Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
und es sei
die
Faser durch
. Das
totale Differential
sei
surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
,
,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
derart, dass
ist und
eine
Bijektion
induziert.
Die Abbildung ist in jedem Punkt
regulär
und für das
totale Differential
von
gilt
Es sei ein
Körper,
der
Polynomring
in
Variablen und sei
der zugehörige
affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist
, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
- Es ist
, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
- Es seien
affin-algebraische Mengen mit
. Dann gilt
Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
-
- Es seien
,
, affin-algebraische Mengen mit
. Dann gilt
-
Es sei ein
Körper.
Dann ist
noethersch.
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
mit dem Polynomring
und dem affinen Raum
.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen
affin-algebraischen Mengen
in und
Radikalidealen
in
.
Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.
In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz
entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale.
Zu einem
simplizialen Komplex
wird die zugehörige Achsenraumkonfiguration als Nullstellenmenge von allen Variablenprodukten zu Nichtseiten beschrieben, also
Dabei kann man sich auf die minimalen Nichtseiten beschränken.
Es sei ein unendlicher Körper und
ein
simplizialer Komplex.
Dann entsprechen die
irreduziblen Komponenten
der
zugehörigen Achsenraumkonfiguration
den
Facetten
von .
Ein Punkt
auf der
Achsenraumkonfiguration
zu einem
simplizialen Komplex
ist genau dann
glatt,
wenn er auf zu einer einzigen Facette
liegt.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
ein
Primideal
in
.
Dann ist die
Lokalisierung
ein
lokaler Ring
mit
maximalem Ideal
Es sei
eine
binomiales Polynom, wobei auf beiden Seiten weder die
noch eine Variable allein stehe.
Dann besitzt die Nullstellenmenge eine Singularität im Nullpunkt.
Es sei ein
Körper,
seien
teilerfremde
Zahlen und sei
das zugehörige
binomiale Polynom.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Das Polynom
ist irreduzibel.
- Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung
-
- Bei
besitzt
eine isolierte Singularität im Nullpunkt.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
ein
kommutatives Monoid.
Es sei
eine kommutative
-Algebra und
ein
Monoidhomomorphismus
(bezüglich der multiplikativen Struktur von ).
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
-
Algebrahomomorphismus
derart, dass das Diagramm
kommutiert.
Es sei ein
kommutativer Ring. Es seien
und
kommutative Monoide und sei
ein Monoidhomomorphismus.
Dann induziert dies einen
-
Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen
Monoidringen
Es sei ein von
verschiedener
kommutativer Ring.
Es seien
und
kommutative Monoide
und sei
ein
Monoidhomomorphismus.
Dann ist genau dann injektiv
(surjektiv),
wenn der zugehörige
-
Algebrahomomorphismus
injektiv
(surjektiv)
ist.
Es sei ein von
verschiedener
kommutativer Ring.
Es sei
ein
kommutatives Monoid
und
, eine Familie von Elementen aus
.
Dann bilden die genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für
, wenn die
, ein
-Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring
bilden.
Es sei ein endlich erzeugtes kommutatives Monoid mit einer Darstellung
und es sei
ein
kommutativer Ring.
Dann ist
Ein Monoidring besitzt also eine Darstellung als Restklassenring zu einem von binomialen Polynomen erzeugten Ideal.
Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
dessen Kern gleich
ist.
Die Abbildung kann explizit
(mit und
unter der Bedingung
)
durch
realisiert werden.
Die endlichen
Untergruppen
der sind bis auf
Isomorphie
- die endlichen
zyklischen Gruppen
,
- die
binären Diedergruppen
,
,
- die
binäre Tetraedergruppe
,
- die
binäre Oktaedergruppe
,
- die
binäre Ikosaedergruppe
.
Es sei ein
Körper,
eine endliche
kommutative Gruppe
und
eine
-
graduierte
kommutative
-
Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe
von
isomorph zu
sei.
Dann ist der
Invariantenring
unter der natürlichen Operation der
Charaktergruppe
auf
.
Es sei
eine
Operation
einer
Gruppe
auf einem
kommutativen Ring
durch
Ringautomorphismen.
Sei
eine
Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.
.
- Sind
und
Untergruppen in
mit
, so ist
-
- Ist
ein Normalteiler in
, so operiert die Restklassengruppe
auf
durch
Dabei ist
-
Es sei ein
kommutativer Ring
und
eine kommutative
-
Algebra.
Dann besitzt der
-
Modul
der
Kähler-Differentiale
die folgende universelle Eigenschaft.
Zu jedem -Modul
und jeder
-
Derivation
gibt es eine eindeutig bestimmte
-
lineare Abbildung
mit
.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
der
Polynomring
in
Variablen über
.
Dann ist der
Modul der Kähler-Differentiale
der
freie
-
Modul
zur
Basis
Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
gegeben.
Es sei ein
kommutativer Ring
und es seien
und
kommutative
-
Algebren
und
ein
-
Algebrahomomorphismus.
Dann ist die Sequenz
von -Moduln
exakt.
Dabei geht auf
und
(in
)
auf
(in
).
Es sei ein
kommutativer Ring,
es sei
eine kommutative
-
Algebra
und
ein
Ideal
mit dem
Restklassenring
.
Dann ist die Sequenz
von -Moduln
exakt.
Dabei geht
auf
und
auf
.
Es sei ein
kommutativer Ring
und es sei
eine kommutative
endlich erzeugte
-
Algebra,
die als
gegeben sei.
Dann ist
Es sei ein
Körper,
eine
endlich erzeugte
-
Algebra
und
ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal
und
Lokalisierung
Dann ist der
Tangentialraum
zu in
in kanonischer Weise der
duale Vektorraum
zu
.
Es sei ein
Körper
und
eine
lokale
kommutative
-
Algebra
und es sei die Gesamtabbildung
ein Isomorphismus.
Dann ist die Abbildung
ein
-
Modulisomorphismus.
Es sei ein
unendlicher Körper
und
ein von
verschiedenes Polynom mit
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein glatter Punkt von
.
- Der
Untergrad
von
ist
.
- Für eine nichtleere
Zariski-offene
Teilmenge
ist für jede Gerade
mit Richtungsvektor
die
eine einfache Nullstelle des Polynoms
.
Es sei ein
standard-graduierter Ring
über einem
Körper
und sei
ein
endlich erzeugter
graduierter
-
Modul.
Dann ist die
Hilbertfunktion
von
polynomialem Typ.
Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper
ist .
Es sei
ein
homogenes Polynom
vom Grad
.
Dann ist die
Multiplizität
von
gleich
.
Es sei
ein Polynom mit dem
Untergrad
.
Dann ist die
Hilbert-Samuel-Multiplizität
des Hyperflächenringes
gleich
.
Es sei ein kommutativer
noetherscher Ring
und
.
Dann besitzt jedes Primideal , das oberhalb von
liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine
Höhe
.
Es sei ein kommutativer
noetherscher Ring
und
.
Dann besitzt jedes
Primideal
, das oberhalb von
liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine
Höhe
.
Der
Polynomring
über einem
Körper
besitzt die
Krulldimension
.
Jedes
maximale Ideal
des Polynomringes besitzt die
Höhe
.
Es sei eine
integre
-
Algebra vom endlichen Typ
über einem
Körper
mit dem
Quotientenkörper
.
Dann stimmt die
Dimension
von mit dem
Transzendenzgrad
von
über
überein.
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
und seien
und
affine Varietäten
über
der
Dimension
bzw.
.
Dann besitzt die
Produktvarietät
die Dimension .
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
ein Punkt der
affin-algebraischen Menge
zum Ideal
mit dem lokalen Ring
Dann ist der Punkt genau dann
glatt,
wenn
regulär
ist.
Es sei ein
vollkommener Körper
und
die
Lokalisierung
einer
endlich erzeugten
-
Algebra.
Der
Restklassenkörper
sei
isomorph
zu
.
Dann ist genau dann
regulär,
wenn der
Modul der Kähler-Differentiale
frei
ist und sein
Rang
mit der
Dimension
des Ringes übereinstimmt.
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
und
eine
affine Varietät
über
der
Dimension
. Es sei
ein
glatter Punkt
und
Untervarietäten der Dimension
bzw.
.
Dann besitzt jede
Komponente
des Durchschnitts
im Punkt
eine Dimension
.
Es sei
eine
zusammenhängende
glatte Varietät
über einem
vollkommener Körper
und es sei
der
affine Koordinatenring
zu
.
Dann ist der
Modul der Kähler-Differentiale
lokal frei
von konstantem Rang
und insbesondere ein
projektiver Modul.
Es sei ein
noetherscher
kommutativer Ring
und
ein
endlich erzeugter
-Modul.
Dann besitzt eine
freie Auflösung
mit endlich erzeugten freien Moduln.
Für einen
lokalen
noetherschen Ring
sind folgende Aussagen äquivalent.
ist regulär.
- Jeder endliche
-Modul besitzt eine endliche projektive Dimension (und zwar
).
- Der
Restklassenkörper
besitzt endliche projektive Dimension.
Für einen
lokalen
regulären Ring
ist jede
Lokalisierung
ebenfalls regulär.
Es sei ein
noetherscher
Integritätsbereich.
Dann ist genau dann
faktoriell,
wenn jedes
Primideal
in
der
Höhe
ein
Primhauptideal
ist.
Ein regulärer lokaler Ring
ist faktoriell.
Es sei
mit
offen
eine
holomorphe Funktion mit einer
einfachen Singularität
im Nullpunkt.
Dann ist
rechtsäquivalent
zu einer der folgenden Funktionen.
Es sei
mit
offen,
,
eine
holomorphe Funktion mit einer
einfachen Singularität
im Nullpunkt.
Dann ist
rechtsäquivalent
zu einer der folgenden Funktionen.