Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Modultheorie für Vektorraum-Endomorphismen/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{ $K[X]$-Modulstruktur auf $K$-Vektorräumen}
Vektorräume mit fixiertem Endomorphismus tragen eine natürliche Modulstruktur über dem zugehörigen Polynomring.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/fixierter Endomorphismus/Polynomring/Modulstruktur/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{\varphi\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} von $V$.}
\faktfolgerung {Dann ist $V = V_f$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{} über dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} vermittels der
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
\mathdisp {K[X]\times V\longrightarrow V,\left(\sum_{i=0}^n{a_iX^i},v\right )\longmapsto\sum_{i=0}^n{a_i\varphi^i(v)}} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen für $V$ über
\mathl{K[X]}{} die Eigenschaften eines Moduls nachweisen. Die additive
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist die selbe wie im
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
Es seien nun
\mathl{P=\sum_{i=0}^n{a_iX^i},Q=\sum_{j=0}^n{b_jX^j}\in K[X]}{} und
\mathl{u,v\in V}{.} Die gewünschte Eigenschaften der Skalarmultiplikation zeigen sich wie folgt:
\aufzaehlungvier{
\mathl{P(Qu) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i\left (\sum_{j=0}^nb_j\varphi^j(u)\right ) = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na_ib_j\varphi^{i+j}(u) =(PQ)(u)}{,}
}{
\mathl{P(u+v) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(u+v) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(u) + \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(v) = (Pu) + (Pv)}{,}
}{
\mathl{(P+Q)u = \sum_{i=0}^n(a_i+b_i)\varphi^i(u) = \sum_{i=0}^na_i\varphi^i(u) +\sum_{i=0}^nb_i\varphi^i(u) = (Pu)+ (Qu)}{,}
}{
\mathl{1u = 1\varphi^0(u) =
\operatorname{Id}(u) = u}{.}
}
\zwischenueberschrift{
Minimalpolynom, charakteristisches Polynom}
Bezüglich des Moduls $V=V_f$ ist die Menge aller
\mathl{V_f}{} annullierenden Polynome das
\definitionsverweis {Annullatorideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f}{.} Weil
\mathl{K[X]}{} nach
Satz 3.18
ein Hauptidealbereich ist, wird
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f}{} von einem Polynom erzeugt. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{f\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
für den
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f \neq 0}{} ist.
Dann heißt das eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {normierte}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{\mu_f\in K[X]}{} minimalen
\definitionsverweis {Grades}{}{}
mit
\mathdisp {\mu_f(f) = 0} { }
das
\definitionswort {Minimalpolynom}{}
von $f$.
}
Das Minimalpolynom erzeugt
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f}{.}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {charakteristische Polynom}{}
von $M$.
}
Aufgrund des Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und ihren bezüglich einer Basis beschreibenden Matrizen lässt sich das charakteristische Polynom auch für einen Endomorphismus definieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{f\in\operatorname{End}_KV}{} ein Endomorphismus. Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} einer
\definitionsverweis {beschreibenden Matrix}{}{} von
\mathl{f}{} heißt
\definitionswort {charakteristisches Polynom}{} von
\mathl{f}{.}
}
Diese beiden Polynome, Minimalpolynom und charakteristisches Polynom, die stark mit $f$ in Zusammenhang stehen, stehen auch stark miteinander in Zusammenhang, wie folgende Sätze zeigen sollen. Nach dem
Satz von Cayley-Hamilton
annulliert das charakteristische Polynom den Modul
\mathl{V_f}{.} Daher ist direkt schon mal klar, dass das Minimalpolynom
\mathl{\mu_f}{} das charakteristische Polynom
\mathl{\chi_f}{} teilt.
\inputfaktbeweis
{Lineare_Algebra/Endomorphismus/V_f_zyklisch_gdw_Charakteristisches_Polynom_gleich_Minimalpolynom/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{f\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} über einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} und
\definitionsverweis {charakteristisches Polynom}{}{} von $f$ stimmen genau dann überein, wenn
\mathl{V=V_f}{} als
$K[X]$-\definitionsverweis {Modul}{}{} zyklisch ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mathl{V_f}{} zyklisch ist bedeutet das, dass es ein
\mathl{v\in V_f}{} gibt derart, dass die
\mathl{f^i(v), i\in \N}{} den Vektorraum $V$ erzeugen.
\mathl{\mu_f}{} definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der
\mathl{f^i}{,} also bilden
\mathdisp {v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v)} { }
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, wenn $n$ der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mathl{\mu_f}{} ist. Da die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $V$ aber auch der Grad von
\mathl{\chi_f}{} ist und
\mathl{\chi_f}{} nach
dem Satz von Cayley-Hamilton
ein Vielfaches von
\mathl{\mu_f}{} ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.
Es sei umgekehrt
\mathl{\mu_f = \chi_f}{.} Es sei
\mathl{\mu_f = P_1^{e_1}\cdots P_k^{e_k}}{} die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil
\mathl{\mu_f}{} das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor
\mathl{P_i, i\in\{1,\ldots,k\}}{,} einen Vektor
\mathl{x_i\in V}{,} der von
\mathl{\mu_f}{} annulliert wird, nicht jedoch von
\mathl{\mu_f' = \frac{\mu_f}{P_i}}{.} Andernfalls wäre nämlich
\mathl{\mu_f'}{} ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.
Für
\mathl{x=x_1 + \cdots + x_k}{} gilt dann
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V = \operatorname{Ann}_{K[X]}(x)}{.} Wir behaupten nun, dass
\mathl{V_f}{} als
$K[X]$-\definitionsverweis {Modul}{}{} von $x$ erzeugt wird. Denn wegen
\mathl{\mu_f=\chi_f}{} ist die Dimension von $V$ gleich dem Grad $n$ von
\mathl{\mu_f}{.}
\mathdisp {x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)} { }
ist daher ein
$K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$, womit
\mathl{V_f}{} zyklisch ist.
\inputfaktbeweis
{Lineare_Algebra/Endomorphismus/Charakteristisches_Polynom/Minimalpolynom/Selbe_Primteiler/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{f\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} mit dem
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
\mathl{\chi_f}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{Ann_{K[X]}V_f \neq 0}{,} es gibt also insbesondere ein
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_f}{.}}
\faktzusatz {Außerdem haben
\mathl{\mu_f}{} und
\mathl{\chi_f}{} die selben Primfaktoren (im Allgemeinen aber mit unterschiedlichen Exponenten).}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
dem Satz von Cayley-Hamilton
liegt das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
in
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f}{.} Damit ist das charakteristische Polynom auch ein Vielfaches des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{,}
welches
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f}{} erzeugt.
Wir haben in
Satz 4.9
gezeigt, dass sich $V_f$ als direkte Summe zyklischer Moduln
\mathl{U_i,i\in I}{} darstellen lässt, wenn ein Minimalpolynom existiert. Dies lässt sich hier anwenden.
Außerdem gilt nach
Satz 5.5 für die
$K[X]$-\definitionsverweis {Moduln}{}{,} die sich aus den Einschränkungen von $f$ auf die zyklischen Untermoduln ergeben, dass hier jeweils
\mathl{\mu_{f{{|}}U_i} = \chi_{f{{|}}U_i}}{} ist. Es gilt nun, dass
\mathl{\chi_f}{} das Produkt
\mathl{\prod_{i\in I}\chi_{f{{|}}U_i} = \prod_{i\in I}\mu_{f{{|}}U_i}}{} teilt.
\mathl{\mu_{f{{|}}U_i}}{} muss aber für alle
\mathl{i\in I}{} ein Teiler von $\mu_f$ sein, da
\mathl{\mu_f}{} trivialerweise auch den Untermodul
\mathl{U_i\subseteq V_f}{} annulliert. Deshalb muss jeder Primteiler in
\mathl{\chi_f}{} auch in
\mathl{\mu_f}{} vorkommen.
Die folgenden beiden Lemmata beschreiben das Verhalten des Minimalpolynoms im Zusammenhang mit Unterräumen.
\inputfaktbeweis
{Lineare_Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/kgV von Minimalpolynomen auf invarianten Unterräumen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{f\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Vektorraumendomorphismus}{}{}
und
\mathl{V}{} die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mathl{V=\bigoplus_{i\in I}V_i}{,} wobei für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mathl{f(V_i)\subseteq V_i}{.}}
\faktfolgerung {$f$ besitzt genau dann ein nichttriviales annullierendes Polynom, wenn alle Einschränkungen
\mathl{f{{|}}V_i, i\in I}{,} nichttriviale annullierende Polynome besitzen.
In diesem Fall gilt
\mathdisp {\mu_f =\operatorname{kgV}\left (\mu_{f{{|}}V_i},i\in I\right )} { , }
wobei $\operatorname{kgV}$ das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} in $K[X]$ bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es gilt
\mathl{\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f \neq 0}{} genau dann, wenn es ein nichttriviales annullierendes Polynom von $f$ gibt und genau dann, wenn $f$ ein
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
besitzt. Daher lässt sich die Behauptung mittels Lemma 3.5
auf die Situation in
Lemma 2.4
zurückführen:
\mathdisp {\operatorname{Ann}_{K[X]}V_f = \bigcap_{i\in I}\operatorname{Ann}_{K[X]}V_{if}} { . }
\inputfaktbeweis
{Lineare_Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Zusammenhang zu Minimalpolynomen auf Unterraum und Restklassenraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{f\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Vektorraumendomorphismus}{}{} und $U$ ein Unterraum in $V$ mit
\mathl{f(U)\subseteq U}{.} Des weiteren sei $g$ der von $f$ auf
\mathl{V/U}{} mittels der
\definitionsverweis {kanonischen Projektion}{}{} $p$ induzierte Endomorphismus. Es soll also gelten
\mathl{p(f(v)) = g(p(v))}{.}}
\faktfolgerung {$f$ hat genau dann einen nichttrivialen Annullator, wenn sowohl die Einschränkung
\mathl{f{{|}}U}{} als auch der induzierte Endomorphismus $g$ jeweils einen nichttrivialen Annullator haben.
Außerdem gilt in diesem Fall für die
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{} die Beziehung $\mu_f$ ist ein Vielfaches von $\mu_{f{{|}}U}$ und von $\mu_{g}$ und teilt das Produkt
\mathl{\mu_{f{{|}}U}\cdot\mu_{g}}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 2.5, denn das dort gezeigte lässt sich hier als
\mathdisp {(\operatorname{Ann}_{K[X]}U_f)\cdot(\operatorname{Ann}_{K[X]}(V/U)_g)\subseteq \operatorname{Ann}_{K[X]}V_f\subseteq \operatorname{Ann}_{K[X]}U_f\cap\operatorname{Ann}_{K[X]}(V/U)_g} { }
verwenden.
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen auf Vektorräumen und abelsche Gruppen}
Nach
Beispiel 1.7 sind abelsche Gruppen Moduln über dem Hauptidealbereich $\Z$ und nach
Lemma 5.1 sind Vektorräume über $K$ mit festem linearen Operator Moduln über dem Hauptidealbereich
\mathl{K[X]}{.}
Viele Resultate und Begriffe in der einen Anwendung haben daher Entsprechungen in der Anderen und umgekehrt. Um eine weitere Perspektive auf die zwei oben behandelten Sätze über die Beziehung von charakteristischem Polynom und Minimalpolynom zu vermitteln, sollen entsprechende Sätze für abelsche Gruppen wiederholt werden. Dem Minimalpolynom entspricht hier der Exponent einer Gruppe und dem charakteristischen Polynom die Gruppenordnung.
\inputdefinition
{}
{
Der \definitionswort {Exponent}{}
\mathl{\exp { \left( G \right) }}{} einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}
Analog zu
Satz 5.6 gilt folgender Satz.
\inputfakt{Kommutative_Gruppentheorie/Exponent/Gruppenordnung/Selbe_Primteiler/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei G eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann haben der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{} und die Gruppenordnung
\mathl{\operatorname{ord}(G)}{} die selben
\definitionsverweis {Primfaktoren}{}{} (im Allgemeinen mit verschiedenen Exponenten). Es ist
\mathl{\operatorname{ord}(G)}{} ein Vielfaches von
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Analog zu
Satz 5.5
gilt folgender Satz.
\inputfakt{Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Exponentenkriterium/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp} (G)
}
{ = }{ \operatorname {ord} { { \left( G \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{} den
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
der Gruppe bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Dies könnte noch weiter geführt werden, soll hier aber um eine Vorstellung zu vermitteln so erst einmal genügen.
\zwischenueberschrift{Eigentheorie}
In
Beispiel 4.6 wurde schon erwähnt, dass die
$(X-a)$-\definitionsverweis {Sockel}{}{} gerade die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $a$ sind. Über
\mathl{{\mathbb C}}{} sind alle normierten
\definitionsverweis {Primpolynome}{}{} lineare Polynome der Form
\mathl{X-a}{,} weil aufgrund des
Fundamentalsatzes der Algebra alle nichtkonstanten Polynome in Linearfaktoren zerfallen.
Viele Endomorphismen operieren jedoch natürlicherweise in
$\R$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} und nicht in
\mathl{{\mathbb C}}{-}Vektorräumen. Der folgende Satz macht klar, dass es in diesem Fall hilfreich und unproblematisch ist, Eigenwerte in
\mathl{{\mathbb C}}{} zu bestimmen, auch um das Verhalten in
\mathl{\R}{} zu studieren. Dazu ist es natürlich nötig einen Vektorraum $V$ und einen
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} $f$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ auch über einem
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{} $L$ interpretieren zu können. Dazu kann man zum Beispiel einfach eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{x_i,i\in I}{,} von
\mathl{V}{} nehmen und
\mathl{V_{(L)}:=\bigoplus_{i\in I}Lx_i}{} als den Vektorraum definieren, der entsteht, wenn man
\mathl{x_i,i\in I}{,} als $L$-Basis versteht. Eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} von
\mathl{f}{} in
\mathl{V}{} bestimmt dann auch
\mathl{f_{(L)}}{} in
\mathl{V_{(L)}}{.} Die Wahl der Basis ist dabei irrelevant, da man durch eine Abbildung, die einen
\definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} in
\mathl{V}{} beschreibt, auch einen entsprechenden Basiswechsel in
\mathl{V_{(L)}}{} bekommt. Auf diese Weise wird aus dem
\mathl{\R^n}{} über
\mathl{{\mathbb C}}{} zum Beispiel der
\mathl{{\mathbb C}^n}{.}
Zunächst ein Lemma, das im Beweis verwendet wird.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Kern_von_Polynom_gleich_direktem_Produkt_der_Primärkomponenten_von_Primteilern/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und $f\in \operatorname{End}_KV$ ein fixierter
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{P\in K[X]}{} ein von Null verschiedenes Polynom mit der Primfaktorzerlegung
\mathl{P=P_i^{e_i}\cdots P_r^{e_r}}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mathdisp {\operatorname{Kern}\left (P(f) \right ) = \bigoplus_{i=1}^rV_f^{e_i}(P_i)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der
\mathl{\operatorname{Kern}\left (P(f) \right )}{} ist selbstverständlich im Torsionsuntermodul
\mathl{\operatorname{t}V_f}{} enthalten und zerfällt, weil
\mathl{PV(p)\subseteq V(p)}{} für alle Primpolynome
\mathl{p}{,} in die direkte Summe der Untermoduln
\mathdisp {\operatorname{Kern}\left (P(f) \right )\cap V(p) = \left \{x\in V_f{{|}}p(f)(x) = 0 \text{ und } P(f)(x) = 0\right \}} { . }
Dies ist
\mathl{V^{e_i}(P_i)}{,} immer wenn
\mathl{p=P_i}{} für ein
\mathl{i\in\{1,\ldots,r\}}{} und $0$ sonst.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{K\subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\mathl{V}{} ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit der zugehörigen Erweiterung
\mathl{V_{(L)}}{} als $L$-Vektorraum. Es sei
\mathl{f\in \operatorname{End}_KV}{} ein fixierter Endomorphismus.}
\faktvoraussetzung {Des weiteren sei
\mathl{P\in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {Primpolynom}{}{,}welches in
\mathl{L[X]}{} die
\definitionsverweis {kanonische Primfaktorzerlegung}{}{}
\mathdisp {P = P_1^{e_1}\cdots P_k^{e_k}} { }
besitzt.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die Primärkomponenten der Zusammenhang
\mathdisp {V_f^n(P)_{(L)} = \bigoplus_{i=1}^k{V}_{f_{(L)} }^{ne_i}(P_i)} { }
für alle
\mathl{n\in \N}{} und damit auch
\mathdisp {V_f(P)_{(L)} = \bigoplus_{i=1}^k{V }_{f_{(L)} }(P_i)} { . }
}
\faktzusatz {Es folgt außerdem, dass ein normiertes Primpolynom
\mathl{P'}{} genau dann ein Eigenpolynom von
\mathl{f_{(L)}}{} ist, wenn es ein Eigenpolynom von
\mathl{f}{} teilt.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{g\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.} Wir behaupten die Identität:
\mathl{(\operatorname{Kern} g)_{(L)} = \operatorname{Kern}(g_{(L)})}{}
Zum Beweis: Fixieren wir eine Basis von
\mathl{V}{} bzw.
\mathl{V_{(L)}}{.} Weil
\mathl{g}{} und
\mathl{g_{(L)}}{} durch die selben Matrizen beschrieben werden, lassen sich die Kerne als Unterräume jeweils durch die selben Basen erzeugen. Dadurch folgt die Behauptung.
Der Rest ist nach
Lemma 5.12 mit
\mathl{P^n = P_1^{ne_1}\cdots P_k^{ne_k}}{} ganz einfach:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^n(P)_{(L)}
}
{ =} {\left(\operatorname{Kern} P^n(f)\right ) _{(L)}
}
{ =} {\operatorname{Kern} \left (P^n(f_{(L)})\right )
}
{ =} {\bigoplus_{i=1}^kV_{(L)}^{ne_i}(P_i)
}
{ } {
}
}
{}{}{.} Damit folgt auch die Aussage für
\mathl{V(P)_{(L)}}{} und der Zusatz.