Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften

Einleitung

Der Lerneinheit zu den Gesetzen der großen Zahlen werden Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen bzw. Folgen von Zufallgrößen betrachtet, die in den Konvergenzbegriff aus der Analysis im Zusammenhang der Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet. Die stochastischen Konvergenzen sind schwächere Konvergenzeigenschaften als die Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus der Analysis

Hierachie der Konvergenzeigenschaften

Die folgenden Liste gliedert die Konvergenztype angefangen von der stärksten Konvergenzeigenschaft hin zur schwächsten Konvergenzeigenschaft.

K1 - Gleichmäßige Konvergenz

Definition: Eine Folge von Funktionen $f_{n}(x)$ konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion $f_{o}(x)$ auf einem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ , wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $n_{\varepsilon }$ existiert, so dass für alle $n\geq n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ und alle $x\in \mathbb {D}$ gilt:

|f_{n}(x)-f_{o}(x)|<\varepsilon .

K2 - Punktweise Konvergenz

Definition: Eine Folge von Funktionen $f_{n}(x)$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f(x)$ auf einem Intervall $I$ , wenn für jedes $x\in I$ gilt:

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).

K3 - P-fast sichere Konvergenz

Definition: Eine Folge von Zufallsvariablen $X_{n}$ konvergiert $P$ -fast sicher gegen eine Zufallsvariable $X_{o}$ , wenn $P:\Omega \to [0,1]$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ist und die folgenden Bedingung gilt:

P\left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X_{o}\right)=1.

K4 - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Definition: Eine Folge von Zufallsvariablen $X_{n}$ konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable $X_{o}$ , wenn für jedes $\varepsilon >0$ gilt:

\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X_{o}|\geq \varepsilon )=0.

K5 - Konvergenz nach Verteilung

Definition: Eine Folge von Zufallsvariablen $X_{n}$ konvergiert nach Verteilung gegen eine Zufallsvariable $X$ , wenn für jede stetige Funktion $f$ gilt:

\lim _{n\to \infty }E[f(X_{n})]=E[f(X)].

Stärke der Konvergenzeigenschaften

Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden, wobei für (K2)-(K5) jeweils ein Beispiel abgegeben wird, was die stärkere Konvergenzeigenschaft nicht erfüllt:

(K1) Gleichmäßige Konvergenz - Beispiel
(K2) Punktweise Konvergenz - aber nicht gleichmäßig
(K3) $P$ -fast sichere Konvergenz
(K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - aber nicht punktweise
(K5) Konvergenz nach Verteilung - aber nicht nach Wahrscheinlichkeit

Beispiele

Die Unterschiede der oben angegebenen Konvergenzbegriffe werden in einer separaten Lerneinheit behandelt und jeweils Beispiele angegeben, die von starken zu schwachen Konvergenzeigenschaften die Konvergenzdefinitionen ordnet und zu einer schwächeren Konvergenzeigenschaft wird jeweils ein Beispiel angegeben, bei dem

die schwächere Konvergenzeigenschaft erfüllt ist und
die stärkere Konvergenzeigenschaft verletzt ist.

Siehe auch