Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.3

Seien ${}V$ und ${}W$ zwei komplexe Vektorräume. Diese lassen sich auch als reelle Vektorräume auffassen (der doppelten Dimension). Jedoch muss man für eine Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ (wobei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist) mit den Konzepten der komplexen Differenzierbarkeit und der reellen Differenzierbarkeit vorsichtig sein. Wenn wir die Bedingung

$\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$

betrachtet, so bedeutet komplexe Differenzierbarkeit im Punkt ${}P\in G$, dass die Abbildung ${}L$ komplex-linear ist. Hingegen bedeutet reelle Differenzierbarkeit, dass ${}L$ eine reell-lineare Abbildung ist. Da komplex-lineare Abbildungen auch reell-linear sind, folgt sofort, dass eine komplex-differenzierbare Abbildung auch reell-differenzierbar ist. Falls ${}\varphi$ nun in ${}P\in G$ reell-differenzierbar ist, so ist das reelle totale Differential ${}(D_{\varphi })_{P}$ die einzig mögliche lineare Abbildung welche die obige Bedingung erfüllt (da das Differential nach Lemma eindeutig bestimmt ist). Damit ist ${}\varphi$ genau dann komplex-differenzierbar, wenn ${}(D_{\varphi })_{P}$ komplex-linear ist.

Sei ${}L\colon V\rightarrow W$ eine reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen. Dann ist ${}L$ genau dann auch komplex-linear, wenn für alle ${}v\in V$ die Bedingung ${}L(iv)=iL(v)$ gilt. Es genügt natürlich diese Bedingung für eine komplexe Basis von ${}V$ zu überprüfen. Für das reelle totale Differential ${}(D_{\varphi })_{P}$ bedeutet dies, dass ${}(D_{\varphi })_{P}(iv)=i(D_{\varphi })_{P}(v)$ gilt, oder, in Richtungsableitungen ausgedrückt, ${}(D_{iv}(\varphi ))_{P}=i(D_{v}(\varphi ))_{P}$ (auch diese Bedingung muss nur auf einer ${}{\mathbb {C} }$-Basis von ${}V$ getestet werden). Im Folgenden diskutieren wir verschiedene Charakterisierungen komplexer Differenzierbarkeit.

Satz

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in ${}P\in G$ reell-differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{j},j\in J$, eine ${}{\mathbb {C} }$-Basis von ${}V$ mit den Koordinatenfunktionen ${}z_{j}=x_{j}+iy_{j}$.

Dann ist ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ genau dann komplex-differenzierbar, wenn

$({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=i({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P)$

für alle ${}j\in J$ (beide Seiten sind Vektoren in ${}W$).

Beweis

Es sei ${}n:=\dim _{\mathbb {C} }V$, ${}m:=\dim _{\mathbb {C} }W$ und ${}L:=(D_{\varphi })_{P}$ das reelle totale Differential, welches durch eine ${}2m\times 2n$-Matrix mit reellen Einträgen gegeben ist (bezüglich einer Basis von ${}W$). Da ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ reell-differenzierbar ist, ist ${}\varphi$ insbesondere bezüglich ${}x_{j}$ und ${}y_{j}$ reell partiell differenzierbar., und diese Ableitungen liefern die Einträge der Matrix. Die Abbildung ${}\varphi$ ist genau dann komplex-differenzierbar, wenn ${}L$ (nicht nur reell, sondern auch) komplex-linear ist. Nach Fakt ***** gilt

$(\partial \varphi /\partial y_{j})(P)=(D_{iv_{j}}(\varphi ))_{P}=(D_{\varphi })_{P}(iv_{j}){\text{ und }}(\partial \varphi /\partial x_{j})(P)=(D_{v_{j}}(\varphi ))_{P}=(D_{\varphi })_{P}(v_{j}).$

  Damit ist die ${}{\mathbb {C} }$-Linearität des Differentials (nämlich ${}(D_{\varphi })_{P}(iv_{j})=i(D_{\varphi })_{P}(v_{j})$) äquivalent zu

$({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=i({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P).$

$\Box$

Für ${}W={\mathbb {C} }$ erhalten wir den folgenden Spezialfall, den man auch die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen nennt.

Korollar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell-differenzierbare Abbildung. Schreibe ${}\varphi =g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es seien weiter ${}z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, die Koordinaten.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann in ${}P$ komplex-differenzierbar, wenn

${\frac {\partial g}{\partial y_{j}}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x_{j}}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y_{j}}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(P)$

für alle ${}j=1,\ldots ,n$ gilt.

Beweis

Wir haben

$({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial (g+{\mathrm {i} }h)}{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)$

und analog

$({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P).$

Damit übersetzt sich die Bedingung von Fakt in

$({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)={\mathrm {i} }(({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P)).$

Vergleich des Real- und Imaginärteils liefert die gewünschten Bedingungen

$({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)=-({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P){\text{ und }}({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P).$

$\Box$

Bemerkung  

Es sei nun auch ${}V={\mathbb {C} }$ mit Koordinaten ${}z=x+iy$. Dann ist ${}\varphi (z)=g(z)+ih(z)$ komplex-differenzierbar falls

$({\frac {\partial g}{\partial y}})(P)=-({\frac {\partial h}{\partial x}})(P){\text{ und }}({\frac {\partial h}{\partial y}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x}})(P).$

Das bedeutet für das reelle totale Differential (gegeben durch die ${}2\times 2$-Matrix)

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\\{\frac {\partial h}{\partial x}}&{\frac {\partial h}{\partial y}}\end{pmatrix}},$

dass die Einträge auf der Diagonalen übereinstimmen und auf der Antidiagonalen negativ zueinander sind.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$

die in reellen Koordinaten durch ${}(x,y)\mapsto (4x^{2}-xy,2xy^{2}+y^{3})=(g,h)$ gegeben ist. Diese ist offenbar reell differenzierbar mit der Matrix

${\begin{pmatrix}8x-y&-x\\2y^{2}&4xy+3y^{2}\end{pmatrix}},$

aber nicht komplex differenzierbar.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$

die in reellen Koordinaten durch ${}(x,y)\mapsto (x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},4x^{3}y-4xy^{3})=(g,h)$ gegeben ist. Diese ist offenbar reell-differenzierbar mit der Matrix

${\begin{pmatrix}4x^{3}-12xy^{2}&-12x^{2}y+4y^{3}\\12x^{2}y-4y^{3}&4x^{3}-12xy^{2}\end{pmatrix}}.$

Damit erfüllt die Abbildung die Cauchy-Riemann Differentialgleichung und ist somit komplex-differenzierbar. In der Tat ist die Abbildung ${}\varphi$ grade die Abbildung

$z\longmapsto z^{4}=(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},4x^{3}y-4xy^{3}).$

Das komplexe Differential ist also ${}4z^{3}$. Diese komplex-lineare Abbildung schickt

$1\longmapsto 4z^{3}=4(x^{3}-3xy^{2}+(3x^{2}y-y^{3})i)$

und

$i\longmapsto 4iz^{3}=4((x^{3}-3xy^{2})i-(3x^{2}y-y^{3})).$

Diese beiden Vektoren bilden die Spalten der zugehörigen reellen Matrix.