Kurs:Stochastik/Unfaire Münze

Einleitung

Die Lerneinheit bezieht sich auf eine „verbogene Münze bzw. Unterlegscheibe" und dient als Einführung und Motivation in die Stochastik für das in dem Kurs:Stochastik behandelten Gesetze der großen Zahlen

Faire Münze

In der klassischen Stochastik geht man bei einem Münzwurf in der Regel davon aus, dass das Experiment mit einer idealisierten, fairen Münze durchgeführt wird:

Beide Seiten – Kopf und Zahl – haben jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit und man würde im Mittel erwarten, dass 50% der Ergebnisse "Kopf" und 50% "Zahl" als Ergebnis liefern, also

P({\text{Kopf}})=P({\text{Zahl}})={\frac {1}{2}}_{.}

Der Münzwurf ist dabei eine Spezialfall der Bernoulli-Verteilung.

Verbogene oder unfaire Münze

Doch in der Realität ist eine Münze oft nicht fair, denn durch Abnutzung, Gewichtsunterschiede durch Prägung oder sogar absichtlicher Deformation (z. B. durch Verbiegen) kann eine Münze die Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit verlieren:

P({\text{Kopf}})=p\quad P({\text{Zahl}})=1-p

mit $p\in [0,1]$ . Das bedeutet, dass eine Münzseiten im Mittel häufiger fällt als die andere Seite der Münze.

Beispiel: Experiment mit Unterlegscheiben

Um ein solches Experiment mit einer Gruppe durchführen zu können, kann Unterlegscheiben verwendet, die in einem Schraubstock unterschiedlich stark verbogen wurden. Dann wird jeweils eine Seite der Unterlegscheibe mit einem "K" und "Z" mit einem Stift markiert (Permanentmarker).

Hypothesenbildung

Die Lerngruppe sollte dann vor der Durchführung des Experimentes eine Hypothese aufstellen, welche Seite der Münze bzw. Unterlegscheibe seltener (z. B. die Zahl) bzw. öfter fällt.

Durchführung des Experimentes

Die Münzen/Unterlegscheiben werden bzgl. einer festen Anzahl $n\in \mathbb {N}$ von Versuchswiederholungen geworfen und die absolute Häufigkeit wird notiert.

Unbekannte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ bzw. "Zahl" ist nicht bekannt für die Lernenden und auch für die Lehrperson. Sie könnte mit $0<p<1$ dann

$P({\text{Kopf}})=p$ , für „Zahl“ und
$P({\text{Zahl}})=1-p$ mit $p\not ={\frac {1}{2}}$ gelten.

Gesetze der großen Zahlen kann man nun dafür verwenden, dass man über die Berechnung der relativen Häufigkeiten einen Schätzer für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ erhält.

Zusammenhang zum Gesetz der großen Zahlen

Die Gesetze der großen Zahlen sind ein zentrales Prinzip der Stochastik. Diese besagen:

Wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, dann nähern sich die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse dem "wahren" Wert der Wahrscheinlichkeit an.

Anwendung auf die verbogene Münze:

Es wird nun angenommen, dass die unbekannten Wahrscheinlichkeiten $P({\text{Kopf}})=0{,}6$ , für „Zahl“ $P({\text{Zahl}})=0{,}4$ sind.

Sie werfen Ihre verbogene Münze 10 Mal: Sie könnten z. B. 7-mal „Kopf“ bekommen → relative Häufigkeit: ${\frac {7}{10}}=0{,}7$
Sie werfen sie 100 Mal: Vielleicht 62-mal „Kopf“ → ${\frac {62}{100}}=0{,}62$
Sie werfen sie 1000 Mal: Vielleicht 601-mal „Kopf“ → ${\frac {601}{1000}}=0{,}601$
Sie werfen sie 10.000 Mal: Vielleicht 6003-mal „Kopf“ → ${\frac {6003}{10000}}=0{,}6003$

Stochastische Konvergenz

In Diagrammen, die in Abhängigkeit von der Versuchswiederholung auf der $x$ -Achse dann die relativen Häufigkeiten auf der $y$ -Achse abträgt, erkennt man, dass die relative Häufigkeit sich immer mehr dem wahren Wert $P({\text{Kopf}})=0{,}6$ annähert. Diese Annäherung wird im Gegensatz zur gleichmäßigen bzw. punktweisen Konvergenz in der Analysis durch schwächere stochastische Konvergenzbegriffe ersetzt.

Bemerkung - Schätzer für Wahrscheinlichkeiten

Das Gesetz der großen Zahlen erlaubt es Ihnen, unbekannte Wahrscheinlichkeiten durch lange Versuchsreihen zu schätzen. Dies ist genau bei dem experimentellen Design notwendig, weil die Wahrscheinlichkeit bei einer verbogenen Münze unbekannt ist.

3. Unterlegscheiben als „verbogene Münzen“

Sie können auch Unterlegscheiben (z. B. aus Metall) verwenden, um ein solches Experiment durchzuführen:

Durchführung Experiment

Wählen Sie eine Unterlegscheibe, die nicht symmetrisch ist (z. B. eine mit unterschiedlichem Gewicht auf beiden Seiten).
Markieren Sie eine Seite (z. B. mit einem Stift) als „Kopf“, die andere als „Zahl“.
Stellen Sie eine Hypothese auf, ob die konvexe oder eher die konkave Seite häufiger als Ergebnis fällt.
Werfen Sie die Scheibe mehrfach und notieren Sie, welche Seite oben liegt.
Vergleichen Sie die gemessenen relativen Häufigkeiten für die verwendete Unterlegscheiben mit der Hypothese.

Geometrische Aspekte - konkav - konvex

Die Unsymmetrie der verbogenen Münze/Unterlegscheibe führt durch die unterschiedliche konvexe bzw. konkave Form der Seiten dazu, dass eine Seite systematisch häufiger oben liegt.
Die Wahrscheinlichkeit für die markierte Seite ist damit nicht 0,5, sondern diese entspricht einer unbekannten, aber schätzbaren Größe $p$ .

Hinweis

Sie werden bei dem Verbiegen der Münzen bzw. Unterlegscheiben (z. B. mit einem Hammer im Schraubstock) in der Regel nicht zwei Münzen mit zwei gleichen Deformationen erzeugen damit haben alle Münzen/Unterlegscheiben eine unterschiedliche Wahrscheinlichkeit $p_{k}\not ={\frac {1}{2}}$ . Geometrischen Aspekte sollten qualitativ in die Hypothese eingebracht werden, wie z.B.

die konkave/konvexe Seite der Münze wird in der Regel häufiger fallen,
Je stärker die Deformation der Münze ist, desto stärker weicht der unbekannte Wahrscheinlichkeit bzw. relative Häufigkeit von dem Wert ${\frac {1}{2}}$ ab.

Simulation mit LibreOffice Calc

Um Simulationsdaten zu gewinnen, kann man LibreOffice Calc als Tabellenkalkulation verwenden (siehe Open Educational Resources). Dabei werden Zufallszahlen generiert, die einer Bernoulli-Verteilung genügen. Sie können eine solche Simulation einer verbogenen Münze mit der folgenden Schritt-für-Schritt-Anleitung in LibreOffice Calc erzeugen:

Schritt 1: Zufallszahl erzeugen

Geben Sie in Zelle A1 folgende Formel ein:

=ZUFALLSZAHL()

Diese Funktion erzeugt eine Zufallszahl zwischen 0 und 1.

Schritt 2: Bedingung für „Kopf“ oder „Zahl“

Geben Sie in Zelle B1 folgende Formel ein:

 = WENN(A1<0,6;"Kopf";"Zahl")

→ Dies bedeutet: Wenn die Zufallszahl kleiner als 0,6 ist, wird „Kopf“ ausgegeben. Andernfalls „Zahl“. → Damit simulieren Sie eine Münze mit $P({\text{Kopf}})=0{,}6$ .

Schritt 3: Zeilen kopieren

Ziehen Sie die Formeln in Zelle A1 und B1 nach unten (z. B. bis Zeile 1000).

Schritt 4: Häufigkeiten zählen

In Zelle D1 schreiben Sie: `Kopf`
In Zelle D2 schreiben Sie: `Zahl`
In Zelle E1 geben Sie ein:

=ANZAHLWENN(B:B;"Kopf")

In Zelle E2 geben Sie ein:

=ANZAHLWENN(B:B;"Zahl")

Schritt 5: Relative Häufigkeiten berechnen

In Zelle F1 geben Sie ein:

=E1/1000

In Zelle F2 geben Sie ein:

=E2/1000

Ergebnis: Nach 1000 Würfen sollte die relative Häufigkeit für „Kopf“ etwa 0,6 betragen – genau wie die vorgegebene Wahrscheinlichkeit!

> Tipp: Sie können die Anzahl der Würfe (z. B. 100, 500, 1000) variieren und beobachten, wie die relative Häufigkeit mit steigender Anzahl sich immer mehr der 0,6 annähert.

---

5. Simulation in der Programmiersprache R: Relative Häufigkeiten und Diagramm

In der Programmiersprache R können Sie ebenfalls Simulation durchführen und ein Diagramm erstellen, das das Gesetz der großen Zahlen veranschaulicht.

Beispielcode in R

# Setzen Sie den Zahlenwertes für Reproduzierbarkeit der Ergebnisse - Initialisierung der Zufallsgenerators
set.seed(13423)
# Werden die Zeile "set.seed(...)" auskommentiert, 
# entstehen immer neue Zufallszahlen bei jedem Aufruf

# Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ bei der verbogenen Münze
p_kopf <- 0.6

# Anzahl der Würfe (Sie können die Zahl ändern)
n <- 10000

# Simulieren Sie n Münzwürfe (1 = Kopf, 0 = Zahl)
muenze <- rbinom(n, 1, p_kopf)

# Berechnen Sie die kumulative relative Häufigkeit für „Kopf“
relative_haeufigkeit <- cumsum(muenze) / (1:n)

# Erstellen Sie ein Diagramm
plot(1:n, relative_haeufigkeit, 
type = "l", 
xlab = "Anzahl der Würfe", 
ylab = "Relative Häufigkeit von Kopf",
main = "Gesetz der großen Zahlen: Simulation einer verbogenen Münze",
col = "blue", 
lwd = 1.5)

# Zeichnen Sie die wahre Wahrscheinlichkeit als horizontale Linie
abline(h = p_kopf, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Legende hinzufügen
legend("topright", 
legend = c("Relative Häufigkeit", "Wahre Wahrscheinlichkeit"),
col = c("blue", "red"), 
lty = c(1, 2), 
lwd = c(1.5, 2))

Diagramm als Ergebnis

Die blaue Linie zeigt die relativen Häufigkeiten von „Kopf“ nach 1, 2, 3, ..., n Würfen.
Die rote gestrichelte Linie zeigt die wahre Wahrscheinlichkeit $P({\text{Kopf}})=0{,}6$ .
Mit zunehmender Anzahl der Würfe nähert sich die blaue Linie der roten Linie an.

Experiment - Beweis des Gesetzes

Das Experiment liefert einen experimentellen Zugang zu dem Gesetz der großen Zahlen, bei dem man die stochastische Konvergenz in Aktion sieht. Dies ist aber kein Beweis für das Gesetz der großen Zahlen. Das erfolgt erst durch die Beweis von Aussagen über die stochastische Konvergenz, die wiederum auf Resulaten (wie z.B. der Tschebyscheff-Ungleichung)

Zusammenfassung & Lernziele

Ergebnisse der Lerneinheit:

Eine „verbogene“ Münze hat nicht mehr die gleiche Wahrscheinlichkeit für beide Seiten. Die Wahrscheinlichkeit ist in der Regel unbekannt.
Das Gesetz der großen Zahlen ermöglicht es, unbekannte Wahrscheinlichkeiten durch lange Versuchsreihen zu schätzen.
Sie können Unterlegscheiben durch Verbiegen zu „unfairen“ Münzen machen.
Mit LibreOffice Calc und R können Sie für eine theoretisch unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ Zufallsergebnisse generieren, die der Bernoulli-Verteilung für solche Münzwürfe mti Wahrscheinlichkeit $p$ simulieren und die Stabilität der relativen Häufigkeiten visualisieren.

Erreichte Lernziele

Sie können qualitative den Einfluss einer verbogene Münze auf die Wahrscheinlichkeit erklären.
Sie haben eine Experiment kennen gelernt, das auf die Behandlung der Gesetze der großen Zahlen hinführt und diese anhand von Simulationen veranschaulichen.
Sie können mit ZUFALLSZAHL() und WENN() in Calc sowie mit rbinom() und cumsum() in R eine Simulation erstellen.
Sie können ein Diagramm erstellen, das die Annäherung der relativen Häufigkeit an die wahre Wahrscheinlichkeit zeigt.

Aufgaben für Lernende

1. Simulieren Sie eine Münze mit $P({\text{Kopf}})=0{,}7$ in LibreOffice Calc. Wie stabilisiert sich die relative Häufigkeit? 2. Ändern Sie die Anzahl der Würfe in R auf 100, 1000 und 10.000. Was beobachten Sie? 3. Führen Sie ein echtes Experiment mit einer Unterlegscheibe durch: 100 Würfe, notieren Sie die Ergebnisse, berechnen Sie die relative Häufigkeit. Vergleichen Sie mit der Simulation! 4. Erstellen Sie in R ein Balkendiagramm, das die Häufigkeiten von „Kopf“ und