N
−
1
)
=
(
λ
v
0
λ
v
1
⋮
λ
v
N
−
1
)
{\displaystyle \lambda |v\rangle =\lambda {\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\\\vdots \\\lambda v_{N-1}\end{pmatrix}}}
Bestimme die folgenden Elemente des Vektorraums
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
(
2
+
i
−
3
+
2
i
)
+
(
−
1
+
3
i
5
−
2
i
)
(
2
+
3
i
)
⋅
(
1
+
i
−
3
+
2
i
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1+3\mathrm {i} \\5-2\mathrm {i} \end{pmatrix}}\quad \quad (2+3\mathrm {i} )\cdot {\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}}
(optional) Zeige, dass es sich bei
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Lösungen
Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektorraum gefunden werden. 
