Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel - T-Algebra

Einleitung

Die Lerneinheit analysiert eine topologische Algebra, die weder lokalkonvex noch pseudokonvex ist. Dazu wird zunächst ein topologischer Vektorraum betrachtet, der weder lokalkonvex noch pseudokonvex ist und dann als topologische Algebra erweitert, die eine stetige Multiplikation besitzt.

Vorgehen - Beispielkonstruktion

Als Grundraum wird der Folgenraum $V:=\ell _{0}(\mathbb {R} )$ bzgl. einer Nullfolge $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ betrachtet, dessen Nullumgebungen durch eine topologieerzeugenden ${\mathfrak {p}}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ erzeugt wird. $V$ ist Teilmenge des Folgenraum $c_{o}(\mathbb {R} )$ der reellwertigen Nullfolgen. Man erzeugt mit ${\mathfrak {p}}$ nun einer Sequenz $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ von kreisförmigen Nullumgebungen, die die Eigenschaft $U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}$ erfüllt.

Stetigkeit der Vektorraumverknüpfungen

Die Kreisförmigkeit Nullumgebungen garantiert die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und die Eigenschaft $U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}$ garantiert die Stetigkeit der Addition.

Topologie nicht pseudokonvex

Die ${\mathfrak {p}}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ erzeugte Nullumgebungsbasis $\{U_{n}\,:\,n\in \mathbb {N} _{0}\}$ von kreisförmigen Nullumgebungen sind nicht pseudokonvex bzw. lokal unbeschränkt.

Definition des Folgenraumes

Ziel ist, eine topologischen Vektorraum $(V,\|\cdot \|_{\mathbb {N} _{0}})$ als Folgenraum eines Vektorraum von reellwertigen Folgen zu definieren, wobei die Gaugefunktionale keine Quasihalbnormen sind und das Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} _{0}}$ die folgende Eigenschaft für die Stetigkeit der Addition erfüllt:

${\underset {n\in \mathbb {N} _{0}}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {x,y\in V}{\forall }}\,\,\,\,\|x+y\|_{n}\leq \|x\|_{n+1}+\|y\|_{n+1}$

Definition des Folgeraumes

Die Teilmenge der $\ell _{0}\left(\mathbb {R} ,(p_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} _{0}}}\right)$ wird über eine streng monoton fallende Nullfolge $(p_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} _{0}}}\subseteq c_{o}(\mathbb {R} )$ definiert. Für die konkrete Wahl als $\ell _{0}$-Raum wird $p_{k}$ z.B. über eine positive Zahl $p$ mit $0<p<1$ mit $p_{_{k}}:={\frac {p}{k}}$ oder $p_{_{k}}:=p^{k}$ definiert:

$\ell _{0}\left(\mathbb {R} ,(p_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} _{0}}}\right):=\left\{(x_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} }}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}<\infty \right\}.$

Die Folge $(p_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist eine streng monoton fallende Nullfolge und erfüllt damit die Anforderungen für einen $\ell _{0}(\mathbb {R} )$-Raum.

Folgenraum Teilmenge der Nullfolgen 1

Die Folgen $x:=(x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ aus $\ell _{0}(\mathbb {\mathbb {R} } )$ bzgl. $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ sind Nullfolgen und es gilt für alle

$\ell _{0}{\big (}\mathbb {R} ,(p_{k})_{k\in \mathbb {N} }{\big )}\subsetneq c_{o}(\mathbb {R} ).$

Dieses Eigenschaft ergibt sich aus der Konvergenz der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}<\infty$, denn dann muss es eine Indexschranke $k_{0}\in \mathbb {N}$, ab der $|x_{k}|<1$ für alle $k\geq k_{0}$. Ansonsten wäre die Reihen aus $\ell _{0}(\mathbb {\mathbb {R} } )$ divergent.

Folgenraum Teilmenge der Nullfolgen 2

Die Summanden der Reihe $|x_{k}|^{p_{k}}$ können folgende Abschätzung für alle $k\geq k_{0}$ mit $0<p<1$ nach unten abgeschätzt werden:

${\underbrace {|x_{k}|} _{<1}}^{p_{k}}=\underbrace {|x_{k}|^{p_{k}}} _{<1}\geq |x_{k}|^{p}>|x_{k}|$

Aus der Konvergenz der Reihe für $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ in $\ell _{0}{\big (}\mathbb {R} ,(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\big )}$ folgt auch, dass $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \ell _{1}(\mathbb {R} )\subseteq c_{0}(\mathbb {R} )$ liegt und damit für $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ auch $\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|<\infty$ gilt und zugleich auch eine Nullfolge sein muss (siehe Folgenräume).

Definition topologieerzeugender Funktionale

Man definiert nun folgende Funktion für $x=(x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}$:

${\begin{array}{rrcl}{\mathfrak {p}}:&\ell _{0}{\big (}\mathbb {R} ,(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\big )}&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&x&\mapsto &{\mathfrak {p}}(x)={\mathfrak {p}}{\big (}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }{\big )}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}\end{array}}$

mit $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{o}(\mathbb {R} ^{+})$ streng monoton fallend.

Bemerkung - Hausdorff-Raum

In diesem Fall wurde $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{o}(\mathbb {R} ^{+})$ streng monoton fallend gewählt. Man kann die Eigenschaft auf beliebige Folgen $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{o}(\mathbb {R} _{o}^{+})$ abschwächen. Dann ist der topologische Vektorraum allerdings kein Hausdorff-Raum mehr, wenn z.B. ein $k_{o}\in \mathbb {N} _{0}$ mit $p_{k_{o}}=0$ existiert. In dieser $k_{o}$-ten Komponente der Folge kann die Topologie die Punkte/Folgen nicht mehr trennen.

Nullumgebungen - Stetigkeitssequenz

Für eine Stetigkeitssequenz der Addition benötigt man Sequenz von $(U_{n})_{k\in \mathbb {N} }$ von Nullumgebungen. Die erste Nullumgebung $U_{0}$ wird dabei wie folgt definiert:

$U_{0}:=\left\{(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}<1\right\}=\{x\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,{\mathfrak {p}}(x)<1\}$

Für die Exponenten wird $p_{k}>0$ festlegt, damit der topologische Vektorraum eine Hausdorff-Raum ist. Die Eigenschaft, dass Folge $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Nullfolge ist führt dazu, dass die Topologie nicht pseudokonvex sein kann.

Wahl der Potenzfolge

Argumentation für die Stetigkeit der Addition kann unabhängig von der konkreten Wahl der $p_{k}$ erfolgen, solange $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Nullfolge ist und eine Teilfolge $(p_{k_{i}})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ existiert, wobei für die Folgenglieder $p_{k_{i}}>0$ ist. Ansonsten könnte die Topologie trotzdem pseudokonvex sein.

Sequenz von Nullumgebungen für die Addition

Man definiert nun eine Sequenz von Nullumgebung $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$, die folgende Eigenschaften besitzt:

• $U_{n}$ ist kreisförmig für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$,
• $U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Für diese $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ definiert nun eine Folge von absolut homogene Funktionen als Minkowski-Funktionale.

Sequenz der Nullumgebungen

Nun werden die Nullumgebung $U_{n}$ in Abhängigkeit von der Funktion ${\mathfrak {p}}$ definiert, wobei die Zugehörigkeit von $x$ zu der Nullumgebung $U_{n}$ über ${\mathfrak {p}}(x)<2^{-n}$ festgelegt wird.

$U_{n}:=\left\{(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}<{\frac {1}{2^{n}}}\right\}=\{x\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,{\mathfrak {p}}(x)<2^{-n}\}$

Stetigkeitssequenz der Addition

Damit aus $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Stetigkeitssequenz der Addition erzeugt werden kann, muss folgende Teilmengenbeziehung nachgewiesen werden:

$U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}.$

Stetigkeitskonstante der Addition

Die einzelnen Beträge in den Summanden $|\cdot |^{p_{k}}$ besitzen die folgenden Stetigkeitskonstanten der Addition $K_{k}:=2^{{\frac {1}{p_{k}}}-1}$ und es gilt:

$\left(|\alpha |^{p_{k}}+|\beta |^{p_{k}}\right)^{\frac {1}{p_{k}}}\leq K_{k}\cdot {\big (}|\alpha |+|\beta |{\big )}$

Minkowski-Funktional

Wenn die Nullumgebungen $U_{n}$ kreisförmig sind, dann ist die zugehörigen Minkowski-Funktionale auch absolut homogen. Diese sind dann wie folgt definiert:

${\begin{array}{rrcl}\|\cdot \|_{_{n}}:&\ell _{0}\left(\mathbb {R} ,\left(p_{_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\left(x_{_{k}}\right)_{_{k\in \mathbb {N} }}&\mapsto &\left\|\left(x_{_{k}}\right)_{_{k\in \mathbb {N} }}\right\|_{n}=\inf \left\{\lambda >0\,:\,\left(x_{_{k}}\right)_{_{k\in \mathbb {N} }}\in \lambda \cdot U_{n}\right\}\end{array}}$

Die Folge der $U_{n}$ entsteht ebenso wie $U_{0}$ durch das topologieerzeugende Funktional ${\mathfrak {p}}$ mit dem Faktor $2^{-n}<1$. Da die Nullumgebung kreisförmig sind, sind alle $\|\cdot \|_{n}$ absolut homogen und damit Gaugefunktionale für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Stetigkeit der Addition 1

Seien $x,y\in U_{2}$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist nun, dass die Folgen $x+y\in U_{1}$ liegen. Man verwendet dazu die pseudokonvexe Dreiecksungleichung für den Betrag $|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}$ für beliebige $p$ $0<p<1$.

Abschätzungen 1

Seien nun $x=(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in U_{0}$ und $y=(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in U_{0}$ beliebig gewählt, dann kann man die Reihe wie folgt abschätzen:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\mathfrak {p}}(x+y)&=&\displaystyle {\mathfrak {p}}{\big (}(x_{k}+y_{k})_{k\in \mathbb {N} }{\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}+y_{k}|^{p_{k}}\\&{\stackrel {\Delta UG}{\leq }}&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}+|y_{k}|^{p_{k}}\\&\leq &\displaystyle \underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}} _{<{\frac {1}{2}}}+\underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }|y_{k}|^{p_{k}}} _{<{\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1\\\end{array}}$

Damit wurde gezeigt, dass die Reihen $\displaystyle x+y\in U_{0}$ liegt, wenn $x,y\in U_{1}$ gilt.

Abschätzungen 2

Seien nun allgemein $x=(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in U_{n+1}$ und $y=(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in U_{n+1}$ beliebig gewählt, dann kann man die Reihe analog für beliebige $n\in \mathbb {N} _{0}$ abschätzen:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\mathfrak {p}}(x+y)&=&\displaystyle {\mathfrak {p}}{\big (}(x_{k}+y_{k})_{k\in \mathbb {N} }{\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}+y_{k}|^{p_{k}}\\&{\stackrel {\Delta UG}{\leq }}&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}+|y_{k}|^{p_{k}}\leq \underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|^{p_{k}}} _{<2^{-(n+1)}}+\underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }|y_{k}|^{p_{k}}} _{<2^{-(n+1)}}\\&<&\displaystyle 2^{-(n+1)}+2^{-(n+1)}=2\cdot 2^{-(n+1)}\,\,\,{\stackrel {PG}{=}}\,\,\,2^{-n}\\\end{array}}$

Damit wurde gezeigt, dass die Reihen $x+y\in U_{n}$ liegt, wenn $x,y\in U_{n+1}$ gilt. Damit erhält man $U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}$.

Topologisierungslemma 1

Mit der Anwendung des Topologisierungslemmas erhält man über die Definition des Minkowski-Funktionals für $x,y\in \ell _{0}{\big (}\mathbb {R} ,(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\big )}$ und beliebige $\varepsilon >0$:

${\frac {x}{\|x\|_{n+1}+\varepsilon }},{\frac {y}{\|x\|_{n+1}+\varepsilon }}\in U_{n+1}$

Topologisierungslemma 2 - Kreisförmigkeit

Da die Nullumgebungen $U_{n}$ kreisförmig sind, gilt mit $\lambda :=\|x\|_{n+1}+\underbrace {\|y\|_{n+1}} _{\geq 0}+\varepsilon$:

$\|x\|_{n+1}+\varepsilon \,\,\,\leq \,\,\,\|x\|_{n+1}+\underbrace {\|y\|_{n+1}} _{\geq 0}+\varepsilon \,\,\,=\,\,\,\lambda$

und dazu analog

$\|y\|_{n+1}+\varepsilon \,\,\,\leq \,\,\,\underbrace {\|x\|_{n+1}} _{\geq 0}+\|y\|_{n+1}+\varepsilon \,\,\,=\,\,\,\lambda$

Damit erhält man einen gleichnamigen Nenner für die Addition von ${\textstyle {\frac {x}{\lambda }}\in U_{n+1}}$ und ${\textstyle {\frac {y}{\lambda }}\in U_{n+1}}$.

Topologisierungslemma 3 - Teilmengenbeziehung

Aus ${\textstyle {\frac {x}{\lambda }}\in U_{n+1}}$ und ${\textstyle {\frac {y}{\lambda }}\in U_{n+1}}$ folgt:

${\frac {1}{\lambda }}\cdot (x+y)={\frac {x}{\lambda }}+{\frac {y}{\lambda }}\in U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}$

Topologisierungslemma 4 - Gaugefunktional

Wegen der Kreisförmigkeit der Mengen $U_{n}$ ist das Minkowski-Funktional $\|\cdot \|_{n}$ absolut homogen damit ein Gaugefunktional. Durch Anwendung der Teilmengenbeziehung auf die Definition des Minkowski-Funktionals erhält man:

$1\geq \left\|{\frac {1}{\lambda }}\cdot (x+y)\right\|_{n}={\frac {1}{\lambda }}\cdot \left\|x+y\right\|_{n}$

Topologisierungslemma 5 - Gaugefunktional

Durch Multiplikation mit $\lambda >0$ erhält man

$\left\|x+y\right\|_{n}\leq \lambda =\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}+\varepsilon$

Da $\varepsilon >0$ beliebig gewählt worden war, gilt die Ungleichung $\left\|x+y\right\|_{n}\leq \left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}$ und die Addition ist damit stetig und die Sequenz von Gaugefunktionale $\left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist eine Stetigkeitssequenz der Addition.

Umgebungsbasis - Hausdorff-Raum

Die Mengen $\{U_{n}\,:\,n\in \mathbb {N} _{0}\}$ bilden eine Umgebungsbasis der Topologie ${\mathcal {T}}$ des topologischen Vektorraumes $V:=\ell _{0}\left(\mathbb {R} ,(p_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} }}\right)$. Der topologische Vektorraum ist ein Hausdorff-Raum $(p_{_{k}})_{_{k\in \mathbb {N} }}\in c_{o}(\mathbb {R} ^{+})$, da in diesem Fall für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ auch $p_{k}>0$ gilt.

Vom Vektorraum zur Algebra

Bisher liefert die Kreisförmigkeit $U_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und der Teilmengenbeziehung $U_{n+1}+U_{n+1}\subseteq U_{n}$ die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und die Stetigkeit Addition. Für eine topologische Algebra benötigt man zunächst eine Multiplikation als innere Verknüpfung und dann muss man zeigen, dass diese Multiplikation auch stetig bzgl. der durch die Gaugefunktionale $\|\cdot \|_{n}$ von $U_{n}$ definierten Topologie (siehe Stetigkeitssequenz der Multiplikation).

Definition der Multiplikation auf dem Folgenraum

Auf dem $\ell _{0}(\mathbb {R} )$-Folgenraum wird die Cauchy-Multiplikation verwendet, die wie folgt für $x,y\in \ell _{0}{\big (}\mathbb {R} ,(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\big )}$ definiert wird:

$x\odot y:=z=(z_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}=\left(\sum _{i=0}^{k}x_{i}\cdot y_{k-i}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$

Für eine innere Verknüpfung muss man zeigen, dass $x\odot y\in \ell _{0}{\big (}\mathbb {R} ,(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\big )}$ gilt und auch die Stetigkeit der Verknüpfung $\odot$ nachweisen. Für den Nachweis der Stetigkeit verwendet man das Kaskaden-Lemma.

Kreisförmigkeit der Mengen 3

Mit der summandenweisen Abschätzung erhlt man auch die Abschätzung für die Reihe:

$\sum _{k=1}^{\infty }|\lambda \cdot x_{k}|^{p^{n+k}}\leq \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p^{n+k}}<1$

Damit gilt auch $\lambda \cdot (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(\lambda \cdot x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in U_{n}\,.$

Definition von Nullumgebungen

Zunächst definiert man für alle $n\in \mathbb {N}$ topologieerzeugende offene Mengen:

$U_{n}:=\left\{(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{k=1}^{\infty }|x_{n}|^{p\cdot (n+k)}<1\right\}$

Für die Nullumgebungen $U_{n}$ werden nun Minkowski-Funktionale definiert.

Stetigkeitskonstante der Addition

Für ein festes $p$ mit $0<p<1$ erhält man die Stetigkeitskonstante der Addition $K:=2^{{\frac {1}{p}}-1}$. Für $0<p^{k}<1$ erhält man analog:

$K_{n}=2^{^{{\frac {1}{p^{k}}}-1}}$

Stetigkeitskonstante der Addition

Mit dem Topologisierungslemma kann man für Stetigkeitskonstante der Addition folgende Abschätzung machen. Seien nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n+1}\not =0}$ und ${\textstyle \left\|y\right\|_{n+1}\not =0}$. Nach Definition der Minkowski-Funktionale für die Nullumgebungen ${\textstyle U_{n}}$ und ${\textstyle U_{n+1}}$, erhält man für jedes ${\textstyle \varepsilon >0}$:

${\begin{array}{rcl}{\frac {x}{\left\|x\right\|_{n+1}+\varepsilon }}\in U_{n+1}\,\wedge \,{\frac {y}{\left\|y\right\|_{n+1}+\varepsilon }}\in U_{n+1}&\Longrightarrow &{\frac {x}{\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}}},{\frac {y}{\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}}}\in U_{n+1}\\&\Longrightarrow &{\frac {x+y}{\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}}}\in U_{n+1}+U_{n+1}\subset U_{n}\\&\Longrightarrow &\left\|{\frac {x+y}{\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}}}\right\|_{n}\leq 1\Longrightarrow {\mbox{ Ungleichung }}\end{array}}$

Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. absoluten Homogenität der Minkowski-Funktionale aus den vorherigen Beweischritten verwendet.

Folgenraum nicht pseudokonvex

Man hat nun gezeigt, dass $(V,\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ als Teilmenge eines Vektorraum von reellwertigen Nullfolgen ein topologischer Vektorraum ist. Nun wird noch nachweisen, dass keines der Gaugefunktionale $\|\cdot \|_{n}$ aus dem Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$ eine Quasihalbnormen ist.

Korrespondenzsatz - Quasihalbnorm - p-Norm

Mit dem Konkavitätsmodul einer Nullumgebung in einem lokal beschränkten bzw. pseudokonvexen topologischen Vektorraum kann man die Skalierung $K>1$ einer Nullumgebung $U$ angeben, damit Summen $x+y$ von Elementen $x,y\in U$ wieder in $K\cdot U$ liegen, das bedeutet mengentheoretisch:

$U+U\subseteq K\cdot U$

Konkavitätsmodul - Abschätzung

Zunächst betrachtet man eine grundlegende Abschätzung für den Konkavitätsmodul einer Nullumgebung im Zusammenhang mit Quasihalbnormen.

• Wegen ${\textstyle 2\cdot U\subset U+U\subset K\cdot U}$ für alle Nullumgebungen ${\textstyle U}$ gilt ${\textstyle 2\leq \varrho (U)<\infty }$.
• durch Bildung des Infimums bleibt die Abschätzung auch für das Konkavitätsmodul der Topologie ${\mathcal {T}}$ erhalten mit $2\leq \varrho ({\mathcal {T}})<\infty$.

p-Konvexität zu Konkavitätsmodul

Sei $0<p\leq 1$ mit $K=2^{\frac {1}{p}}>\varrho ({\mathcal {T}})$. Nach Voraussetzung gibt es eine beschränkte, ohne Einschränkung, kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U}$ mit

$$U+U\subseteq 2^{\frac {1}{p}}\cdot U$$

Damit kann aus einem gegeben $p$ mit $0<p<1$ die zugehörige Stetigkeitskonstante der Addition in der Quasihalbnorm berechnen:

$\|x+y\|_{_{U}}\leq K\cdot \left(\|x\|_{_{U}}+\|y\|_{_{U}}\right)$

Konkavitätsmodul zu p-Konvexität

Ist umgekehrt das $K\geq 2$ gegeben, dann kann umgekehrt auch das zugehörige $p$ mit $0<p<1$ berechnen, denn es gilt mit dem Logarithmengesetz zum Basiswechsel $log_{2}(x)={\frac {ln(x)}{ln(2)}}$:

$p={\frac {1}{log_{_{2}}(K)}}={\frac {ln(2)}{ln(K)}}$

Monotonieverhalten

Mit wachsendem $K$ konvergiert auch $ln(K)$ gegen $+\infty$ und damit konvergiert das korrespondieren $p$ gegen 0.

$K\to +\infty \,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,p\to 0$

Ferner gilt für alle $|x_{k}|<1$ und $0<p_{1},p_{2}<1$ auch:

$p_{1}<p_{2}\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,|x_{k}|^{p_{1}}>|x_{k}|^{p_{2}}$

Pseudokonvexe Subadditivität

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit (${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$) und ${\textstyle 0<p<1}$. Die pseudokonvexe Subadditivität liefert das Lemma in den komplexen oder reellen Zahlen für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$ das folgenden Ungleichung:

$$|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}.$$

Diese Ungleichung wird nun für die Summanden angewendet.

Aufgaben für Studierende

• Analysieren Sie den Korrespondenzsatz für Quasihalbnormen und $p$-Halbnormen!
• Das Konkavitätsmodul einer Nullumgebung ist als Infimum definiert. Was bedeutet diese Infimumdefinition für die Existenz von zwei Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Siehe auch

• Folgenräume
• Stetigkeitskonstante der Addition
• Topologisierungslemma

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