Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.4

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Seien und endlichdimensionale normierte -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung und einen fixierten Vektor ist die Richtungsableitung in Richtung (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

Als solche macht es Sinn zu fragen, ob in Richtung differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Der folgende Satz heißt Satz von Clairaut oder auch Satz von Schwarz.



Satz  

Sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind.

Dann gilt

Beweis  

Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von bezüglich einer Basis von können wir annehmen, dass und ist. Wir wollen den eindimensionalen Mittelwertsatz anwenden. Sei ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung und studieren diese für hinreichend kleine und . Wir fixieren diese (für den Moment) und betrachten die differenzierbare Abbildung

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein (von und abhängiges) mit

Nun wenden wir erneut den Mittelwertsatz auf die differenzierbare Abbildung

an, und erhalten die Existenz eines mit

Zusammen erhalten wir

Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir und , so dass dieser Ausdruck auch gleich

ist. Somit schliessen wir für (hinreichend kleine) gegebene , dass positive und existieren mit

Für und konvergieren auch und gegen . Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für die Gleichheit