Kurs:Stochastik/Konvergenz von Verteilungsfunktionen

Einleitung

Die Lerneinheit behandelt Konvergenz nach Verteilung (auch: Schwache Konvergenz der Verteilungen) und grenzt diese Konvergenz angewendet auf eine Folge von Zufallsgrößen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf die Konvergenz der Verteilungsfunktion $F_{n}$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ der induzierten Wahrscheinlichkeitsmaßen $P^{X_{n}}$ an. Ferner wird ein Beispiel von Zufallsgrößen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ angegeben, das zwar nach Verteilung konvergiert, aber die Folge von Zufallsgrößen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren.

Definition - Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen

Sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen $F_{n}(x):=P^{X_{n}}((-\infty ,x])$ , und sei $X$ eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_{0}(x):=P^{X_{0}}((-\infty ,x])$ .

Definition - Konvergenz nach Verteilung

Eine Folge von reellwertigen Zufallsgrößen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Verteilung gegen eine Zufallsgröße $X_{0}$ (geschrieben $X_{n}{\underset {n\to \infty }{\stackrel {d}{\rightarrow }}}X_{0}$ ) wenn für jede Stetigkeitsstelle $x$ von $F$ gilt:

\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x).

Aufgabe für Studierende

Vergleichen Sie die unterschiedlich starken Konvergenzbegriffe und zeigen Sie an dem Beispiel der folgenden Zufallsgrößen, warum bei diesem Beispiel eine Konvergenz nach Verteilung vorliegt, aber keine Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.

Definition der Zufallsvariablen

Betrachte die Folge von Zufallsvariablen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ mit $\Omega =[-1,+1]$ und $P$ als Rechteckverteilung auf $[-1,+1]$ . Die reellwertige Grenzzufallsvariable $X_{0}$ ist definiert durch die identische Abbildung auf $\Omega$ :

{\begin{array}{rrcl}X_{0}:&[-1,+1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\omega &\mapsto &X_{0}(\omega )=\omega \end{array}}

Alle Zufallsgrößen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ sind für $n\in \mathbb {N}$ gleich definiert mit:

{\begin{array}{rrcl}X_{n}:&[-1,+1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\omega &\mapsto &1-X_{0}(\omega )=1-\omega \end{array}}

Berechnung der Verteilungsfunktionen

Stellen Sie die Verteilungsfunktionen als Graph dar. Plotten Sie diese z.B. mit Maxima CAS oder CAS4Wiki.

Keine Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Zeigen Sie, dass bei der obigen Folge von Zufallsgrößen keine Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit vorliegt.

Siehe auch