Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion

Satz - Eigenschaften Verteilungsfunktion

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ eine Wahrscheinlichkeitsraum, $X:\Omega \to \mathbb {R}$ eine Zufallsgröße und $P^{X}$ das induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ . Für die Verteilungsfunktion $F(x)=P^{X}((-\infty ,x]),$ mit $x\in \mathbb {R}$ gelten dann folgende Eigenschaften:

(V1) Monotonie: $F$ monoton wachsend (d.h. $x_{0}<x\Longrightarrow F(x_{0})\leq F(x)$ ) mit $0\leq F(x)\leq 1$ für alle $x_{0},x\in \mathbb {R}$ .
(V2) Rechtsseitige Stetigkeit: $\lim _{x\searrow x_{0}}F(x)=F(x_{0})$ für alle $x_{0}\in \mathbb {R}$ .

(V3) Wahrscheinlichkeit von Einpunktmengen: $P^{X}(\{x_{0}\})=F(x_{0})-\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)$ für alle $x_{0}\in \mathbb {R}$ .
(V4) Verhalten gegen Unendlich: $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,$ und $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$

Bemerkungen - Grenzwertnotation

zu (V1): Die Eigenschaft bedeutet, dass die Verteilungsfunktion monoton wachsend, aber nicht streng monoton ist (siehe diskrete Verteilungen).
zu (V2): Für $\lim _{x\searrow x_{0}}F(x)=F(x_{0})$ bezeichnet $x\searrow x_{0}$ den rechtsseitigen Grenzwert mit $x\to x_{0}$ und $x>x_{0}$ bezeichnet.
zu (V3): In $P^{X}(\{x_{0}\})=F(x_{0})-\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)$ bezeichnet $\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)$ mit $x\nearrow x_{0}$ den linksseitigen Grenzwert mit mit $x\to x_{0}$ und $x<x_{0}$ bezeichnet.

Beweis der Eigenschaften (V1)-(V4)

Die Eigenschaften werden unter Verwendung der definierenden Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes geführt.

Beweis (V1) - Monotonie

Seien $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit $x_{1}<x_{2}$ , dann gilt mit der $\sigma$ -Additivität und der Nichtnegativität von $P^{X}$ :

F(x_{2})=P^{X}((-\infty ,x_{2}]){\stackrel {\sigma -Add.}{=}}\underbrace {P^{X}((-\infty ,x_{1}])} _{=F(x_{1})}+\underbrace {P^{X}((x_{1},x_{2}])} _{\geq 0}\geq F(x_{1}),

Die Beschränktheit $0\leq F(x)\leq 1$ für alle $x\in F(x)=P^{X}((-\infty ,x])$ durch Beschränktheit eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $0\leq P^{X}(A)\leq 1$ .

Beweis (V2) - Rechtsseitige Stetigkeit

Um die rechtsseitige Stetigkeit $x\searrow x_{0}$ zu untersuchen, betrachtet man eine beliebige Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\searrow x_{0}$ , die also von rechts monoton fallend gegen $x_{0}$ konvergiert. Man zeigt nun $\lim _{x\searrow x_{0}}F(x)=F(x_{0})$ über die Eigenschaft beliebiger Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\searrow x_{0}$ :

\lim _{n\to \infty }F(x_{n})=F(x_{0})

Beweis (V2.1) - Disjunkte Mengenzerlegung

Über die Darstellung $F(x_{n})=P^{X}((-\infty ,x_{n}])$ betrachtet man folgende disjunkte Zerlegung:

(-\infty ,x_{n}]=(-\infty ,x_{0}]\cup (x_{0},x_{n}]=(-\infty ,x_{0}]\cup \underbrace {\bigcup _{i=n}^{\infty }(x_{i+1},x_{i}]} _{=(x_{0},x_{n}]}

Weil $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ monoton fallend ist, fällt beim Übergang von $n$ nach $n+1$ genau die Menge $(x_{n+1},x_{n}]$ in der abzählbaren Vereinigung weg.

Beweis (V2.2) - Disjunkte Mengenzerlegung

Dabei hat man wiederum $(x_{0},x_{n}]$ weiter über $(x_{0},x_{n}]=\bigcup _{i=n}^{\infty }(x_{i+1},x_{i}]$ in eine Vereinigung von abzälbar vielen disjunkten Teilintervalle $(x_{i+1},x_{i}]$ zerlegt. Die disjunkte Zerlegung ist wesentlich, um die $\sigma$ -Additivität eines Wahrscheinlichkeitsmaßes anwenden zu können.

Beweis (V2.3) - Sigma-Additivät

Dann gilt mit der $\sigma$ -Additivität für alle $x_{0}\in \mathbb {R}$ und $x_{n}\geq x_{0}$ für die monoton fallenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ :

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim _{n\to \infty }F(x_{n})&=&\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{X}((-\infty ,x_{n}])=\underbrace {P^{X}((-\infty ,x_{0}])} _{=F(x_{0})}+\lim _{n\to \infty }P^{X}(\!\!\!\!\!\!\underbrace {(x_{0},x_{n}]} _{=\bigcup _{i=n}^{\infty }(x_{i+1},x_{i}]}\!\!\!\!\!\!)\\&=&\displaystyle F(x_{0})+P^{X}\left(\bigcup _{i=n}^{\infty }(x_{i+1},x_{i}]\right)=F(x_{0})+\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i+1},x_{i}])} _{{\underset {n\to \infty }{\to }}0}\\&=&F(x_{0})\end{array}}

Beweis (V2.4) - Konvergenz des Restgliedes der Reihe

Da die Reihe $\sum _{i=1}^{\infty }P(x_{i+1},x_{i}]=P(x_{0},x_{1}]<\infty$ absolut konvergiert, muss das Restglied der Reihe $\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i+1},x_{i}])$ gegen 0 konvergieren. Da die monoton fallenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beliebig gewählt waren, gilt insgesamt (V2) mit $\lim _{x\searrow x_{0}}F(x)=F(x_{0})$ .

Beweis (V3) - Wahrscheinlichkeit Einpunktmengen

Um die Wahrscheinlichkeit von Einpunktmengen über $P^{X}(\{x_{0}\})=F(x_{0})-\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)$ für alle $x_{0}\in \mathbb {R}$ berechnen zu können, wird die folgende Gleichung gezeigt:

F(x_{0})=P^{X}(\{x_{0}\})+\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)

Man wählt dazu eine beliebige monoton steigende Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , die von links gegen $x_{0}$ konvergiert.

Beweis (V3.1) - disjunkte Zerlegung

Über die Darstellung $F(x_{0})=P^{X}((-\infty ,x_{0}])$ betrachtet man folgende disjunkte Zerlegung mit $x_{1}<x_{0}$ :

{\begin{array}{rcl}(-\infty ,x_{0}]&=&\displaystyle (-\infty ,x_{1}]\cup (x_{1},x_{0})\cup \{x_{0}\}\\&=&\displaystyle (-\infty ,x_{0})\cup \underbrace {\bigcup _{i=1}^{\infty }(x_{i},x_{i+1}]} _{=(x_{1},x_{0})}\cup \{x_{0}\}\\\end{array}}

Durch die die abzählbare disjunkte Vereinigung $\bigcup _{i=1}^{\infty }(x_{i},x_{i+1}]$ mit einer von links gegen $x_{0}$ konvergierende Zahlenfolge alle Zahlen $x$ mit $x_{1}<x<x_{0}$ .

Beweis (V3.2) - disjunkte Zerlegung

Dabei hat man $(x_{1},x_{0})$ weiter über $(x_{1},x_{0})=\bigcup _{i=1}^{\infty }(x_{i},x_{i+1}]$ in eine Vereinigung von abzälbar vielen disjunkten Teilintervalle $(x_{i+1},x_{i}]$ zerlegt. Die disjunkte Zerlegung ist wesentlich, um die $\sigma$ -Additivität eine Wahrscheinlichkeitsmaßes anwenden zu können.

Beweis (V3.3) - Sigma-Additivität

Dann gilt mit der $\sigma$ -Additivität für alle $x_{0}\in \mathbb {R}$ und $x_{n}<x_{0}$ für die monoton steigenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ :

{\begin{array}{rcl}F(x_{0})&=&\displaystyle P^{X}((-\infty ,x_{1}])+P^{X}((x_{1},x_{0}))+P^{X}(\{x_{0}\})\\&=&\displaystyle P^{X}((-\infty ,x_{1}])+\underbrace {\sum _{i=1}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=P^{X}((x_{1},x_{0}))}+P^{X}(\{x_{0}\})\\&=&\displaystyle \underbrace {P^{X}((-\infty ,x_{n}])} _{=F(x_{n})}+\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=P^{X}((x_{n},x_{0}))}+P^{X}(\{x_{0}\})\\\end{array}}

Beweis (V3.4) - Sigma-Additivität

In Beweisschritt (V3.3) wurde in der letzten Gleichung ebenfalls die $\sigma$ -Additivität verwendet.

{\begin{array}{rcl}F(x_{n})&=&\displaystyle P^{X}((-\infty ,x_{n}])=P^{X}((-\infty ,x_{1}])+P^{X}((x_{1},x_{n}])\\&=&\displaystyle P^{X}((-\infty ,x_{1}])+\underbrace {\sum _{i=1}^{n-1}P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=P^{X}((x_{1},x_{n})])}\\\end{array}}

Beweis (V3.5) - Grenzwertprozess

Bttrachtet man nun den Grenzwertprozess für $n\to \infty$ für $x_{0}\in \mathbb {R}$ mit $x_{n}<x_{0}$ für die monoton steigenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ so erhält man:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])&=&P^{X}((x_{1},x_{0}))<\infty \\\end{array}}

Für eine absolut konvergente Reihe muss das Restglied wieder gegen 0 konvergieren, d.h.

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])&=&\displaystyle \underbrace {\sum _{i=1}^{n-1}P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=P^{X}((x_{1},x_{n}))}+\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=P^{X}((x_{n},x_{0})){\underset {n\to \infty }{\to }}0}\end{array}}

Beweis (V3.6) - Grenzwertprozess

Verwendet man die Zerlegung in dem Beweisschritt (V3.3), dann erhält man folgende Gleichung:

{\begin{array}{rcl}F(x_{0})&=&\displaystyle P^{X}((-\infty ,x_{1}])+P^{X}((x_{1},x_{0}))+P^{X}(\{x_{0}\})\\&=&\displaystyle \underbrace {P^{X}((-\infty ,x_{n}])} _{=F(x_{n})}+\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=P^{X}((x_{n},x_{0}))}+P^{X}(\{x_{0}\})\\&=&\displaystyle \lim _{n\to \infty }F(x_{n})+\underbrace {\lim _{n\to \infty }\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{=0}+P^{X}(\{x_{0}\})\\\end{array}}

Beweis (V3.7) - Grenzwertprozess

Da die monoton steigenden und von links gegen $x_{0}$ konvergierenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beliebig gewählt wurden, gilt insgesamt die Gleichung:

F(x_{0})=P^{X}(\{x_{0}\})+\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)

Mit elementarer algebraischer Umformung kann man nun die Wahrscheinlichkeit von Einpunktmengen über $P^{X}(\{x_{0}\})=F(x_{0})-\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)$ für alle $x_{0}\in \mathbb {R}$ über einen linksseitigen Grenzwert berechnen.

Beweis (V4) Verhalten gegen Unendlich

Die beiden Aussagen $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ und $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$ werden jeweils getrennt über die $\sigma$ -Additivität der induzierten Verteilung $P^{X}$ gezeigt.

Beweis (V4.1) Disjunkte Mengenzerlegung

Man wählt eine beliebige streng monoton fallende Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty$ . Man stellt nun für $F(x_{1})=P^{X}((-\infty ,x_{1}])$ die Menge $(-\infty ,x_{1}]$ zunächst als abzählbare disjunkte Vereinigung dar:

(-\infty ,x_{1}]=\bigcup _{i=1}^{\infty }(x_{i+1},x_{i}]

Damit ist die darstellende Reihe absolut konvergent und einem Reihenrestglied, dass gegen 0 konvergiert:

F(x_{1})=P^{X}((-\infty ,x_{1}])=\sum _{i=1}^{\infty }P^{X}((x_{i+1},x_{i}])\leq 1<\infty

Beweis (V4.2) Disjunkte Mengenzerlegung

Wählt man nun eine Partialsumme aus der Darstellung in (V4.1), so erhält man für den Grenzwert der monoton fallenden Folge die Restgliedkonvergenz gegen 0:

F(x_{n})=P^{X}((-\infty ,x_{n}])=\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i+1},x_{i}])\,\,\,\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,\,\,\,0

Da die monoton fallenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty$ beliebig gewählt wurde, gilt auch $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ .

Beweis (V4.3) Disjunkte Mengenzerlegung

Man wählt ein beliebige streng monoton steigende Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty$ . Man stellt nun für $\mathbb {R}$ die Menge $(-\infty ,+\infty )$ als abzählbare disjunkte Vereinigung dar:

{\begin{array}{rcl}(-\infty ,+\infty )&=&\displaystyle (-\infty ,x_{1}]\cup \bigcup _{i=1}^{\infty }(x_{i},x_{i+1}]\\&=&\displaystyle \underbrace {(-\infty ,x_{1}]\cup \bigcup _{i=1}^{n-1}(x_{i},x_{i+1}]} _{=(-\infty ,x_{n}]}\cup \bigcup _{i=n}^{\infty }(x_{i},x_{i+1}]\\\end{array}}

Ein beschränkte Reihe von nicht negativen Wahrscheinlichkeiten.

Beweis (V4.4) Sigma-Additivität

Wendet man das durch die Zufallsgröße $X:\Omega \to \mathbb {R}$ das induzierte Wahrscheinlichkeitmaß $P^{X}$ an, dann erhält man über die $\sigma$ -Additivität Wahrscheinlichkeitsmaßes die folgende Gleichung:

1=P^{X}{\big (}\,\underbrace {(-\infty ,+\infty )} _{=\mathbb {R} }\,{\big )}=P^{X}((-\infty ,x_{1}])+\sum _{i=1}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])

Die rechte Reihe aus Wahrscheinlichkeiten $P^{X}((x_{i},x_{i+1}])$ ist durch 1 beschränkt und damit absolut konvergent. Damit konvergiert das Restglied der Reihe $\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])$ für $n\to \infty$ gegen 0.

Beweis (V4.5) Grenzwertprozess

Verwendet man die zweite disjunkte Zerlegung aus (V4.3) an, kann man die Konvergenz des Restglied gegen 0 für die Grenzwertberechnung verwenden:

{\begin{array}{rcl}1&=&P^{X}{\big (}\,\underbrace {(-\infty ,+\infty )} _{=\mathbb {R} }\,{\big )}\\&=&\displaystyle \underbrace {P^{X}((-\infty ,x_{n}])} _{=F(x_{n})}+\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])} _{{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}0}\\\end{array}}

Beweis (V4.6) Grenzwertprozess

Weil das Restglied gegen 0 konvergiert, muss $F(x_{n})=P^{X}((-\infty ,x_{n}])$ gegen 1 konvergieren und man erhält:

1=\lim _{n\to \infty }P^{X}((x_{i},x_{i+1}])=\lim _{n\to \infty }F(x_{n})

Da die monoton steigenden Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty$ beliebig gewählt wurden, gilt auch $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$ . $\ \ \ \Box$

Beweis (V4.5) Disjunkte Mengenzerlegung

$\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$ werden jeweils getrennt über die $\sigma$ -Additivität der induzierten Verteilung $P^{X}$ gezeigt.

Bemerkung (V3) - diskrete Verteilungen und Einpunktmengen

Trägt eine induzierte Verteilung $P^{X}$ in der Einpunktmenge eine positive Wahrscheinlichkeit $P^{X}(\{x_{0}\})>0$ , dann liefert die Wahrscheinlichkeit von Einpunktmengen über $P^{X}(\{x_{0}\})=F(x_{0})-\lim _{x\nearrow x_{0}}F(x)$ genau die Höhe der "Sprungstellen" in der Verteilungsfunktion $F$ .

Weitere Eigenschaften

Im Folgenden bezeichnen für $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ eines der Intervalle $[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]$ , die abgeschlossen, offen oder halboffen sein können. Wobei im Fall $a=-\infty$ bzw. $b=+\infty$ und im Fall $b=\infty$ bei jeweils einer Grenze zugelassen werden.

Zusammenhang - Wahrscheinlichkeitsmaß - Verteilungsfunktion

Sei $F$ Verteilungsfunktion von dem induzierten Wahrscheinlichkeitsmaß $P^{X}$ der Zufallsgröße $X:\Omega \to \mathbb {R}$ .

$P^{X}((a,b])=F(b)-F(a)$ , inbesondere $P^{X}((-\infty ,b])=F(b)$ .
$P^{X}{\big (}(a,b){\big )}=\lim _{x\nearrow b}F(x)-F(a)$ , inbesondere $P^{X}{\big (}(a,\infty ){\big )}=1-F(a)$ .
$P^{X}{\big (}[a,b]{\big )}=F(b)-\lim _{x\nearrow a}F(x)$ .
$P^{X}{\big (}[a,b){\big )}=\lim _{x\nearrow b}F(x)-\lim _{x\nearrow a}F(x)$ .

Aufgabe für Studierende

Beweisen Sie die obigen Aussagen für den Zusammenhang von Wahrscheinlichkeitsmaß und zugehöriger Verteilungsfunktion in Analogie zu den obigen Beweisschritten im dem Satz zu den Eigenschaften der Verteilungsfunktion.

Stetige Verteilung

Falls die Verteilungsfunktion $F$ bei $a$ stetig ist und $F$ auf dem Intervall $[a,b]$ konstant ist, so ist $P^{X}([a,b])=0$ .

Zusammen mit dem Fortsetzungssatz folgt, dass $P$ durch Vorgabe einer Verteilungsfunktion (d.i. eine Funktion $F(t),t\in \mathbb {R}$ , mit den Eigenschaften (V1), (V2), (V4)) eindeutig festgelegt wird, wenn man setzt $P^{X}((a,b])=F(b)-F(a)$ .

Beispiel - Verteilungsfunktion Exponentialverteilung

Im Fall der Exponentialverteilung aus dem Beispiel 1.5.3, bei der $F(t)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&t<0\\\lambda e^{-\lambda t},&t\geq 0\end{array}}\right.$ ist, stellt man fest, dass $F'=f$ bzw. $F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)dx$ , mit $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x<0\\\lambda e^{-\lambda t},&x\geq 0\end{array}}\right.$ .