Kurs:Riemannsche Flächen/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 10 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{
0}
\inputaufgabe
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Decktransformation} {} zu einer Überlagerung \maabb {p} { Y } { X } {.}
}{Ein \stichwort {Gitter} {} in den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$.
}{Eine \stichwort {Garbe} {} ${ \mathcal G }$ auf einem topologischen Raum $X$.
}{Eine \stichwort {holomorphe Differentialform} {} $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
}{Der
\stichwort {Hauptdivisor} {}
zu einer meromorphen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$.
}{Die \stichwort {Jacobische Varietät} {} zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.}{Der \stichwort {Residuensatz} {.}}{Der Satz von \stichwort {Abel-Jacobi} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{10}
{
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Inwiefern ist eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} ein eindimensionales, inwiefern ein zweidimensionales Objekt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } {z^3+z
} {.}
Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {T_P {\mathbb C} } { T_{\varphi(P)} {\mathbb C}
} {}
bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^5+XY^4+XYZ^3+YZ^4 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ z^2+z+1
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\maabb {\varphi} { \varphi^{-1}(U) } { U
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{} zur \definitionsverweis {Garbe}{}{} der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {reellwertigen Funktionen}{}{} auf $\R$ kein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ df
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {exakte Differentialform}{}{}
auf $M$ mit Werten in ${\mathbb K}$. Es sei
\maabb {\gamma} { [a,b] } { M
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
in $M$. Zeige, dass
für das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { f(\gamma(b)) -f(\gamma(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{,} die die \definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{} realisiert, die in $1$ den Hauptteil ${ \frac{ 3 }{ z(z-1)^2 } }$ und in $4$ den Hauptteil $- { \frac{ 1 }{ z (z-4) } }$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { X } { Y
} {}
zwischen
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und einer
\definitionsverweis {meromorphen Differentialform}{}{}
$\omega$ auf $Y$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \operatorname{div} { \left( \omega \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {zurückgezogene Divisor}{}{}
$\varphi^*D$ im Allgemeinen nicht der Divisor
\zusatzklammer {und auch nicht die Divisorklasse} {} {} zur
\definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
$\varphi^* \omega$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Es sei $D$ ein
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
auf $X$ vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$4$ und sei
\mathl{{\mathcal O}_{ X } ( D)}{} die zugehörige
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass
\mathl{\Gamma { \left( X , {\mathcal O}_{ X } ( D) \right) }}{} die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$4$ besitzt.
} {Es sei
\mathl{x,y,z,w}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{\Gamma { \left( X , {\mathcal O}_{ X } ( D) \right) }}{.} Zeige, dass es in
\mathl{\Gamma { \left( X , {\mathcal O}_{ X } (2 D) \right) }}{} zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in $x,y,z,w$ vom Grad $2$ geben muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\maabb {\varphi} { X } { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
von
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}{ Man folgere aus (1), dass für die
\definitionsverweis {Geschlechter}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(X)
}
{ \geq} { g(Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} \maabb {p} { X } { Y } {} zwischen \definitionsverweis {kompakten}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} in natürlicher Weise einen \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { J(X)} {J(Y) } {} zwischen den zugehörigen \definitionsverweis {jacobischen Varietäten}{}{} induziert.
}
{} {}