Kurs:Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Information/Inhalt

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Topologie ist die Lehre vom Raum an sich, ohne schmückendes Beiwerk wie lineare, differenzierbare oder metrische Strukturen. Sie wird in vielen anderen mathematischen Gebieten (Funktionalanalysis, algebraische Geometrie, Differentialgeometrie, dynamische Systeme, K-Theorie) verwendet, aber auch in nicht-mathematischen Disziplinen. Grob gesprochen ist Topologie hilfreich, sobald Konzepte wie "Umgebung" und "Stetigkeit" relevant sind.

Die Vorlesung ist eine Einführung in die Topologie. Anhand des Begriffs der stetigen Abbildung auf offenen Teilmengen des euklidischen Raumes wird das Konzept des topologischen Raumes entwickelt. Weitere in dem Zusammenhang relevante Begriffe sind Zusammenhang, Kompaktheit und Umgebung. Ausgehend vom anschaulichen Vorgang des Deformierens wird anschließend die Fundamentalgruppe behandelt und mit ihrer Hilfe einige interessante Sätze bewiesen. Hier ist eine Auswahl: Fundamentalsatz der Algebra (jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt eine Nullstelle), Satz von Borsuk-Ulam (es gibt gegenüberliegende Punkte auf der Erdoberfläche mit gleicher Temperatur und gleichem Luftdruck), Satz von Kurosh (die Untergruppe einer freien Gruppe ist frei).