Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$ . Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$ , ${}W\subseteq G$ , eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

{}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.

???: Eigenschaften von affin-algebraischen Mengen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.

Es ist ${}V(1)=\emptyset$ , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$ . Dann gilt
${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Es seien ${}V_{i}$ , ${}i\in I$ , affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$ . Dann gilt
${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$
Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

???: Der Hilbertsche Basissatz für einen Körper

Es sei ${}K$ ein Körper.

Dann ist ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

???: Radikale und affin-algebraische Mengen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

???: Primideale und irreduzible Teilmengen

In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz

entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale.

???: Achsenraumkonfiguration als Nullstellenmenge

Zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$

wird die zugehörige Achsenraumkonfiguration als Nullstellenmenge von allen Variablenprodukten zu Nichtseiten beschrieben, also

${}\Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}=V{\left(\prod _{v\in A}X_{v}{|}A{\text{ Nichtseite von }}\Delta \right)}\,.$

Dabei kann man sich auf die minimalen Nichtseiten beschränken.

???: Facetten und irreduzible Teilmengen

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex.

Dann entsprechen die irreduziblen Komponenten der zugehörigen Achsenraumkonfiguration den Facetten von ${}\Delta$ .

???: Glatte Punkte auf Achsenraumkonfigurationen

Ein Punkt ${}P\in \Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}$ auf der Achsenraumkonfiguration zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$

ist genau dann glatt, wenn er auf ${}K^{F}$ zu einer einzigen Facette ${}F$ liegt.

???: Lokalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$ .

Dann ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

???: Singularität einer binomialen Gleichung

Es sei ${}X^{\mu }-X^{\nu }\neq 0$ eine binomiales Polynom, wobei auf beiden Seiten weder die ${}1$ noch eine Variable allein stehe.

Dann besitzt die Nullstellenmenge ${}V(X^{\mu }-X^{\nu })$ eine Singularität im Nullpunkt.

???: Binomiale Gleichung in zwei Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei ${}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

Das Polynom ${}X^{a}-Y^{b}$ ist irreduzibel.

Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung
$K\longrightarrow V(X^{a}-Y^{b})\subseteq K^{2},\,t\longmapsto (t^{b},t^{a}).$

Bei ${}a,b\geq 2$ besitzt ${}V(X^{a}-Y^{b})$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt.

???: Universelle Eigenschaft der Monoidringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$ -Algebra und

\varphi \colon M\longrightarrow B

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$ ).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$ - Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

???: Funktorialität im Monoid von Monoidringen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei

\varphi \colon M\longrightarrow N

ein Monoidhomomorphismus.

Dann induziert dies einen ${}R$ - Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow R[N],\,X^{m}\longmapsto X^{\varphi (m)}.$

???: Injektivität und Surjektivität zwischen Monoidringen

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige ${}R$ - Algebrahomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.

???: Erzeugendensysteme für Monoide und Monoidringe

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und $m_{i}\in M,\,i\in I$ , eine Familie von Elementen aus ${}M$ .

Dann bilden die ${}m_{i}$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für ${}M$ , wenn die $X^{m_{i}},\,i\in I$ , ein ${}R$ -Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring ${}R[M]$ bilden.

???: Idealbeschreibung eines Monoidringes

Es sei ${}M$ ein endlich erzeugtes kommutatives Monoid mit einer Darstellung ${}M=\mathbb {N} ^{n}/\sim$ und es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann ist

${}R[M]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X^{\mu }-X^{\nu }{|}\mu \sim \nu \right)}\,.$

Ein Monoidring besitzt also eine Darstellung als Restklassenring zu einem von binomialen Polynomen erzeugten Ideal.

???: Satz über die Überlagerung der Raumgruppe

Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$

dessen Kern gleich

$\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\}$

ist.

Die Abbildung kann explizit (mit $u=a+b{\mathrm {i} }$ und $v=c+d{\mathrm {i} }$ unter der Bedingung $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ ) durch

{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}

realisiert werden.

???: Klassifikationssatz für endliche Untergruppen der

{}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}

Die endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind bis auf Isomorphie

die endlichen zyklischen Gruppen ${}Z_{n}$ ,

die binären Diedergruppen ${}BD_{n}$ , ${}n\geq 2$ ,

die binäre Tetraedergruppe ${}BT$ ,

die binäre Oktaedergruppe ${}BO$ ,

die binäre Ikosaedergruppe ${}BI$ .

???: Invariantenring und Ring der nullten Stufe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$ - graduierte kommutative ${}K$ - Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ von ${}D$ isomorph zu ${}D$ sei.

Dann ist ${}A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${}G$ auf ${}A$ .

???: Vergleichslemma für Invariantenringe

Es sei ${}R\times G\rightarrow R$ eine Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

${}R^{G}\subseteq R^{H}$ .

Sind ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ Untergruppen in ${}G$ mit ${}G=H_{1}\cdot H_{2}$ , so ist
${}R^{H_{1}}\cap R^{H_{2}}=R^{G}\,.$

Ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$ , so operiert die Restklassengruppe ${}G/H$ auf ${}R^{H}$ durch
${}f[\sigma ]:=f\sigma \,.$

Dabei ist

${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

???: Universelle Eigenschaft der Kähler-Differentiale

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$ - Algebra. Dann besitzt der ${}A$ - Modul ${}\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.

Zu jedem ${}A$ -Modul ${}M$ und jeder ${}R$ - Derivation

$\delta \colon A\longrightarrow M$

gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$ - lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow M$

mit ${}\epsilon \circ d=\delta$ .

???: Differentialmodul zum Polynomring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$ .

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie ${}A$ - Modul zur Basis

$dX_{1},dX_{2},\ldots ,dX_{n}.$

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},

gegeben.

???: Relative Differentialsequenz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$ - Algebren und

\varphi \colon A\longrightarrow B

ein ${}R$ - Algebrahomomorphismus.

Dann ist die Sequenz

$\Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}A}\longrightarrow 0$

von ${}B$ -Moduln exakt.

Dabei geht ${}da\otimes b$ auf ${}bd\varphi (a)$ und ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}R}$ ) auf ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}A}$ ).

???: Konormalensequenz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$ - Algebra und ${}I\subseteq A$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}B=A/I$ .

Dann ist die Sequenz

$I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow 0$

von ${}B$ -Moduln exakt.

Dabei geht ${}a\in I$ auf ${}da\otimes 1$ und ${}da\otimes b$ auf ${}bda$ .

???: Kählermodul bei Restklassendarstellung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$ - Algebra, die als

{}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,

gegeben sei.

Dann ist

${}\Omega _{A{|}R}=\bigoplus _{i=1}^{n}AdX_{i}/(dF_{1},\ldots ,dF_{k})\,.$

???: Kählermodul und Tangentialraum

Es sei ${}K$ ein Körper,

{}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,

eine endlich erzeugte ${}K$ - Algebra und ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

{}R=A_{\mathfrak {m}}\,.

Dann ist der Tangentialraum zu ${}V$ in ${}P$ in kanonischer Weise der duale Vektorraum zu ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$ .

???: Kotangentialraum und Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine lokale kommutative ${}K$ - Algebra und es sei die Gesamtabbildung

K\longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}

ein Isomorphismus.

Dann ist die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1,$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$ - Modulisomorphismus.

???: Glatter Punkt, Untergrad und Schnittverhalten mit Geraden

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom mit ${}f(0)=0$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}0$ ist ein glatter Punkt von ${}f$ .

Der Untergrad von ${}f$ ist ${}1$ .

Für eine nichtleere Zariski-offene Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ ist für jede Gerade ${}at$ mit Richtungsvektor ${}a\in U$ die ${}0$ eine einfache Nullstelle des Polynoms ${}f(a_{1}t,\ldots ,a_{n}t)$ .

???: Eigenschaft der Hilbertfunktion

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper ${}R_{0}=K$ und sei ${}M$ ein endlich erzeugter graduierter ${}R$ - Modul.

Dann ist die Hilbertfunktion ${}H_{M}$ von polynomialem Typ.

???: Multiplizität des Polynomringes

Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper

ist ${}1$ .

???: Multiplizität einer homogenen Hyperfläche

Es sei ${}F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom ${}\neq 0$ vom Grad ${}d$ .

Dann ist die Multiplizität von ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich ${}d$ .

???: Hilbert-Samuel-Multiplizität einer Hyperfläche

Es sei

{}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,

ein Polynom ${}\neq 0$ mit dem Untergrad ${}m$ .

Dann ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Hyperflächenringes ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}/(F)$ gleich ${}m$ .

???: Krullscher Hauptidealsatz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}f\in R$ .

Dann besitzt jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ , das oberhalb von ${}(f)$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe ${}\leq 1$ .

???: Allgemeiner Krullscher Hauptidealsatz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ .

Dann besitzt jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ , das oberhalb von ${}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe ${}\leq n$ .

???: Krulldimension des Polynomringes

Der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$

besitzt die Krulldimension ${}n$ .

Jedes maximale Ideal des Polynomringes besitzt die Höhe ${}n$ .

???: Dimension und Transzendenzgrad

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$ - Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$ mit dem Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$ .

Dann stimmt die Dimension von ${}R$ mit dem Transzendenzgrad von ${}Q$ über ${}K$ überein.

???: Dimension der Produktvarietät

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}V$ und ${}W$ affine Varietäten über ${}K$ der Dimension ${}r$ bzw. ${}s$ .

Dann besitzt die Produktvarietät die Dimension ${}r+s$ .

???: Glatt und regulär

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper

{}P\in V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,

ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit dem lokalen Ring

{}R=(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,.

Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn ${}R$ regulär ist.

???: Regulär und Kählermodul

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}R$ die Lokalisierung einer endlich erzeugten ${}K$ - Algebra. Der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ sei isomorph zu ${}K$ .

Dann ist ${}R$ genau dann regulär, wenn der Modul der Kähler-Differentiale frei ist und sein Rang mit der Dimension des Ringes übereinstimmt.

???: Dimensionsverhalten von Durchschnitten in glatten Punkten

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}V$ eine affine Varietät über ${}K$ der Dimension ${}n$ . Es sei ${}P\in V$ ein glatter Punkt und ${}Y,Z\subseteq V$ Untervarietäten der Dimension ${}r$ bzw. ${}s$ .

Dann besitzt jede Komponente ${}W$ des Durchschnitts ${}Y\cap Z$ im Punkt ${}P$ eine Dimension ${}\geq r+s-n$ .

???: Algebraische Struktur des Moduls der Kählerdifferentiale zu glatter Varietät

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine zusammenhängende glatte Varietät über einem vollkommener Körper ${}K$ und es sei ${}R$ der affine Koordinatenring zu ${}V$ .

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ lokal frei von konstantem Rang ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ und insbesondere ein projektiver Modul.

???: Freie Auflösungen von Moduln

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$ -Modul.

Dann besitzt ${}M$ eine freie Auflösung mit endlich erzeugten freien Moduln.

???: Homologische Charakterisierung regulärer Ringe

Für einen lokalen noetherschen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

${}R$ ist regulär.

Jeder endliche ${}R$ -Modul besitzt eine endliche projektive Dimension (und zwar ${}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}$ ).

Der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ besitzt endliche projektive Dimension.

???: Lokalisierung von regulären Ringen

Für einen lokalen regulären Ring ${}R$

ist jede Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ebenfalls regulär.

???: Faktoriell und Primhauptideale

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ genau dann faktoriell, wenn jedes Primideal in ${}R$ der Höhe ${}1$ ein Primhauptideal ist.

???: Regulär und faktoriell

Ein regulärer lokaler Ring

ist faktoriell.

???: Klassifikationssatz für einfache ebene Singularitäten

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.

Dann ist ${}f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.

$x^{k+1}+y^{2}{\text{ mit }}\,k\geq 1,\,{\text{ Typ }}A_{k}.$

$x^{2}y+y^{k-1}{\text{ mit }}\,k\geq 4,\,{\text{ Typ }}D_{k}.$

$x^{3}+y^{4},\,{\text{ Typ }}E_{6}.$

$x^{3}+xy^{3},\,{\text{ Typ }}E_{7}.$

$x^{3}+y^{5},\,{\text{ Typ }}E_{8}.$

???: Klassifikationssatz für einfache Singularitäten

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, ${}n\geq 2$ , eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.

Dann ist ${}f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.

$x^{k+1}+y^{2}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2}{\text{ mit }}\,k\geq 1,\,{\text{ Typ }}A_{k}.$

$x^{2}y+y^{k-1}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2}{\text{ mit }}\,k\geq 4,\,{\text{ Typ }}D_{k}.$

$x^{3}+y^{4}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2},\,{\text{ Typ }}E_{6}.$

$x^{3}+xy^{3}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2},\,{\text{ Typ }}E_{7}.$

$x^{3}+y^{5}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{n-2}^{2},\,{\text{ Typ }}E_{8}.$